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Ejemplos de Reducción al Absurdo

Uno de los métodos lógicos más utilizados para realizar demostraciones de teoremas matemáticos es el de Reducción al Absurdo. El método consiste en suponer que las suposiciones que se están utilizando en la demostración son falsas  y basados en ellas,, mediante el uso de deducciones matemáticas se llega a una contradicción o a un resultado absurdo, con lo que se comprueba que la proposición es necesariamente verdadera.

En la lógica proposicional  a la Regla de Reducción al Absurdo también se le conoce como Regla de introducción a la Negación y se conoce como método de demostración indirecta.

Ejemplos de Reducción al Absurdo:

Demostrar que si a y b son números enteros que cumplen con la igualdad

a + a2 + a3 = b + b2, entonces a es par.

De acuerdo con las reglas de Reducción al Absurdo suponemos que a es un número impar, como a es impar entonces a2 y a3 son impares por lo tanto a + a2 + a3 es también un número impar.

Como b + b2 = a + a2 + a3

Entonces b + b2 es impar; pero b + b2es par ya que b + b2 = b (b + 1) por lo que b o (b+1) es un número par lo que es una contradicción, entonces la premisa de que a es impar es falsa por lo tanto su negación a es par, resulta verdadera.

Demostrar que el conjunto de números primos es infinito. Se toma como base la proposición Los números primos son un conjunto finito, y consideramos que p es el numero primo de mayor tamaño entonces p no es divisible por ningún número primo, pero todo entero puede ser representado como un producto de números primos elevados a alguna potencia por lo que p debe de ser necesariamente dividido por un número primo lo que es una contradicción, por lo tanto el conjunto de números primos es infinito.

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Por : Morris

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