EJEMPLO 01
Dos sumandos positivos
El término común es x. Sumamos 1 + 2 para obtener el coeficiente de x y multiplicamos 1 · 2 para obtener el término independiente.
(x + 1) · (x + 2)
=x2 + (1 + 2) · x + 1 · 2
=x2 + 3 · x + 2
ÁLGEBRA · PRODUCTOS NOTABLES
Binomios con término común: fórmula y ejemplos resueltos
Para multiplicar dos binomios que comparten un término, puedes usar una regla breve: elevar ese término al cuadrado, sumarle el producto de ese término por la suma de los otros dos y añadir el producto de estos últimos.
Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos. Por ejemplo, en (x + 2) y (x + 5), el término común es x; los otros sumandos son 2 y 5. Aquí vamos a desarrollar productos: no estamos resolviendo una ecuación para hallar x.
Fórmula de los binomios con término común
Llamamos u al término común y a y b a los otros sumandos, incluidos sus signos. Para números reales y expresiones algebraicas con estas operaciones:
(u + a) · (u + b)
=u2 + (a + b) · u + a · b
- Cuadrado del término común: u².
- Suma de los otros sumandos por el término común: (a + b) · u.
- Producto de los otros sumandos: a · b.
Las letras son marcadores: u puede representar x, 2x, x² o xy. En una resta, el sumando lleva signo negativo: x − 2 se interpreta como x + (−2).
Por qué funciona
La regla reúne los pasos de la propiedad distributiva. Multiplicamos cada término del primer binomio por cada término del segundo y agrupamos los dos productos que contienen u:
(u + a) · (u + b)
=u · u + u · b + a · u + a · b
=u2 + (a + b) · u + a · b
Cómo resolver (x + 2)(x + 5), paso a paso
El término común es x. Los otros sumandos son 2 y 5.
- Elevamos x al cuadrado: x².
- Sumamos 2 + 5 = 7 y multiplicamos por x: 7x.
- Multiplicamos 2 · 5 = 10 y reunimos los tres resultados.
(x + 2) · (x + 5)
=x2 + (2 + 5) · x + 2 · 5
=x2 + 7 · x + 10
También se puede comprobar desarrollando los cuatro productos:
(x + 2) · (x + 5)
=x · x + x · 5 + 2 · x + 2 · 5
=x2 + 5 · x + 2 · x + 10
=x2 + 7 · x + 10
10 ejemplos de binomios con término común
En cada desarrollo, la segunda línea aplica la regla y la última simplifica las operaciones. El punto centrado (·) indica multiplicación.
Al copiar un desarrollo, las potencias se escriben con ^ y las multiplicaciones con *. Por ejemplo, x^2 significa x al cuadrado y x*y significa x por y.
EJEMPLO 02
Un sumando representado por una letra
El término común es x; los otros sumandos son a y 4. Sin un valor de a, dejamos indicada la suma a + 4.
(x + a) · (x + 4)
=x2 + (a + 4) · x + a · 4
=x2 + (a + 4) · x + 4 · a
EJEMPLO 03
El término común es una potencia
El término común completo es x². Al elevarlo al cuadrado obtenemos (x²)² = x⁴; el término central conserva x².
(x2 + 3) · (x2 + 6)
=(x2)2 + (3 + 6) · x2 + 3 · 6
=x4 + 9 · x2 + 18
EJEMPLO 04
Una suma y una resta
El término común es a. Los otros sumandos son 5 y −8: su suma es −3 y su producto es −40.
(a + 5) · (a − 8)
=a2 + (5 − 8) · a + 5 · (−8)
=a2 − 3 · a − 40
EJEMPLO 05
Resultado con coeficiente central negativo
Se conserva el signo de −5. Por eso 3 + (−5) = −2 y 3 · (−5) = −15.
(y + 3) · (y − 5)
=y2 + (3 − 5) · y + 3 · (−5)
=y2 − 2 · y − 15
EJEMPLO 06
Sumandos de distinto valor absoluto
El término común es b. La suma 2 − 10 produce −8, mientras que el producto 2 · (−10) produce −20.
