Ejemplos de álgebra

Triple de x, más 5: 3x + 5

Triple de la suma x + 5: 3(x + 5)

Si x = 2: 3·2 + 5 = 11

Si x = 2: 3·(2 + 5) = 21

Los paréntesis indican qué cantidad se multiplica entera por 3. Aclarar la frase antes de calcular evita transformar dos instrucciones diferentes en la misma expresión.

Términos: −3x², 2x, −7

Variable: x

Coeficiente de x²: −3; exponente de x: 2

Coeficiente de x: 2; exponente implícito: 1

Término constante: −7

El signo forma parte del término y de su coeficiente. Esta expresión es un trinomio y también un polinomio: monomios, binomios y trinomios no quedan fuera de los polinomios.

−3·(−2)² + 2·(−2) − 7

= −3·4 − 4 − 7

= −23

Primero se eleva −2 al cuadrado dentro de los paréntesis. El coeficiente −3 queda fuera: −3·(−2)² vale −12, no 36. Evaluar reemplaza una variable por un valor conocido.

3x + 2 − x + 5

= (3 − 1)x + (2 + 5)

= 2x + 7

Solo se juntan términos con la misma parte literal. No se puede reducir 2x + 7 a 9x: el 7 no lleva x.

2(x − 3) = 2x − 6

Para x = 4: 2·(4 − 3) = 2; 2·4 − 6 = 2

La igualdad vale para todo x real; por eso es una identidad. El 2 multiplica tanto a x como a −3. Comprobar x = 4 ilustra el resultado; la propiedad distributiva lo justifica para todos los valores.

x² − 9 = x² − 3²

= (x − 3)(x + 3)

Comprobación: (x − 3)(x + 3) = x² + 3x − 3x − 9

Factorizar y desarrollar recorren el camino en sentidos opuestos. Aquí se reconoce una diferencia de cuadrados; los términos 3x y −3x se cancelan al multiplicar.

3x + 5 = 20

Restamos 5 a ambos miembros: 3x = 15

Dividimos ambos miembros entre 3: x = 5

Comprobación: 3·5 + 5 = 20

La ecuación pide los valores que hacen verdadera la igualdad. Una ecuación puede tener una, varias, infinitas soluciones o ninguna. Aquí las operaciones son reversibles y dejan una sola solución.

(x² − 9)/(x − 3)

= [(x − 3)(x + 3)]/(x − 3)

= x + 3, siempre que x ≠ 3

Condición: x real y x ≠ 3.

Se cancela un factor completo, no un término de una suma. La expresión original no está definida en x = 3; simplificar no recupera ese valor prohibido. En x = 4, ambas expresiones valen 7.

C(n) = 2n + 5

C(0) = 5; C(1) = 7; C(3) = 11

Dominio del modelo: n = 0, 1, 2, 3, …

Condición: Precios constantes; n entero no negativo.

El modelo cobra la cuota fija incluso con cero cuadernos. Por cada cuaderno adicional, el coste aumenta en 2. Como n cuenta objetos, no admite fracciones; la fórmula algebraica sola no establece el dominio del problema.

x + y = 7

x − y = 1

Sumamos las ecuaciones: 2x = 8 → x = 4

Sustituimos: 4 + y = 7 → y = 3

Comprobación: 4 + 3 = 7; 4 − 3 = 1

Cada ecuación describe una condición. La solución del sistema debe cumplir las dos a la vez; al sumarlas se elimina y.

A = b·h/2

A = (8·5)/2 = 20 cm²

Si conocemos A y b: 2A = b·h → h = 2A/b

h = (2·20)/8 = 5 cm

Condición: b > 0, h > 0; medidas en la misma unidad.

La base y su altura correspondiente son perpendiculares. La misma fórmula sirve para evaluar el área o para despejar una medida desconocida.

v = d/t

v = 150/30 = 5 m/s

Condición: Tiempo t > 0; d es distancia total.

Aquí d es distancia recorrida, por eso d/t representa rapidez media. Para velocidad media en una dirección se usa desplazamiento dividido entre tiempo; ambos conceptos no son idénticos.

ρ = m/V

ρ = 540/200 = 2,7 g/cm³

Condición: V > 0; masa y volumen del mismo objeto.

La letra griega ρ se lee rho. La masa se divide entre el volumen; el resultado conserva ambas unidades. Si la densidad es uniforme, coincide con la densidad del material.

P = F/A

P = 200/0,5 = 400 Pa

1 Pa = 1 N/m²

Condición: Área A > 0; fuerza normal.

