LÓGICA Y CONJUNTOS
Negar una proposición consiste en afirmar que no es cierta. En lógica clásica, si p es verdadera, ¬p es falsa; si p es falsa, ¬p es verdadera. La negación exacta debe cubrir todos los casos que deja fuera la afirmación original.
Practica con 22 ejemplos explicados y ocho ejercicios: lluvia, desigualdades, cantidades, doble negación, leyes de De Morgan y fórmulas con varias partes.
Notación: ¬p se lee no p y también puede escribirse ~p. V significa verdadero y F, falso. ∧ significa y; ∨ es o inclusiva; → es si… entonces; ↔ es si y solo si. Los paréntesis indican qué parte se niega.
Se mantienen el mismo contexto y dominio. No hace frío no equivale automáticamente a hace calor, y no todos no significa ninguno.
EJEMPLO 01
Sea p: está lloviendo aquí y ahora.
p: Está lloviendo
¬p: No está lloviendo
Si p = V, entonces ¬p = F
Condición: Mismo lugar e instante.
El operador ¬ se escribe delante de la proposición que niega. La negación cambia el valor de verdad de la expresión, no hace que deje de llover.
| p | ¬p |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
EJEMPLO 02
Sea p: 8 es impar.
8 = 2 × 4, por tanto p = F
¬p: 8 no es impar
¬p = V
Condición: 8 es un número entero.
Negar no significa producir siempre una frase falsa: la negación de una proposición falsa es verdadera.
EJEMPLO 03
Para este ejercicio, frío significa temperatura menor que 15 °C y calor, mayor que 25 °C.
p: T < 15 °C
¬p: T ≥ 15 °C
Con T = 20 °C: no hace frío y tampoco hace calor
Condición: Umbrales estipulados para el ejemplo, no definiciones universales.
Calor y frío no agotan las posibilidades de este modelo. Un término opuesto no es necesariamente la negación exacta.
EJEMPLO 04
Sea p: x > 3, con x real.
¬(x > 3) equivale a x ≤ 3
Si x = 3, la afirmación original es F y su negación V
Condición: x pertenece a los números reales.
Usar x < 3 como negación dejaría fuera el caso x = 3. En los reales, x < 3, x = 3 y x > 3 agotan las posibilidades.
EJEMPLO 05
Sea p: x = 5.
¬p: x ≠ 5
Para x = 4 o x = 6, ¬p es V
Condición: x es real.
La negación admite valores menores y mayores; no equivale solo a x > 5.
EJEMPLO 06
U = {1, 2, 3, 4} y A = {1, 3}.
¬(x ∈ A) equivale a x ∉ A
Dentro de U: x ∈ {2, 4}
Para x = 2, la negación es V
Condición: x ∈ U = {1, 2, 3, 4}.
El complemento U ∖ A contiene exactamente los elementos del universo que no están en A. Mantén explícito U.
EJEMPLO 07
Sea p: está lloviendo. Niega no está lloviendo.
¬p: No está lloviendo
¬¬p: No es cierto que no esté lloviendo
¬¬p equivale a p
Condición: Mismo lugar e instante; lógica clásica.
La segunda negación afecta a toda la primera. Se recupera la afirmación inicial en lógica clásica.
| p | ¬p | ¬¬p |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | F |
EJEMPLO 08
Compara nadie vino con no vino nadie.
Ambas expresiones afirman que no vino ninguna persona del grupo
No vino nadie no se traduce como ¬¬p
Condición: Se conserva el mismo grupo y la misma ocasión.
En español, no y nadie pueden formar una única negación mediante concordancia negativa. Contar palabras negativas no equivale a contar operadores ¬ anidados.
EJEMPLO 09
En U = {2, 3, 4}, P(x) significa x es par.
Afirmación: todos los elementos de U son pares
Negación: al menos uno de U no es par
¬∀x P(x) equivale a ∃x ¬P(x)
3 es el contraejemplo; 2 y 4 siguen siendo pares
Condición: Los cuantificadores recorren U = {2, 3, 4}.