(b + 2) · (b − 10)
=b2 + (2 − 10) · b + 2 · (−10)
=b2 − 8 · b − 20
EJEMPLO 07
Resultado con coeficiente central positivo
Aunque uno de los sumandos sea negativo, 7 − 2 = 5 es positivo. El −14 procede del producto 7 · (−2) y va al final, sin multiplicar a x.
(x + 7) · (x − 2)
=x2 + (7 − 2) · x + 7 · (−2)
=x2 + 5 · x − 14
EJEMPLO 08
El término común contiene dos letras
El término común es el producto xy. Su cuadrado es x²y²: hay que elevar al cuadrado ambos factores.
(x · y + 1) · (x · y − 2)
=(x · y)2 + (1 − 2) · x · y + 1 · (−2)
=x2 · y2 − x · y − 2
EJEMPLO 09
Otro producto de dos letras
El término común es wx. La suma 4 + 6 multiplica a todo wx; el producto 4 · 6 aporta 24.
(w · x + 4) · (w · x + 6)
=(w · x)2 + (4 + 6) · w · x + 4 · 6
=w2 · x2 + 10 · w · x + 24
EJEMPLO 10
Coeficiente central igual a menos uno
Como 1 − 2 = −1, el término central es −a. No hace falta escribir −1 · a en el resultado.
(a + 1) · (a − 2)
=a2 + (1 − 2) · a + 1 · (−2)
=a2 − a − 2
Otros casos y límites de la regla
Si el término común es 2x, también se eleva el 2 al cuadrado
En este caso u = 2x. Su cuadrado es 4x²; la suma 3 − 5 = −2 multiplica a todo 2x, por lo que aporta −4x.
(2 · x + 3) · (2 · x − 5)
=(2 · x)2 + (3 − 5) · (2 · x) + 3 · (−5)
=4 · x2 − 4 · x − 15
¿El resultado siempre es un trinomio?
No. La fórmula presenta tres sumandos, pero alguno puede anularse al simplificar. Si los otros sumandos son opuestos, su suma es cero y desaparece el término central:
(x + 3) · (x − 3)
=x2 + (3 − 3) · x + 3 · (−3)
=x2 − 9
El resultado es una diferencia de cuadrados. Este caso también se conoce como producto de binomios conjugados.
Si los términos no son iguales, no apliques el atajo directamente
En (x + 2)(2x + 5), x y 2x son términos distintos. No puedes elegir u = x y usar 2 y 5 como los otros sumandos de la fórmula. Puedes resolver el producto con la distributiva:
(x + 2) · (2 · x + 5)
=2 · x2 + 5 · x + 4 · x + 10
=2 · x2 + 9 · x + 10
Cómo comprobar el resultado y evitar errores
- Conserva los signos. En el ejemplo 7, los sumandos son 7 y −2: su suma es 5, no −14.
- No intercambies suma y producto. La suma multiplica al término común; el producto de los otros sumandos se añade por separado.
- Eleva al cuadrado todo el término común. Si es xy, su cuadrado es x²y²; si es 2x, es 4x².
- Usa la distributiva para verificar una identidad. Los dos desarrollos deben dar los mismos términos después de simplificar.
Una sustitución ayuda a detectar errores
Tomemos el ejemplo 7 y sustituyamos x = 1:
- Producto original: (1 + 7) · (1 − 2) = 8 · (−1) = −8.
- Resultado correcto: 1² + 5 · 1 − 14 = −8.
- Si se escribiera por error x² − 14x − 14, daría 1 − 14 − 14 = −27 y quedaría descartado.
Coincidir en un valor no demuestra que dos expresiones sean iguales para todos los valores. La sustitución sirve como control rápido; la justificación general está en la distributiva.
¿Y si quieres recuperar los binomios a partir del resultado?
Eso es factorizar, el proceso inverso. En una expresión de la forma x² + sx + p, buscas dos números cuya suma sea s y cuyo producto sea p. No siempre son enteros ni se encuentran a simple vista. Es un problema distinto de desarrollar un producto que ya está escrito.
Referencia
Para la propiedad distributiva y la reducción de términos semejantes: OpenStax, Elementary Algebra 2e, 6.3: Multiply Polynomials (en inglés).