F es la componente perpendicular a la superficie. Si el reparto no fuera uniforme, F/A daría la presión media sobre esa área.

ΔP = ρ·g·h

ΔP ≈ 1000·10·2 = 20 000 Pa

P a esa profundidad = P en la superficie + ΔP

Condición: Fluido en reposo; ρ y g constantes; h medida verticalmente.

Se calcula el incremento respecto de la superficie, no la presión absoluta. El valor de g se redondea para practicar la sustitución; el fluido tiene densidad constante.

W = F·d

W = 12·4 = 48 J

1 J = 1 N·m

Condición: Fuerza constante, paralela y en el sentido del desplazamiento.

W = Fd se usa aquí porque la fuerza está alineada con el desplazamiento. En general, una fuerza constante realiza W = Fd cos θ, con θ el ángulo entre ambos; no basta conocer solo sus magnitudes.

A = π·r²

A = π·3² = 9π cm²

Condición: Radio positivo; se usa el radio, no el diámetro.

Primero se eleva el radio al cuadrado. 9π es el valor exacto; π es una constante y no una variable que deba despejarse.

P = π·d

P = 10π cm

Como d = 2r, también P = 2πr

Condición: Diámetro d > 0.

Esta fórmula mide una longitud. No la confundas con πr², que mide el área del círculo.

A = L·L = L²

A = 6² = 36 cm²

Condición: Cuadrado de lado positivo.

Multiplicar dos longitudes produce una medida de superficie, expresada en centímetros cuadrados.

P = 4L

P = 4·6 = 24 cm

Condición: Cuadrado; L > 0.

Se suman cuatro lados iguales. El perímetro y el área del ejemplo anterior usan el mismo dato, pero responden a preguntas distintas.

P = 5L

P = 5·4 = 20 cm

Condición: Cinco lados iguales; L > 0.

La multiplicación por 5 funciona porque todos los lados miden lo mismo. En uno irregular hay que sumar las cinco longitudes.

P = 6L

P = 6·3 = 18 cm

Condición: Seis lados iguales; L > 0.

La regla general de un polígono con n lados de igual longitud es P = nL. Aquí n = 6 permanece fijo mientras cambia L.

V = L·L·L = L³

V = 4³ = 64 cm³

Condición: Cubo; arista positiva.

El exponente 3 corresponde a multiplicar tres dimensiones. No es el área de una cara: esa sería L² = 16 cm².

V = (4/3)·π·r³

V = (4/3)·π·3³

V = (4/3)·27π = 36π cm³

Condición: Esfera; radio r > 0.

El factor 4/3 es indispensable. Escribir solo πr³ da 27π para este radio y omite una parte del volumen. Mantener π permite expresar el resultado exacto.

Área lateral = 2πr·h = 20π cm²

Área de las dos bases = 2πr² = 8π cm²

A total = 2πrh + 2πr² = 28π cm²

Condición: Cilindro circular recto cerrado; r > 0 y h > 0.

Al desplegar la superficie lateral se obtiene un rectángulo de base 2πr y altura h. Se añaden las dos bases circulares; un cilindro sin tapa tendría otra superficie total.

V = (π·r²)·h

V = (π·2²)·5 = 20π cm³

Condición: Cilindro circular recto; medidas positivas.

El área de la base, 4π cm², se multiplica por la altura. El volumen está en cm³; no es el área lateral de 20π cm² aunque el coeficiente numérico coincida.

V = b·h·l

V = 3·4·5 = 60 cm³

Condición: Prisma rectangular; dimensiones positivas.

b, h y l nombran tres dimensiones perpendiculares. Un primer producto da el área de la base; el tercer factor completa el volumen.

E_c = (1/2)·m·v²

E_c = (1/2)·2·3² = 9 J

Condición: Modelo clásico; m > 0, v ≥ 0.

El cuadrado afecta a v. Si se duplica la rapidez manteniendo la masa, la energía cinética se multiplica por cuatro, no por dos.

E_p = m·g·h

E_p ≈ 2·10·3 = 60 J

Condición: Referencia E_p = 0 en h = 0; g aproximadamente constante.

El cero de altura se elige como referencia. Esta expresión aproxima la energía potencial cerca de la superficie terrestre, donde g puede tratarse como constante.

c = √(a² + b²)

c = √(3² + 4²) = √25 = 5 cm

Comprobación: 5² = 3² + 4²

Condición: Ángulo recto entre a y b; a > 0 y b > 0.

Se toma la raíz positiva porque c es una longitud. La fórmula se aplica a un triángulo rectángulo; los dos datos deben ser los catetos.