∀ significa para todo y ∃, existe al menos uno. No todos no quiere decir ninguno.
EJEMPLO 10
En U = {1, 3, 5}, P(x) significa x es par.
Afirmación: existe un elemento par en U (F)
Negación: ningún elemento de U es par (V)
¬∃x P(x) equivale a ∀x ¬P(x)
Condición: Dominio U = {1, 3, 5}.
Para negar existe hay que descartar todos los posibles testigos. Encontrar un impar por sí solo no sería suficiente.
EJEMPLO 11
Un grupo tiene tres fichas: una azul y dos rojas.
Afirmación: ninguna ficha es azul (F)
Negación: al menos una ficha es azul (V)
Condición: Se habla de las tres fichas del mismo grupo.
Negar ninguno no exige que todas sean azules. La ficha azul basta como testigo.
EJEMPLO 12
k cuenta los asistentes y es un entero no negativo.
Afirmación: asistieron al menos 3 personas, k ≥ 3
Negación: asistieron menos de 3, k < 3
Equivale a k ≤ 2
Condición: k es un entero no negativo.
No es lo mismo que negar que asistieron exactamente tres. La condición entera permite escribir como máximo dos.
EJEMPLO 13
k cuenta los libros de una caja.
Afirmación: hay exactamente 3 libros, k = 3
Negación: k ≠ 3
Equivale a k ≤ 2 o k ≥ 4
Condición: k es un entero no negativo.
Puede haber menos o más de tres. La negación no selecciona solo uno de esos lados.
EJEMPLO 14
p: vamos al cine; q: vamos al teatro. Interpreta o de forma inclusiva.
Afirmación: p ∨ q
Negación: ¬(p ∨ q)
Equivale a ¬p ∧ ¬q
No vamos al cine y no vamos al teatro
Condición: Mismo grupo y periodo; o inclusiva.
Esta ley de De Morgan cambia o por y y niega ambas partes. Se descartan las dos opciones.
| p, q | ¬(p ∨ q) | ¬p ∧ ¬q |
|---|---|---|
| V, V | F | F |
| V, F | F | F |
| F, V | F | F |
| F, F | V | V |
EJEMPLO 15
p: vamos a comer; q: vamos a jugar.
Afirmación: p ∧ q
Negación: ¬(p ∧ q)
Equivale a ¬p ∨ ¬q
No vamos a comer o no vamos a jugar
Condición: Mismo grupo y periodo; o inclusiva.
La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones. Basta que uno de los dos planes no se cumpla; también pueden fallar ambos.
| p, q | ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|
| V, V | F | F |
| V, F | V | V |
| F, V | V | V |
| F, F | V | V |
EJEMPLO 16
p: elegimos té; q: elegimos café.
No ambos: ¬(p ∧ q)
Ninguno: ¬p ∧ ¬q
Con p = V y q = F: no ambos es V, ninguno es F
Condición: Lógica clásica; se mantiene el mismo contexto.
Tomar solo té cumple no ambos, pero no cumple ninguno. En este caso, no sustituyas ¬p ∨ ¬q por ¬p ∧ ¬q.
EJEMPLO 17
p: voy al cine; q: voy al teatro. Compara dos frases sin omitir sus paréntesis.
No es cierto que vaya al cine y al teatro: ¬(p ∧ q)
No voy al cine, pero voy al teatro: ¬p ∧ q
Con p = F y q = F, la primera es V y la segunda F
Condición: Lógica clásica; se mantiene el mismo contexto.
La primera niega la combinación completa; la segunda niega solo p y además afirma q. La palabra «pero» conserva aquí el valor lógico de «y».
EJEMPLO 18
p: activo A; q: se enciende la luz. Niega si activo A, se enciende la luz.
¬(p → q) equivale a p ∧ ¬q
Activo A y la luz no se enciende
Condición: Mismo dispositivo y ensayo; → es condicional material.
Negar la regla exige el caso que la incumple. Si no activo A, ese caso no refuta la condicional material.
| p, q | ¬(p → q) | p ∧ ¬q |
|---|---|---|
| V, V | F | F |
| V, F | V | V |
| F, V | F | F |
| F, F | F | F |
EJEMPLO 19
p: A está activo; q: B está activo. Niega A está activo si y solo si B está activo.
