Polígonos regulares: 18 ejemplos resueltos

El triángulo equilátero tiene 3 lados iguales y tres ángulos de 60°.

El cuadrado tiene 4 lados iguales y cuatro ángulos de 90°.

El pentágono, el hexágono y el octágono regulares tienen 5, 6 y 8 lados, respectivamente.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Un vértice es el punto donde se unen dos lados consecutivos; el ángulo es su abertura interior. El contorno está formado por segmentos, no por curvas.

Un rombo con cuatro lados de 5 cm y ángulos alternos de 60° y 120° es equilátero, pero no regular.

Un rectángulo de 4 cm por 2 cm tiene cuatro ángulos de 90°, pero no todos sus lados iguales: tampoco es regular.

El cuadrado cumple ambas condiciones a la vez.

Condición: Figuras planas simples y convexas.

Equilátero describe igualdad de lados; equiángulo, igualdad de ángulos. En un triángulo, ser equilátero sí implica ser equiángulo; esa equivalencia no vale para todos los polígonos.

P = 4 × L = 4 × 4 = 16 cm.

A = L² = 4² = 16 cm².

Su apotema mide la mitad del lado: a = 2 cm.

Comprobación: P × a / 2 = 16 × 2 / 2 = 16 cm².

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Perímetro y área dan aquí el mismo número, pero son magnitudes diferentes: cm mide longitud y cm² mide superficie.

Por Pitágoras: h² = 6² − 3² = 27. Entonces h = 3√3 cm.

P = 3 × 6 = 18 cm.

A = base × altura / 2 = 6 × 3√3 / 2 = 9√3 cm² ≈ 15,59 cm².

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

La altura va de un vértice a la base opuesta. No debe sustituirse por la apotema: en este triángulo la apotema es h/3 = √3 cm.

P = 5 × 4 = 20 cm.

a ≈ 2,752763841 cm.

A = P × a / 2 = 20 × (2 / tan(36°)) / 2 ≈ 27,53 cm².

Condición: Pentágono regular; calculadora en grados; resultado redondeado a centésimas.

El perímetro ya contiene los cinco lados. Multiplicar 5 × P × a / 2 contaría cinco veces el área. Si solo conoces una apotema redondeada a 2,75 cm, obtienes una estimación de 27,5 cm²; no es el valor exacto. Calcula con cifras internas suficientes y redondea al final.

P = 6 × 6 = 36 cm.

Radio: R = 6 cm. Apotema: a = √(6² − 3²) = 3√3 cm.

A = 36 × 3√3 / 2 = 54√3 cm² ≈ 93,53 cm².

Comprobación: cada triángulo tiene área 9√3 cm²; seis suman 54√3 cm².

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

La apotema llega perpendicularmente al punto medio de un lado; el radio llega a un vértice. La figura marca el ángulo recto para distinguirlos.

Tiene n = 8 lados.

P = n × L = 8 × 5 = 40 cm.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Para el perímetro no hace falta calcular la apotema. Tampoco se eleva el lado al cuadrado, porque se está sumando longitud.

P = n × L. Despejamos L = P / n.

L = 75 / 10 = 7,5 cm.

Comprobación: 10 × 7,5 = 75 cm.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Dividir el perímetro entre el número de lados da el lado común porque todos son iguales; en un polígono irregular daría solo la longitud media.

Suma interior: S = (5 − 2) × 180° = 540°.

Cada interior: α = 540° / 5 = 108°.

Cada exterior: β = 180° − 108° = 72°.

Cada central entre radios consecutivos: 360° / 5 = 72°.

Cinco exteriores de 72° suman una vuelta: 360°.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Exterior y central coinciden en medida para un regular, pero tienen vértices diferentes. Aquí se toma un exterior menor por vértice, con recorrido en el mismo sentido.

El exterior mide 180° − 140° = 40°.

n = 360° / 40° = 9.

Es un eneágono o nonágono regular.

Comprobación: (9 − 2) × 180° / 9 = 140°.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

El resultado debe ser un entero mayor o igual que 3. La igualdad de ángulos del polígono regular permite usar un solo ángulo para hallar n.

El exterior tendría que medir 180° − 100° = 80°.

n = 360° / 80° = 4,5.

