Ejemplos de Implicación Lógica

La implicación es una estructura en donde una proposición es consecuencia lógica de otra. La forma de representarla es P => Q, y se lee “P implica lógicamente a Q” o “Q es una implicación lógica de P”.

Otra forma de leer esta estructura es “Si P entonces Q”. El significado es que la proposición de la izquierda es verdadera, entonces la proposición de la derecha es verdadera.

P recibe el nombre de precedente y Q de consecuente y la tabla de verdad de la implicación es la siguiente:

De la tabla de verdad se puede deducir que en toda implicación en la que el consecuente es verdadero y el antecedente es falso, la implicación es verdadera.

El único caso en que la implicación es falsa es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.

Estas propiedades de la implicación son muy útilizadas en la desmotración de teoremas lógicos y matemáticos.

Ejemplos de implicación lógica:

Mediante las propiedades de la implicación lógica es posible demostrar un teorema de la teoria de conjuntos, que dice que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.

Para demostrar el teorema anterior tenemos las siguientes proposiciones:

a: x es un elemento del conjunto vacio

b: x es un elemento del conjunto X

y queremos demostrar que a => b es verdadero para todo elemento x. Sabemos que el conjunto vacío no tiene elementos, por lo que a es falsa, y x puede o no ser un elemento del conjunto X, es decir b puede o no ser una proposición verdadera.

En cualquier caso, tomando los renglones 3 y 4 de la tabla de verdad concluimos que la implicación es verdadera, por lo que el conjunto vacío es un subconjunto de cualqueir conjunto.

Otro ejemplo es el siguiente: Si Juan es Profesor entonces María es mujer. Esta condicional es verdadera, ya que el consecuente María es mujer es verdadera, independientemente del valor del antecedente.