ARITMÉTICA · FRACCIONES ENTRE CERO Y UNO
3/5, 4/7 y 95/96 son fracciones propias positivas: representan más que cero y menos que una unidad. Aquí tienes una colección de ejemplos, dibujos y aplicaciones que muestran cómo reconocerlas y usarlas.
En el caso positivo, una fracción a/b es propia cuando 0 < a < b. El numerador cuenta partes y el denominador indica cuántas partes iguales forman el entero; la barra representa una división. El denominador nunca puede ser cero. Para los casos con signo y el cero, declaramos la convención por valor absoluto en los ejemplos 4 y 5.
EJEMPLO 01
Una barra se divide en cinco partes iguales y se toman tres.
3/5: numerador 3; denominador 5
0 < 3 < 5 → 0 < 3/5 < 1
3/5 = 0,6
Condición: Numerador y denominador positivos.
El numerador cuenta tres quintos y el denominador indica los cinco que forman la unidad. Es una fracción propia positiva porque no alcanza el entero. La barra debe dividirse en partes iguales.
EJEMPLO 02
Clasifica 10/15 y escribe formas equivalentes.
10 < 15 → 10/15 es propia
10/15 = 2/3 = 4/6
Condición: Misma unidad en los dibujos.
La clasificación depende del valor respecto de la unidad. Simplificar cambia la escritura, pero no la cantidad: las tres barras tienen el mismo tamaño y la misma proporción azul. «Propia» y «equivalente» no son categorías excluyentes.
EJEMPLO 03
Escribe 1/3 como división y como decimal.
1/3 = 1 ÷ 3 = 0,333…
0 < 1/3 < 1
1/3 ≠ 0,33
Condición: La escritura 0,333… representa repetición infinita.
Los puntos indican que el 3 se repite sin terminar. Una fracción propia no tiene por qué producir un decimal finito. 0,33 es una aproximación por defecto; no es exactamente un tercio.
EJEMPLO 04
Compara -3/5 y -7/3 para clasificarlas por su valor absoluto.
|−3| < |5| → −3/5 es propia con esta convención
−1 < −3/5 < 0
|−7| > |3| → −7/3 no es propia
−7/3 < 1, pero |−7/3| > 1
3/(−5) = −3/5
Condición: Convención de este artículo: propia si el valor absoluto es menor que 1.
Para extender la clasificación a fracciones con signo usaremos |a| < |b|, con b distinto de cero. El valor absoluto mide la distancia al cero. Así evitamos llamar propia a cualquier fracción negativa solo porque sea menor que 1.
EJEMPLO 05
Separa los casos 0/5, 5/5, -5/5 y 5/0.
0/5 = 0 → |0| < |5|
5/5 = 1 y −5/5 = −1 → valor absoluto igual a 1
5/0 no está definido
Condición: La inclusión del cero se declara expresamente en esta clasificación.
Con la convención por valor absoluto que acabamos de fijar, 0/5 cumple la condición de propia. En las colecciones positivas de abajo se exige además numerador mayor que cero. Los valores 1 y −1 quedan fuera de la desigualdad estricta, y un denominador cero nunca es válido.
EJEMPLO 06
Comprueba que el numerador sea menor que el denominador.
3/5
4/7
1/3
10/15
11/13
Condición: Numerador y denominador positivos.
Cada numerador es positivo y menor que el denominador. Todas están entre 0 y 1, incluso 10/15, que aún se puede simplificar.
EJEMPLO 07
Comprueba que el numerador sea menor que el denominador.
8/11
9/13
10/18
20/35
21/32
Condición: Numerador y denominador positivos.
La cantidad de cifras no decide la clasificación. 20/35 es propia y equivale a 4/7; 10/18 equivale a 5/9.
EJEMPLO 08
Comprueba que el numerador sea menor que el denominador.
4/25
9/15
10/100
15/120
401/1207
Condición: Numerador y denominador positivos.
