Explorar temas

PROBABILIDAD

Distribución binomial: 22 ejemplos resueltos

La distribución binomial calcula la probabilidad de obtener cierto número de éxitos en un número fijo de pruebas independientes, cuando la probabilidad de éxito es la misma en cada prueba.

Estos 22 ejemplos desarrollan cálculos puntuales, acumulados y casos límite. Incluyen dos gráficos, ocho ejercicios con respuesta y ejemplos que muestran cuándo hay que elegir otro modelo.

Cuatro condiciones: n fijo, ensayos independientes, dos categorías —éxito y fracaso— y probabilidad p constante. «Éxito» es solo el nombre de lo que contamos: puede ser acertar, obtener cara o encontrar un defecto.

Notación: X cuenta éxitos; X ~ Bin(n; p). n es el número de ensayos y k, el número de éxitos que se pregunta. q = 1 − p. n debe ser entero no negativo y 0 ≤ p ≤ 1.

La binomial es discreta: X toma valores enteros de 0 a n. Otras distribuciones discretas pueden tener infinitos valores contables.

Fórmula puntual:

P(X = k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n − k

C(n,k) = n!/[k!(n − k)!], para k entero entre 0 y n. El factorial n! multiplica los enteros positivos hasta n; 0! = 1. C(n,k) cuenta las formas de ubicar los k éxitos.

Primero trabajamos con 0 < p < 1; los extremos p = 0, p = 1 y n = 0 se explican por separado. Una probabilidad puntual P(X = k) es distinta de la acumulada P(X ≤ k).

Probabilidades puntuales paso a paso

EJEMPLO 01

Exactamente dos focos defectuosos

Se revisan cinco focos. En este modelo, cada foco tiene probabilidad 0,1 de estar defectuoso, independientemente de los demás. X cuenta los defectuosos.

Probabilidades de cero a cinco focos defectuosos: el caso dos está destacado00,20,40,6k = 00,59049k = 10,32805k = 20,0729k = 30,0081k = 40,00045k = 50,00001Probabilidad
X ~ Bin(5; 0,1). Cada longitud representa P(X = k). Las probabilidades muy pequeñas se leen en los rótulos y la tabla.

n = 5; p = 0,1; q = 1 − p = 0,9; k = 2.

C(5,2) = 5!/(2! · 3!) = 120/12 = 10.

P(X = 2) = 10 · (0,1)² · (0,9)³.

P(X = 2) = 10 · 0,01 · 0,729 = 0,0729 = 7,29 %.

Condición: Cinco ensayos independientes, con p = 0,1 constante.

«Éxito» significa aquí encontrar un defecto, no un resultado deseable. El factor 10 cuenta las posiciones posibles de los dos defectuosos. Una muestra aleatoria por sí sola no garantiza independencia.

Distribución completa: cinco focos, p = 0,1
Defectuosos kP(X = k) exacta
00,59049
10,32805
20,0729
30,0081
40,00045
50,00001
Las seis probabilidades suman 1. Se supone independencia y una probabilidad de defecto de 0,1 constante para cada foco.

EJEMPLO 02

Dos caras en cuatro lanzamientos

Lanza cuatro veces una moneda equilibrada. X cuenta caras; C significa cara y S, sello.

n = 4; p = 1/2; k = 2.

Secuencias favorables: CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC.

Cada una tiene probabilidad (1/2)⁴ = 1/16.

P(X = 2) = C(4,2)/16 = 6/16 = 3/8 = 37,5 %.

Condición: Moneda equilibrada; cuatro lanzamientos independientes.

Una secuencia concreta, como CCSS, vale 1/16. Pedir dos caras en cualquier orden incluye seis secuencias. Esa diferencia explica el coeficiente combinatorio.

EJEMPLO 03

Que salga un 3 una sola vez en seis tiradas

Lanza seis veces un dado equilibrado. Define éxito como «salir 3».

X cuenta los treses; n = 6; p = 1/6; q = 5/6.

P(X = 1) = C(6,1)(1/6)(5/6)⁵.

