Un diagrama de Venn muestra qué elementos pertenecen a cada conjunto, cuáles comparten y cuáles quedan fuera. Aquí encontrarás ejemplos con personas, características y números, además de casos con tres conjuntos.
Cómo leer las regiones: «solo A» excluye a quienes también están en B; «A y B» es la intersección; la unión reúne todo lo que está en al menos uno. El rectángulo U representa el universo del problema, incluida la zona exterior a los círculos.
Ejemplos con encuestas y recuentos
Estos son ejercicios didácticos. En los tres primeros recuentos se dan cantidades exclusivas: «solo A», «solo B» y «ambos».
EJEMPLO 01
Desayunos dulces y salados
En un grupo de 45 alumnos, 15 eligen solo desayunos dulces, 22 solo salados y 8 las dos opciones. Cada alumno pertenece a una sola región del dibujo.
A DulcesB Salados
Las cifras indican cantidades de personas; el tamaño de los círculos no representa esas cantidades.
La unión tiene 45 alumnos; ninguno queda fuera de las dos opciones.
EJEMPLO 02
Canapés y galletas en una conferencia
De 220 participantes, 44 eligen solo canapés, 35 solo galletas y 141 ambas opciones. Los 141 se escriben una vez en la intersección.
A CanapésB Galletas
Las cifras indican cantidades de personas; el tamaño de los círculos no representa esas cantidades.
Lectura del diagrama
Región
Cantidad
Solo A
44
A y B
141
Solo B
35
Fuera de A y B
0
44 + 141 + 35 = 220 participantes.
Total que elige canapés: 44 + 141 = 185.
Total que elige galletas: 35 + 141 = 176.
Unión: 185 + 176 − 141 = 220; restamos la intersección para no contarla dos veces.
Ejemplos para comparar características
Aquí cambian los elementos: cada conjunto contiene rasgos, no individuos. La intersección reúne rasgos compartidos por los dos objetos o seres comparados. El universo se limita a los rasgos seleccionados; no es una descripción exhaustiva.
EJEMPLO 03
Oso pardo y león
Comparamos rasgos de clasificación del oso pardo (Ursus arctos) y del león (Panthera leo). El universo de esta comparación contiene los tres rasgos indicados.
A Oso pardoB León
Universo: los rasgos seleccionados para esta comparación. ∅ significa que no hay ninguno en esa región.
Lectura del diagrama
Región
Rasgo
Solo A
Úrsido
A y B
Mamífero
Solo B
Félido
Fuera de A y B
∅
Comparten el rasgo «mamífero».
El oso pardo pertenece a la familia Ursidae; el león, a Felidae.
La intersección reúne características compartidas: no significa que un oso sea un león.
En lugar de atribuir un tamaño o color a todas las ranas y sapos, comparamos la clasificación de Rana temporaria y Bufo bufo. Ranidae y Bufonidae son nombres de familias zoológicas.
A Rana temporariaB Bufo bufo
Universo: los rasgos seleccionados para esta comparación. ∅ significa que no hay ninguno en esa región.
Lectura del diagrama
Región
Rasgo
Solo A
Ranidae
A y B
Anfibio
Solo B
Bufonidae
Fuera de A y B
∅
Ambas especies son anfibios: ese rasgo es común.
Rana temporaria pertenece a Ranidae y Bufo bufo a Bufonidae.
Lo que se clasifica aquí son estos tres rasgos, no todos los rasgos posibles de los animales.
Comparamos un automóvil de cuatro ruedas con volante y una bicicleta convencional con manillar. Nos fijamos solo en estos rasgos de los vehículos descritos.
A AutomóvilB Bicicleta
Universo: los rasgos seleccionados para esta comparación. ∅ significa que no hay ninguno en esa región.
Lectura del diagrama
Región
Rasgo
Solo A
Volante
A y B
Ruedas
Solo B
Manillar
Fuera de A y B
∅
Ambos tienen ruedas.
El volante queda solo en el automóvil; el manillar, solo en la bicicleta.
