Ejemplos de Factorización
La factorización es el procedimiento que sirve para simplificar expresiones algebraicas, descomponiéndolas en sus factores. Se usa para tres fines principales:
- Representar la expresión como una multiplicación de factores.
- Buscar algún factor común entre los términos de un polinomio, y reducirlos más fácilmente después.
- Conocer los binomios raíz de un trinomio, si los hay.
Factorización desde un factor común
En una expresión algebraica como un polinomio, el factor común incluye la constante y las literales que están presentes en todos los términos a la vez.
Por ejemplo, en la expresión:
4x3y2 – 8x2y + 2xy2 + 6xy
El factor común es 2xy, y se demuestra término a término así:
- 4x3y2 = 2xy * (2x2y)
- – 8x2y = 2xy * (– 4x)
- 2xy2 = 2xy * (y)
- 6xy = 2xy * (3)
Todos tienen el mismo núcleo 2xy, multiplicado por otros valores. La expresión se va a factorizar escribiendo el factor común y después, en el paréntesis, el resto de cada término.
Queda:
4x3y2 – 8x2y + 2xy2 + 6xy
= 2xy * (2x2y – 4x + y + 3)
Factorización por grupos de términos
Cuando el polinomio tiene dos o más diferentes tipos de términos, los pasos son:
- Se agrupan los que tienen literales similares.
- Se factoriza cada grupo.
Por ejemplo:
abc + ac – mn + mno + 2x
Se agrupan los que tienen literales similares: (abc + ac) + (–mn + mno) + 2x
Se factoriza cada grupo:
- abc + ac = ac * (b + 1)
- –mn + mno = mn (–1 + o)
Queda:
abc + ac – mn + mno + 2x
= ac (b+1) + mn (–1+o) + 2x
Factorización de un trinomio en sus binomios raíz
Todo trinomio que provenga de un producto notable, tiene binomios raíz. Puede tratarse de:
Por ejemplo, para el trinomio:
x2 + 2x + 1
Se repasa la regla del binomio al cuadrado: “Cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”.
(x)2 + 2(x)(1) + (1)2
Con esta estructura se entiende que el binomio que se ha elevado al cuadrado es:
(x + 1)2 = (x + 1)*(x + 1)
Según el trinomio que se tenga, se va a revisar cada término, para descubrir de qué producto notable se trata. Se toma la regla de este como guía.
Ejemplos de factorización
Factorización por factor común
- x2 + x = x (x + 1)
- fg + fghx – 4efg = fg (1 + hx – 4e)
- 2xy + 4y2 = 2y (x + 2y)
- wx + xy + x2z = x (w + y + xz)
- 2x + 4 = 2 (x + 2)
- x2 + ax + 3a2x = x (x + a + 3a2)
- ½ a2 + a3b + 4a2b2c = a2 (½ + ab + 4b2c)
- 4xyz + 2yz – 8xy2z = 2yz (2x + 1 – 4xy)
- 4a2b + 12ab2 = 4ab (a + 3b)
- ab + ac – ad + a = a (b + c – d + 1)
Factorización por grupos
- x4 + x3 - fg + 2g - 5 = x3 (x + 1) + f (- g + 2g) - 5
- ab + bx - 3b + 4m - 5mn = b (a + x - 3) + m (4 - 5n)
- jk - ijk + 3jk - 3ab + 2a2b + 5abc = jk (1 - i + 3) + ab (- 3 + 2a + 5c)
- fgh - 4fh + 5fghi - xy + 3x2y - x4y2 = fh (g - 4 + 5gi) + xy (- 1 + 3x - x3y)
- abcd - 3abd + 4bcd + 6x - 2xyz + 3axy = bd (ac - 3a + 4c) + x (6 - 2yz + 3ay)
- 2xy - 2xyz + 4ac - 2ab = 2xy (1 - z) + 2a (2c - b)
- abx + cdx - cdm + aby = ab (x + y) + cd (x - m)
- hijk + 3hij - 4m + 2mn = hij (k + 3) + 2m (- 2 + n)
- 4x + 2y + a - 2ab = 2 (2x + y) + a (1 - 2b)
- 5h - 10hi + 3j - 4jkl = 5h (1 - 2i) + j (3 - 4kl)
Factorización de trinomios
- x2 + 2x + 1 = (x + 1)*(x + 1) Es un binomio al cuadrado, que sigue la regla: "cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo".
- x2 + 2ax + a2 = (x + a)*(x + a) Es un binomio al cuadrado, que sigue la regla: "cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo".
- x2 + 4bx + 4b2 = (x + 2b)*(x + 2b) Es un binomio al cuadrado, que sigue la regla: "cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo".
- y2 + 4y + 4 = (y + 2)*(y + 2) Es un binomio al cuadrado, que sigue la regla: "cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo".
- z4 + 6z2 + 9 = (z2 + 3)(z2 + 3) Es un binomio al cuadrado, que sigue la regla: "cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo".
- y2 + 5y - 24 = (y + 8)*(y - 3) Es un producto de binomios con término común, que sigue la regla: "cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el término común, más el producto de los no comunes".
- x2 - 5x + 6 = (x - 2)*(x - 3) Es un producto de binomios con término común, que sigue la regla: "cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el término común, más el producto de los no comunes".
- x2 + 4x - 32 = (x + 8)*(x - 4) Es un producto de binomios con término común, que sigue la regla: "cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el término común, más el producto de los no comunes".
- x2 - 7x + 12 = (x - 4)*(x - 3) Es un producto de binomios con término común, que sigue la regla: "cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el término común, más el producto de los no comunes".
- x2 - 6x + 7 = (x - 7)*(x + 1) Es un producto de binomios con término común, que sigue la regla: "cuadrado del término común, más la suma algebraica de los no comunes por el término común, más el producto de los no comunes".
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