P(X = 1) = (5/6)⁵ = 3125/7776 ≈ 0,401878.

P(X = 1) ≈ 40,19 %.

Condición: Seis tiradas independientes de un dado equilibrado.

El dado tiene seis caras, pero para este recuento se clasifican como «3» y «no 3». Dos categorías no significa que cada una tenga probabilidad 1/2.

EJEMPLO 04

Moneda sesgada: tres caras de cinco

Una moneda tiene probabilidad de cara p = 0,3 en cada lanzamiento. Se lanza cinco veces de forma independiente.

X ~ Bin(5; 0,3); q = 0,7.

P(X = 3) = C(5,3)(0,3)³(0,7)².

P(X = 3) = 10 · 0,027 · 0,49 = 0,1323 = 13,23 %.

Condición: Cinco ensayos independientes con p = 0,3 constante.

La binomial no exige p = 1/2. Exige que el mismo p se mantenga durante los ensayos del modelo; eso debe justificarse en una aplicación real.

Extremos del recuento y probabilidades acumuladas

EJEMPLO 05

Ningún defecto

Vuelve a los cinco focos independientes con probabilidad de defecto 0,1. Calcula que todos funcionen.

Ningún defectuoso significa X = 0.

C(5,0) = 1; P(X = 0) = (0,9)⁵.

P(X = 0) = 0,59049 = 59,049 %.

Condición: X ~ Bin(5; 0,1).

Solo existe una secuencia de categorías con cero defectos: cinco focos sin defecto. Recuerda que 0! = 1.

EJEMPLO 06

Todos defectuosos

Con el mismo modelo, calcula la probabilidad de que los cinco estén defectuosos.

Todos defectuosos significa X = 5.

C(5,5) = 1; P(X = 5) = (0,1)⁵.

P(X = 5) = 0,00001 = 0,001 %.

Condición: X ~ Bin(5; 0,1).

El evento es muy poco probable, pero no imposible. Para pasar de probabilidad a porcentaje se multiplica por 100.

EJEMPLO 07

Al menos un defecto

Pide uno, dos, tres, cuatro o cinco defectos entre los cinco focos.

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).

P(X ≥ 1) = 1 − 0,59049 = 0,40951 = 40,951 %.

Condición: X ~ Bin(5; 0,1).

El complemento de «al menos uno» es «ninguno». No es «exactamente uno», cuya probabilidad es 0,32805.

EJEMPLO 08

Como máximo dos defectos

Se admiten cero, uno o dos defectos entre los cinco focos.

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

P(X ≤ 2) = 0,59049 + 0,32805 + 0,0729.

P(X ≤ 2) = 0,99144 = 99,144 %.

Condición: X ~ Bin(5; 0,1).

Los eventos X = 0, X = 1 y X = 2 son disjuntos; se suman. «Como máximo dos» incluye el dos y también el cero.

EJEMPLO 09

Más de dos defectos

Ahora pide tres, cuatro o cinco defectos.

P(X > 2) = 1 − P(X ≤ 2).

P(X > 2) = 1 − 0,99144 = 0,00856.

Comprobación: 0,0081 + 0,00045 + 0,00001 = 0,00856.

Condición: X ~ Bin(5; 0,1).

El signo > excluye el dos. «Al menos dos» sí lo incluye y da 0,08146; no son la misma pregunta.

EJEMPLO 10

Menos de dos y al menos dos

Compara dos eventos complementarios en el modelo de los focos.

P(X < 2) = P(X ≤ 1) = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854.

P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) = 1 − 0,91854 = 0,08146.

0,91854 + 0,08146 = 1.

Condición: X ~ Bin(5; 0,1).

Para un recuento entero, «menos de dos» incluye 0 y 1. En general, P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).

Traducir la pregunta para X ~ Bin(5; 0,1)
PreguntaEventoProbabilidad exacta
Exactamente dosX = 20,0729
Como máximo dosX ≤ 20,99144
Menos de dosX < 20,91854
Al menos dosX ≥ 20,08146
Más de dosX > 20,00856
Como X es un recuento entero, X < 2 equivale a X ≤ 1, mientras que X > 2 equivale a X ≥ 3.