Compartir un rasgo no convierte un vehículo en el otro.
EJEMPLO 08
Una muñeca y una pelota
En este ejercicio tenemos una muñeca articulada con brazos y una pelota esférica para jugar. El enunciado describe esos objetos concretos.
A MuñecaB Pelota
Universo: los rasgos seleccionados para esta comparación. ∅ significa que no hay ninguno en esa región.
Lectura del diagrama
Región
Rasgo
Solo A
Brazos
A y B
Juguete
Solo B
Esférica
Fuera de A y B
∅
Ambas son juguetes.
«Brazos» corresponde a la muñeca; «esférica» a la pelota.
No hace falta suponer que todas las muñecas lleven vestido ni que todas las pelotas se inflen.
EJEMPLO 09
Lápiz y bolígrafo
Comparamos un lápiz de grafito y un bolígrafo de tinta destinados a escribir. Las palabras del diagrama nombran el material de trazo y el uso seleccionado.
A LápizB Bolígrafo
Universo: los rasgos seleccionados para esta comparación. ∅ significa que no hay ninguno en esa región.
Lectura del diagrama
Región
Rasgo
Solo A
Grafito
A y B
Escritura
Solo B
Tinta
Fuera de A y B
∅
El uso «escritura» es común.
El lápiz deja un trazo de grafito; el bolígrafo, de tinta.
La comparación sirve para separar una función compartida de una diferencia de material.
Otro recuento: pasatiempos compartidos
EJEMPLO 10
Leer y ver series
En un grupo de 50 alumnos, 7 tienen como pasatiempo solo leer, 15 solo ver series y 28 realizan ambas actividades.
A LeerB Ver series
Las cifras indican cantidades de personas; el tamaño de los círculos no representa esas cantidades.
Lectura del diagrama
Región
Cantidad
Solo A
7
A y B
28
Solo B
15
Fuera de A y B
0
7 + 28 + 15 = 50 alumnos.
Total que lee: 7 + 28 = 35.
Total que ve series: 15 + 28 = 43.
Solo una de las dos actividades: 7 + 15 = 22.
Ejemplos de operaciones y variantes
La unión se escribe A ∪ B; la intersección, A ∩ B; y la diferencia, A ∖ B. El complemento de A contiene todo lo que pertenece a U y no pertenece a A.
EJEMPLO 11
Elementos, unión, diferencia y complemento
El universo U contiene los números del 1 al 8. A es el conjunto de números pares y B, el de números mayores que 4 dentro de ese universo.
A ParesB Mayores que 4
Los números son elementos del conjunto, no cantidades. ∅ representa una región vacía.
Lectura del diagrama
Región
Elementos
Solo A
2, 4
A y B
6, 8
Solo B
5, 7
Fuera de A y B
1, 3
Intersección A ∩ B = {6, 8}: son pares y mayores que 4.
Unión A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8}: cumplen al menos una condición.
Diferencia A ∖ B = {2, 4}: están en A, pero no en B.
Complemento de A en U: {1, 3, 5, 7}. Incluye tanto los elementos solo de B como los que quedan fuera de ambos.
EJEMPLO 12
Cuando los datos ya incluyen la intersección
En una clase de 30 estudiantes, 18 practican fútbol, 12 participan en música y 5 hacen ambas cosas. Ahora 18 y 12 son totales de conjuntos: ya incluyen a los 5 del centro.
A FútbolB Música
Las cifras indican cantidades de personas; el tamaño de los círculos no representa esas cantidades.
Lectura del diagrama
Región
Cantidad
Solo A
13
A y B
5
Solo B
7
Fuera de A y B
5
Solo fútbol: 18 − 5 = 13.
Solo música: 12 − 5 = 7.
Al menos una actividad: 18 + 12 − 5 = 25.
Ninguna de las dos: 30 − 25 = 5.
EJEMPLO 13
Conjuntos sin elementos comunes
Dentro de U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A contiene los pares y B los impares. Ningún número puede cumplir las dos condiciones.