Una fracción propia puede ser pequeña: 15/120 = 1/8 y 10/100 = 1/10. No es necesario simplificarla para reconocerla.
EJEMPLO 09
Comprueba que el numerador sea menor que el denominador.
95/96
500/620
540/550
1350/1420
1000/10000
Condición: Numerador y denominador positivos.
También puede estar muy cerca de 1: a 95/96 le falta 1/96. 1000/10000, en cambio, equivale a 1/10.
EJEMPLO 10
Se lanza una moneda equilibrada. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara?
Resultados considerados: cara y cruz
P(cara) = 1/2 = 0,5 = 50 %
Condición: Moneda equilibrada; se excluye que quede de canto.
Hay un resultado favorable entre dos resultados igualmente probables. «Que salga una de las dos caras», sin indicar cuál, sería un suceso seguro en este modelo. Aquí el evento es obtener cara.
EJEMPLO 11
En un grupo hipotético de 50 personas, 20 fuman. ¿Qué fracción del grupo representan?
20/50 = 2/5 = 0,4 = 40 %
Condición: Datos hipotéticos; todas las personas pertenecen al mismo grupo.
El total de referencia son las 50 personas. La fracción es propia porque el subgrupo de 20 es menor que el grupo completo. Es un dato supuesto para el ejercicio, no una estadística poblacional.
EJEMPLO 12
En una clase hipotética de 30 estudiantes aprueban 21. Expresa la proporción.
21/30 = 7/10
7/10 = 0,7 = 70 %
Condición: Datos hipotéticos.
«Siete de cada diez» expresa la proporción, aunque la clase no tenga exactamente diez estudiantes. El denominador de la primera fracción cuenta el grupo real del ejemplo.
EJEMPLO 13
Se lanza un dado equilibrado de seis caras numeradas del 1 al 6.
Casos favorables: {3}
Casos posibles: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
P(obtener 3) = 1/6
Condición: Dado equilibrado; caras equiprobables.
Una cara cumple el evento entre seis caras igualmente probables. La fracción expresa una probabilidad entre 0 y 1. No garantiza un tres cada seis lanzamientos.
EJEMPLO 14
En una muestra hipotética, 3 de cada 5 habitantes poseen al menos un automóvil.
Proporción con automóvil: 3/5 = 60 %
Proporción sin automóvil: 2/5 = 40 %
Condición: Datos hipotéticos; categorías complementarias.
Se cuentan personas que cumplen una condición, no automóviles. Una persona con dos coches sigue contando una sola vez. Las dos fracciones suman la muestra completa.
EJEMPLO 15
Se extrae al azar una carta de una baraja estándar de 52 cartas sin comodines. ¿Cuál es la probabilidad de sacar el as de corazones?
Cartas favorables: 1
Cartas posibles: 52
P(as de corazones) = 1/52
Condición: 52 cartas distintas y equiprobables; sin comodines.
El evento debe indicar una carta concreta. Sacar cualquier carta al realizar la extracción es seguro; no tiene probabilidad 1/52. El reparto se supone uniforme entre las 52 cartas.
EJEMPLO 16
En una plantilla hipotética de 80 personas, 8 trabajan de noche.
8/80 = 1/10 = 10 %
(1/10)·80 = 8 personas
Condición: Datos hipotéticos.
La fracción se aplica al total de trabajadores de esa plantilla. El denominador 10 de la forma simplificada expresa la proporción, no el número de empleados.
EJEMPLO 17
En un modelo de composición por masa, hay 1 parte de cloruro de calcio por 20 partes de agua. Distingue las dos razones.
Masa de soluto / masa de agua = 1/20
Masa total = 1 + 20 = 21 partes
Masa de soluto / masa total = 1/21
Condición: Modelo matemático por masa; sistema sin pérdidas.
La razón 1/20 compara el soluto con el agua. La fracción del soluto en el total es 1/21. No se puede llamar 1/20 a ambas cantidades. Se usa masa, cuya suma se conserva en este modelo, no volúmenes supuestamente aditivos.