EJEMPLO 11

Entre dos y cuatro éxitos, ambos incluidos

En cinco ensayos independientes con p = 0,3, calcula P(2 ≤ X ≤ 4).

P(X = 2) = 10(0,3)²(0,7)³ = 0,3087.

P(X = 3) = 0,1323; P(X = 4) = 5(0,3)⁴(0,7) = 0,02835.

P(2 ≤ X ≤ 4) = 0,3087 + 0,1323 + 0,02835.

P(2 ≤ X ≤ 4) = 0,46935 = 46,935 %.

Condición: X ~ Bin(5; 0,3).

También puede calcularse como P(X ≤ 4) − P(X ≤ 1). Restar P(X ≤ 2) quitaría indebidamente el caso X = 2.

Distribución completa, media y Bernoulli

EJEMPLO 12

Construir una distribución completa

Cuenta las caras en cuatro lanzamientos independientes de una moneda equilibrada.

Distribución de caras en cuatro lanzamientos: probabilidades uno, cuatro, seis, cuatro y uno sobre dieciséis00,20,40,6k = 01/16k = 14/16k = 26/16k = 34/16k = 41/16Probabilidad
X ~ Bin(4; 0,5). El caso más probable es k = 2, pero solo ocurre con probabilidad 6/16. La escala es la misma que en el gráfico de los focos.

Los valores posibles de X son 0, 1, 2, 3 y 4.

Los números de secuencias son 1, 4, 6, 4 y 1.

P(X = k) = C(4,k)/16.

La suma es (1 + 4 + 6 + 4 + 1)/16 = 1.

Condición: X ~ Bin(4; 0,5).

Las barras representan probabilidades puntuales. La simetría de esta distribución se debe a p = 1/2; no es una propiedad de toda binomial.

Cuatro lanzamientos: probabilidad puntual y acumulada
kSecuencias C(4,k)P(X = k)P(X ≤ k)
011/161/16
144/165/16
266/1611/16
344/1615/16
411/1616/16
Cada secuencia vale 1/16 porque los lanzamientos son independientes y la moneda está equilibrada. La última columna suma desde 0 hasta k.

EJEMPLO 13

Leer una probabilidad acumulada

Usa la tabla de cuatro lanzamientos. F(k) = P(X ≤ k) es la función de distribución acumulada.

F(2) = P(X ≤ 2) = 11/16.

P(X = 2) = F(2) − F(1) = 11/16 − 5/16 = 6/16.

P(X ≥ 3) = 1 − F(2) = 5/16.

Condición: X ~ Bin(4; 0,5).

F(2) incluye los casos 0, 1 y 2; P(X = 2) incluye solo el 2. La función de masa y la acumulada responden a preguntas diferentes.

EJEMPLO 14

Calcular media, varianza y desviación

En 20 intentos independientes, la probabilidad de éxito es 0,3 en cada uno.

X ~ Bin(20; 0,3).

Media: E(X) = np = 20 · 0,3 = 6.

Varianza: Var(X) = np(1 − p) = 20 · 0,3 · 0,7 = 4,2.

Desviación típica: σ = √4,2 ≈ 2,049.

Condición: 20 ensayos independientes con p = 0,3 constante.

Esperar seis éxitos no garantiza observar seis en una tanda. La media resume el promedio del modelo; la desviación mide dispersión y no define un intervalo seguro de resultados.

EJEMPLO 15

Un solo ensayo: el caso Bernoulli

Realiza una única prueba con probabilidad de éxito 0,3. X vale 1 si hay éxito y 0 si no.

X ~ Bin(1; 0,3).

P(X = 1) = 0,3; P(X = 0) = 0,7.

Esta distribución también se llama Bernoulli con parámetro 0,3.

Condición: Un ensayo; X solo toma los valores 0 y 1.

Bernoulli describe un indicador de éxito en un ensayo. La binomial cuenta éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes con el mismo p; son la misma distribución cuando n = 1.