¬(p ↔ q)
Equivale a (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
Exactamente uno de los dos está activo
Condición: Mismo instante; lógica clásica.
Se niega que los valores coincidan. Tanto V,V como F,F hacen verdadero el bicondicional y falsa su negación.
| p, q | ¬(p ↔ q) | Valores distintos |
|---|---|---|
| V, V | F | F |
| V, F | V | V |
| F, V | V | V |
| F, F | F | F |
EJEMPLO 20
Niega p ∧ (¬q ∨ r), atendiendo primero a la conectiva exterior.
1. ¬[p ∧ (¬q ∨ r)]
2. ¬p ∨ ¬(¬q ∨ r)
3. ¬p ∨ (¬¬q ∧ ¬r)
4. ¬p ∨ (q ∧ ¬r)
Condición: Lógica clásica; se mantiene el mismo contexto.
Primero se niega una conjunción; después una disyunción; al final se elimina la doble negación. Las ocho filas confirman la equivalencia.
| p, q, r | ¬[p ∧ (¬q ∨ r)] | ¬p ∨ (q ∧ ¬r) |
|---|---|---|
| V, V, V | F | F |
| V, V, F | V | V |
| V, F, V | F | F |
| V, F, F | F | F |
| p, q, r | ¬[p ∧ (¬q ∨ r)] | ¬p ∨ (q ∧ ¬r) |
|---|---|---|
| F, V, V | V | V |
| F, V, F | V | V |
| F, F, V | V | V |
| F, F, F | V | V |
EJEMPLO 21
Sea x real. Niega x está entre 2 y 5, incluidos ambos extremos.
Afirmación: 2 ≤ x ≤ 5
Negación: x < 2 o x > 5
Para x = 2 o x = 5, la negación es F
Condición: x es real.
El intervalo original incluye los extremos; su negación los excluye. Es De Morgan aplicado a x ≥ 2 y x ≤ 5.
EJEMPLO 22
A es un grupo de personas y B una colección de libros. L(x,y) significa que x leyó y.
Afirmación: ∀x ∈ A, ∃y ∈ B: L(x,y)
Negación: ∃x ∈ A, ∀y ∈ B: ¬L(x,y)
Hay alguien del grupo que no leyó ningún libro de la colección
Condición: Se fijan A, B y el periodo de lectura.
Se cambia cada cuantificador por el otro conservando el orden y se niega L. No significa que haya un libro que nadie leyó: eso cambia el orden y expresa otra cosa.
CONSULTA
Escribe la negación exacta de cada afirmación y comprueba límites, conectivas y cuantificadores.
Condición: Lógica clásica; se mantiene el mismo contexto.
Una negación debe ser verdadera en todos y solo los casos en que la afirmación original es falsa. No basta encontrar un caso en que difieran.
| Afirmación | Negación exacta |
|---|---|
| x < 4 | x ≥ 4, para x real. |
| n ≠ 0 | n = 0. |
| p ∨ q | ¬p ∧ ¬q. |
| p ∧ ¬q | ¬p ∨ q. |
| Afirmación | Negación exacta |
|---|---|
| p → q | p ∧ ¬q. |
| Todos aprobaron | Al menos uno no aprobó. |
| Alguno aprobó | Ninguno aprobó. |
| k ≤ 5 | k > 5; si k es entero, k ≥ 6. |
CONSULTA
Aplica estos pasos a cualquier ejemplo de la colección.
1. Fija el dominio y el contexto
2. Escribe no es cierto que delante de toda la afirmación
3. Identifica la conectiva o cuantificador exterior
4. Aplica la regla y conserva los paréntesis
5. Verifica límites o todas las filas de la tabla
Condición: Lógica clásica; se mantiene el mismo contexto.
Un contraejemplo basta para descartar una negación propuesta. Varios casos favorables no prueban una regla general: necesitas cubrir todos los casos o justificar la equivalencia.