EJEMPLO 18
Expresa como fracción el valor redondeado del 21 % de oxígeno en aire seco.
21 % = 21/100 = 0,21
Fracción de oxígeno en aire seco ≈ 21/100
Condición: Composición aproximada por volumen de aire seco.
El 21 % es una aproximación habitual de la proporción por volumen, no una igualdad exacta para cualquier muestra de aire. La humedad modifica la proporción respecto del aire húmedo. La igualdad 21 % = 21/100 sí es exacta como conversión numérica.
EJEMPLO 19
Representa la proporción aproximada de nitrógeno en aire seco.
78 % = 78/100 = 39/50
Fracción de nitrógeno en aire seco ≈ 39/50
78 % + 21 % = 99 %
Condición: Composición aproximada por volumen de aire seco.
La referencia de NOAA indica aproximadamente 78 % de nitrógeno; el aire también contiene argón y otros gases. No se obtiene el nitrógeno simplemente restando al 100 % el oxígeno.
EJEMPLO 20
Decide cuál es mayor: 3/5 o 4/7.
3/5 = 21/35
4/7 = 20/35
3/5 > 4/7
Condición: Denominadores positivos; igual unidad en el dibujo.
Ambas son propias, pero no valen lo mismo. Pasar a un denominador común permite comparar partes del mismo tamaño. El dibujo usa dos barras iguales; 3/5 ocupa algo más que 4/7.
EJEMPLO 21
Suma 3/4 y 2/3.
3/4 + 2/3 = 9/12 + 8/12
= 17/12 = 1 + 5/12
Las dos fracciones iniciales son propias positivas, pero el resultado es impropio. No se conserva la clasificación de los sumandos por el simple hecho de sumarlos.
EJEMPLO 22
Multiplica 3/5 por 4/7.
(3/5)·(4/7) = 12/35
0 < 12/35 < 3/5
12/35 < 4/7
Condición: Ambos factores entre 0 y 1.
Tomar una parte positiva menor que uno de otra cantidad positiva la reduce. El producto sigue entre 0 y 1 y es menor que cada uno de estos factores. La condición positiva importa para estas comparaciones.
EJEMPLO 23
Una distancia mide medio metro. Exprésala también en centímetros.
1/2 m = 50 cm
1/2 < 1, pero 50 > 1
Condición: 1 m = 100 cm.
La misma longitud tiene un valor numérico menor que uno en metros y mayor que uno en centímetros. Por eso no basta decir que presiones o velocidades «pequeñas» se expresan con fracciones propias: hay que fijar la unidad o comparar dos magnitudes del mismo tipo.
EJEMPLO 24
Un triángulo rectángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm. Compara un cateto de 3 cm con la hipotenusa de 5 cm.
Cateto / hipotenusa = 3/5
Hipotenusa / cateto = 5/3
Condición: Longitudes medidas en la misma unidad.
La primera razón es propia y la inversa no. Los centímetros se cancelan al comparar longitudes en la misma unidad. Una relación entre lados no es automáticamente una fracción propia: depende del orden.
EJEMPLO 25
En un ejercicio de interés simple, una tasa del 5 % se aplica una sola vez a 200 unidades monetarias.
5 % = 5/100 = 1/20
(1/20)·200 = 10 unidades monetarias
Condición: Ejercicio hipotético de una sola aplicación.
La tasa escrita como fracción es propia. El resultado del cálculo, 10, es una cantidad monetaria, no la tasa. Este ejemplo solo ilustra la conversión y la multiplicación; no incluye capitalización ni comisiones.
OpenStax · Visualizar fracciones: notación, representación y clasificación positiva. La extensión por valor absoluto usada aquí se declara en el texto.
NOAA · Composición de la atmósfera: proporciones del aire seco para los ejemplos de oxígeno y nitrógeno.