Casos límite y una aplicación

EJEMPLO 16

Extremos: p = 0, p = 1 y ningún ensayo

Examina modelos en los que el número de éxitos es seguro.

Si p = 0 y n = 5, nunca hay éxitos: X = 0 con probabilidad 1.

Si p = 1 y n = 5, todos son éxitos: X = 5 con probabilidad 1.

Si n = 0, se cuentan cero éxitos: X = 0 con probabilidad 1.

Condición: n es un entero no negativo y 0 ≤ p ≤ 1.

Son casos degenerados. Se interpretan directamente a partir del experimento; así se evita la ambigüedad de escribir 0⁰ al sustituir en la fórmula.

Casos degenerados de la binomial
ParámetrosResultado seguroResto de resultados
n = 5; p = 0P(X = 0) = 1Probabilidad 0
n = 5; p = 1P(X = 5) = 1Probabilidad 0
n = 0; cualquier p en [0,1]P(X = 0) = 1Probabilidad 0
Con cero ensayos no hay éxitos. En estos casos se razona directamente; no hace falta evaluar una potencia 0⁰ en una calculadora.

EJEMPLO 17

Resultados fuera del rango posible

Si X cuenta éxitos en cinco ensayos, solo puede tomar 0, 1, 2, 3, 4 o 5.

P(X = −1) = 0; P(X = 6) = 0; P(X = 2,5) = 0.

P(X ≤ 5) = 1; P(X < 0) = 0.

Condición: X es un recuento binomial con n = 5.

No evalúes factoriales negativos ni uses la fórmula para un k no entero. Los parámetros también tienen límites: n = 5,5 o p = 1,2 no definen una distribución binomial.

EJEMPLO 18

Adivinar al menos tres respuestas de cinco

Un cuestionario tiene cinco preguntas con cuatro opciones y una respuesta correcta por pregunta. Se elige uniformemente y de forma independiente.

X cuenta aciertos: n = 5; p = 1/4; q = 3/4.

P(X = 3) = C(5,3)(1/4)³(3/4)² = 90/1024.

P(X = 4) = 15/1024; P(X = 5) = 1/1024.

P(X ≥ 3) = 106/1024 = 53/512 ≈ 10,35 %.

Condición: Cinco elecciones independientes y uniformes entre cuatro opciones.

El modelo supone elecciones al azar con el mismo p. Conocer algunas respuestas o descartar opciones cambia las probabilidades y exige revisar el modelo.

Cuándo no usar la binomial

EJEMPLO 19

Sin reposición: cuándo falla la binomial

Un lote tiene exactamente diez focos y solo uno defectuoso. Extraes cinco distintos al azar, sin reposición.

La proporción inicial de defectos es 1/10 = 0,1.

Es imposible extraer dos defectuosos: P(X = 2) = 0.

Bin(5; 0,1) daría 0,0729, por lo que no es el modelo exacto.

Aquí X solo puede ser 0 o 1; cada caso tiene probabilidad 1/2.

Condición: Lote finito conocido y muestreo uniforme sin reposición.

La composición restante cambia al extraer. En una población finita con un número fijo de defectuosos corresponde un modelo hipergeométrico; no basta conocer la proporción inicial para usar la binomial.

EJEMPLO 20

Probabilidades distintas entre ensayos

Hay dos pruebas independientes. La primera tiene p₁ = 0,2 y la segunda p₂ = 0,8. ¿Exactamente un éxito?

Éxito y fracaso: (0,2)(0,2) = 0,04.

Fracaso y éxito: (0,8)(0,8) = 0,64.

P(X = 1) = 0,04 + 0,64 = 0,68.

Usar el promedio p = 0,5 en Bin(2; 0,5) daría 0,5, no 0,68.

Condición: Ensayos independientes, pero con probabilidades de éxito diferentes.

La independencia no compensa que p cambie. Promediar las probabilidades no conserva necesariamente la distribución del número de éxitos.

EJEMPLO 21

Mismo p, pero ensayos dependientes

En un modelo ilustrativo, un fallo común afecta a los cinco focos con probabilidad 0,1. Si ocurre, fallan todos; si no, ninguno.