Un polígono no puede tener 4,5 lados: el dato exacto es incompatible con un regular convexo.

Condición: 100° es un dato exacto, no una medición aproximada.

No se redondea 4,5 a 4 ni a 5: eso cambiaría el ángulo del problema. La comprobación de existencia es parte de la solución.

Desde cada vértice se excluyen él mismo y sus dos vecinos: quedan 8 − 3 = 5 destinos.

Se cuentan 8 × 5 = 40 conexiones, pero cada diagonal aparece desde sus dos extremos.

D = 40 / 2 = 20 diagonales.

En un triángulo: D = 3(3 − 3)/2 = 0.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Las diagonales son segmentos, no rectas infinitas. La fórmula n(n − 3)/2 también cuenta diagonales de polígonos simples no regulares; aquí se ilustra con un regular.

Se forman n triángulos sin solapamiento interior, cada uno con base L y altura a.

Área de un triángulo: L × a / 2.

Área total: A = n × L × a / 2.

Como P = n × L, también A = P × a / 2.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Puedes usar n × L o P, pero no n × P. La apotema debe ser perpendicular al lado y las medidas deben usar una unidad común.

La mitad de un lado mide 3 cm y forma un triángulo rectángulo con el radio y la apotema.

a² + 3² = 6²; a = 3√3 cm ≈ 5,196 cm.

Usar R en lugar de a daría 36 × 6 / 2 = 108 cm²: es incorrecto.

El área correcta es 54√3 cm² ≈ 93,53 cm².

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

El radio es la hipotenusa de ese triángulo rectángulo. La apotema es menor que el radio para todo polígono regular convexo con un número finito de lados.

tan(180°/n) = (L/2) / a; por tanto a = L / [2 × tan(180°/n)].

Para n = 8: a = 2 / tan(22,5°) = 2(1 + √2) cm.

P = 8 × 4 = 32 cm.

A = 32 × 2(1 + √2) / 2 = 32(1 + √2) cm² ≈ 77,25 cm².

Condición: Octágono regular; trigonometría básica; redondeo final a centésimas.

Este procedimiento requiere tangente y una calculadora en grados si no usas valores exactos. El ángulo 180°/n es la mitad del ángulo central, no el ángulo interior completo.

A = P × a / 2. Despejamos a = 2A / P.

a = (2 × 100 cm²) / (40 cm) = 5 cm.

Comprobación independiente: L = 40/4 = 10 cm y a = L/2 = 5 cm.

Además, L² = 10² = 100 cm²: los datos son compatibles.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

El cociente cm²/cm da cm. Cuando hay varios datos geométricos, comprueba que correspondan a la misma figura.

P = 6 × 20 = 120 mm.

A = 120 × 10√3 / 2 = 600√3 mm² ≈ 1039,23 mm².

Como 1 cm² = 100 mm², A = 6√3 cm² ≈ 10,39 cm².

También puedes convertir primero: L = 2 cm, a = √3 cm y P = 12 cm; A = 12√3/2 = 6√3 cm².

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Para pasar de mm² a cm² se divide entre 100, no entre 10. Evita multiplicar un perímetro en centímetros por una apotema en milímetros sin convertir.

El factor de escala es k = 6/3 = 2.

Perímetros: 18 cm y 36 cm; se multiplican por 2.

Áreas: (27√3)/2 cm² y 54√3 cm²; se multiplican por 4.

Los ángulos interiores siguen midiendo 120°.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Con el mismo número de lados, los polígonos regulares son semejantes: longitudes por k, áreas por k² y ángulos iguales. Duplicar el perímetro no implica duplicar el área.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Las respuestas combinan reconocimiento, cálculo directo, problemas inversos, unidades y semejanza.

Para perímetro, cuenta lados y suma sus longitudes: P = n × L.

Para área, usa la altura perpendicular correcta: A = P × a / 2.

Para ángulos, diferencia suma, ángulo interior, exterior y central.

Para diagonales, cuenta pares de vértices no vecinos sin duplicarlos.

Condición: Polígono regular convexo; medidas positivas.

Estas fórmulas se usan aquí en polígonos regulares convexos. Las figuras estrelladas o con lados que se cruzan requieren otras convenciones y quedan fuera de esta colección.