A ParesB Impares
Los números son elementos del conjunto, no cantidades. ∅ representa una región vacía.
Lectura del diagrama
Región
Elementos
Solo A
2, 4, 6
A y B
∅
Solo B
1, 3, 5
Fuera de A y B
∅
A ∩ B = ∅: la intersección está vacía.
A ∪ B = U: todos los elementos pertenecen a uno de los conjuntos.
En este formato de Venn conservamos la zona de cruce y la marcamos como vacía. Los círculos cruzados no implican que haya elementos comunes.
EJEMPLO 14
Un conjunto incluido en otro
En U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A reúne los múltiplos de 4 y B los pares. Todos los elementos de A también están en B: A ⊆ B.
A Múltiplos de 4B Pares
Los números son elementos del conjunto, no cantidades. ∅ representa una región vacía.
Lectura del diagrama
Región
Elementos
Solo A
∅
A y B
4, 8
Solo B
2, 6
Fuera de A y B
1, 3, 5, 7
Solo A está vacío: ningún múltiplo de 4 de este universo queda fuera de los pares.
A ∩ B = {4, 8}, que coincide con A.
A ∪ B = {2, 4, 6, 8}, que coincide con B.
Fuera de ambos quedan {1, 3, 5, 7}.
Ejemplo con tres conjuntos
Con tres conjuntos hay siete regiones interiores y una exterior. Conviene empezar por la intersección triple y seguir hacia las regiones exclusivas.
EJEMPLO 15
Tres conjuntos: deportes, música y lectura
De 40 estudiantes, 20 hacen deportes, 18 música y 16 lectura. Hay 9 en deportes y música, 8 en deportes y lectura, y 7 en música y lectura. Esas cifras de parejas incluyen a los 5 que están en las tres actividades.
A DeportesB MúsicaC Lectura
Las cifras indican cantidades de personas; el tamaño de los círculos no representa esas cantidades.
Lectura del diagrama
Región
Cantidad
Solo A
8
Solo B
7
Solo C
6
A y B, sin C
4
A y C, sin B
3
B y C, sin A
2
A, B y C
5
Fuera de los tres
5
Primero escribe 5 en la intersección triple.
Deportes y música, sin lectura: 9 − 5 = 4. Deportes y lectura, sin música: 8 − 5 = 3. Música y lectura, sin deportes: 7 − 5 = 2.
La unión contiene 8 + 7 + 6 + 4 + 3 + 2 + 5 = 35 estudiantes; fuera quedan 40 − 35 = 5.
Cómo hacer un diagrama de Venn
Define U y los conjuntos. Decide si trabajarás con personas, números o características.
Comprueba qué significan los datos. «18 hacen fútbol» suele incluir a quienes también hacen música; «18 hacen solo fútbol» los excluye.
Coloca primero las intersecciones. Con tres conjuntos, empieza por el centro compartido por los tres.
Completa las regiones exclusivas. Resta de cada total los elementos ya incluidos en las intersecciones correspondientes.
Completa el exterior y comprueba el total. La suma de todas las regiones debe coincidir con el universo en los problemas de recuento.
Errores que conviene evitar
Contar dos veces el centro. Para dos conjuntos finitos: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Las barras indican cantidad de elementos.
Confundir el complemento con la zona exterior a ambos círculos. El complemento de A también incluye la región solo de B.
Suponer que todo solapamiento tiene elementos. Una región puede estar vacía; se indica con ∅ o con 0 si se están contando personas.
Colocar un total en una región exclusiva. Una intersección no puede superar el total de ninguno de los conjuntos que la contienen.
Usar características imprecisas. Define especies, objetos o condiciones cuando un rasgo no sea universal.
Los diagramas ayudan a clasificar, comparar y resolver recuentos. Por sí solos no demuestran correlaciones ni hacen predicciones. Para calcular probabilidades necesitas además un modelo o una regla de selección.
Referencias
Para las operaciones y la lectura de regiones: OpenStax, Contemporary Mathematics.