Cada foco, por separado, tiene probabilidad de fallo 0,1.

P(X = 5) = 0,1; P(X = 0) = 0,9.

P(X = 2) = 0, aunque Bin(5; 0,1) daría 0,0729.

Condición: Ejemplo hipotético de dependencia completa entre los cinco resultados.

Tener el mismo p marginal no basta: los cinco resultados están ligados al mismo fallo. La binomial requiere además independencia.

EJEMPLO 22

Parar al primer éxito cambia la variable

Repite pruebas independientes con p = 0,1 y detente al primer éxito. Calcula que ese éxito llegue en la tercera prueba.

La secuencia requerida es fracaso, fracaso, éxito.

P(primer éxito en la tercera) = (0,9)²(0,1) = 0,081.

No se multiplica por C(3,1): el éxito debe estar en la última posición.

Condición: Pruebas independientes con p = 0,1 constante; se detiene al primer éxito.

Aquí se cuenta cuántas pruebas hacen falta, no cuántos éxitos hay en un número fijado de pruebas. Es un tiempo de espera geométrico, no la variable binomial.

Practica y comprueba

CONSULTA

Ocho ejercicios para practicar

Identifica n, p y el evento antes de calcular. Comprueba después tus resultados en las tablas.

Escribe la desigualdad o igualdad que expresa la pregunta.

Comprueba las condiciones antes de aplicar la fórmula.

Conserva fracciones o decimales exactos hasta el último paso.

Condición: Los supuestos de cada pregunta están indicados en la tabla.

Las respuestas incluyen la operación o el motivo. Una probabilidad incorrecta no se arregla redondeando si el modelo no corresponde al experimento.

Ejercicios resueltos · 1–4
PreguntaRespuesta y motivo
X ~ Bin(3; 0,5). Calcula P(X = 2).C(3,2)(0,5)³ = 3/8 = 0,375.
X ~ Bin(4; 0,2). Calcula P(X = 0).(0,8)⁴ = 0,4096.
X ~ Bin(4; 0,2). Calcula P(X ≥ 1).1 − (0,8)⁴ = 0,5904.
X ~ Bin(5; 0,1). Calcula P(X ≤ 1).0,59049 + 0,32805 = 0,91854.
Bin(n; p) significa que se cumplen n fijo, independencia, clasificación éxito/fracaso y p constante. Las aproximaciones están marcadas con ≈.
Ejercicios resueltos · 5–8
PreguntaRespuesta y motivo
Seis tiradas independientes de un dado equilibrado. ¿Ningún 3?(5/6)⁶ = 15625/46656 ≈ 0,334898.
X ~ Bin(10; 0,4). Halla media y varianza.Media = 10(0,4) = 4; varianza = 10(0,4)(0,6) = 2,4.
X ~ Bin(1; 0,7). Calcula P(X = 0).1 − 0,7 = 0,3: es una Bernoulli.
Se extraen 5 focos sin reposición de 10, con un único defectuoso. ¿P(dos defectuosos)?0: solo existe uno. No corresponde usar Bin(5; 0,1).
Bin(n; p) significa que se cumplen n fijo, independencia, clasificación éxito/fracaso y p constante. Las aproximaciones están marcadas con ≈.

CONSULTA

Cómo elegir el cálculo correcto

Usa esta guía después de comprobar que el modelo es binomial.

Exactamente k: calcula P(X = k).

Como máximo k: suma desde 0 hasta k.

Menos de k: suma desde 0 hasta k − 1, para k entero.

Al menos k: resta de 1 la suma desde 0 hasta k − 1.

Más de k: resta de 1 la suma desde 0 hasta k.

Entre a y b, incluidos: suma desde a hasta b.

Antes de cerrar: comprueba 0 ≤ P ≤ 1 y distingue probabilidad de porcentaje.

Condición: Umbrales enteros; interpreta aparte los eventos fuera de 0 a n.

La fórmula supone n fijo, independencia, dos categorías por ensayo y p constante. Si falta alguna condición, revisa el modelo antes de seguir.

Qué recordar

Referencias