Una pelota puede moverse y girar; un resorte puede impulsar un bloque; un freno puede reducir su energía mecánica. Practica cómo sumar las energías de un mismo estado y cómo comparar dos estados sin omitir el giro, el rozamiento o el trabajo externo.
Em = Ec + Ep
La energía mecánica suma la energía cinética y las energías potenciales relevantes del sistema. No siempre permanece constante: un motor puede aumentarla y la disipación puede transformarla en otras formas de energía.
Los primeros cinco casos permiten calcular la energía mecánica en distintos sistemas. Se usa g = 9,81 m/s² cuando interviene la gravedad; h es la altura del centro de masa respecto del cero indicado. Los problemas son didácticos.
Cinco problemas de energía mecánica
EJEMPLO 01
Pelota de 1,5 kg: la parte que puede calcularse
Una pelota lleva una rapidez de 20 m/s y su centro de masa está a 4 m sobre el nivel cero. Su masa es 1,5 kg. Calcula la contribución de la traslación y la altura, con g = 9,81 m/s².
Ec traslación = ½ × 1,5 × 20² = 300 J.
Ep gravitatoria = 1,5 × 9,81 × 4 = 58,86 J.
Suma conocida = 300 + 58,86 = 358,86 J.
Resultado: Ec de traslación + Ep gravitatoria = 358,86 J
Condiciones: Si la pelota rueda y gira, falta sumar ½Iω²: 358,86 J no es su energía mecánica completa. Solo es el total en un modelo que omite rotación; el ejemplo 6 completa una hipótesis de rodadura.
EJEMPLO 02
Pelota de 4,2 kg: conservar el cálculo y precisar su alcance
Una pelota de 4,2 kg se desplaza a 5,5 m/s con su centro de masa a 2 m sobre el nivel cero. Usa g = 9,81 m/s².
Ec traslación = ½ × 4,2 × 5,5² = 63,525 J.
Ep gravitatoria = 4,2 × 9,81 × 2 = 82,404 J.
Suma = 63,525 + 82,404 = 145,929 J.
Resultado: Contribución conocida = 145,929 J
Condiciones: Los datos del problema no especifican momento de inercia ni velocidad angular. Si la pelota rueda, este subtotal no incluye su giro. Los decimales muestran la operación didáctica, no precisión experimental.
EJEMPLO 03
Pelota de 2,3 kg: altura del centro de masa
Una pelota de 2,3 kg lleva 6,2 m/s. Su centro de masa está a 6,5 m del nivel elegido como Ep = 0. Toma g = 9,81 m/s².
Ec traslación = ½ × 2,3 × 6,2² = 44,206 J.
Ep gravitatoria = 2,3 × 9,81 × 6,5 = 146,6595 J.
Suma = 44,206 + 146,6595 = 190,8655 J.
Resultado: Contribución conocida = 190,8655 J
Condiciones: Se interpreta la altura como la del centro de masa; la altura del canal no tiene por qué coincidir con ella. Si hay giro, se añade su energía cinética de rotación.
EJEMPLO 04
Pelota de 6 kg: movimiento y altura simultáneos
Una pelota de 6 kg lleva 16 m/s con su centro de masa a 10 m sobre el nivel cero. Usa g = 9,81 m/s².
Ec traslación = ½ × 6 × 16² = 768 J.
Ep gravitatoria = 6 × 9,81 × 10 = 588,6 J.
Suma = 768 + 588,6 = 1 356,6 J.
Resultado: Contribución conocida = 1 356,6 J
Condiciones: Este cálculo no representa la energía total de una pelota que gira: faltan datos de rotación. Tampoco este cálculo de un estado demuestra conservación durante todo el recorrido.
EJEMPLO 05
Bloque y resorte: energías en un mismo instante
En un instante, un bloque de 0,5 kg unido a un resorte ideal de k = 2,5 N/m lleva 20 m/s y el resorte está comprimido 0,20 m. El movimiento es horizontal; fija la energía gravitatoria en cero.
Ec = ½ × 0,5 × 20² = 100 J.
Ep elástica = ½ × 2,5 × 0,20² = 0,05 J.
Em = 100 + 0,05 = 100,05 J.
Resultado: Em = 100,05 J en el estado descrito
Condiciones: En este estado, velocidad y compresión coexisten. No significa que liberar ese resorte desde el reposo produzca 20 m/s. Se considera el sistema bloque–resorte, con resorte sin masa apreciable.
Rotación y transformaciones sin pérdidas
EJEMPLO 06
Completar la rodadura de una esfera maciza
Retoma la pelota de 1,5 kg a 20 m/s y 4 m de altura. Añade la hipótesis de que es una esfera maciza homogénea que rueda sin deslizar sobre una superficie plana.
I = (2/5)mR² y ω = v/R.
Ec rotación = ½Iω² = (1/5)mv² = 120 J.
Em = 300 + 120 + 58,86 = 478,86 J.
Resultado: Em = 478,86 J
Condiciones: g = 9,81 m/s² y cero de altura como en el ejemplo 1. La forma y el contacto son hipótesis nuevas: una esfera hueca tiene otro momento de inercia; rodar en un canal puede cambiar la relación entre v y ω.
EJEMPLO 07
Liberar este resorte desde el reposo
Un bloque de 0,5 kg parte del reposo unido a un resorte de 2,5 N/m comprimido 0,20 m. Se mueve horizontalmente sin rozamiento.
Em inicial = ½kx² = 0,05 J.
Al pasar por x = 0: ½mv² = 0,05 J.
v² = 2 × 0,05/0,5 = 0,20 m²/s².
v = √0,20 ≈ 0,447 m/s.
Resultado: Rapidez al llegar a la longitud natural ≈ 0,447 m/s
Condiciones: Resorte ideal de masa despreciable; no actúa un motor ni se aporta trabajo adicional. Este es el lanzamiento compatible con los datos de compresión indicados.
EJEMPLO 08
Caída libre: repartir una energía constante
Un objeto de 2 kg se suelta desde el reposo con su centro de masa a 5 m del suelo. Ignora el aire y usa g = 9,81 m/s², con Ep = 0 en el suelo.
Em inicial = 2 × 9,81 × 5 = 98,1 J.
A 2 m: Ep = 2 × 9,81 × 2 = 39,24 J.
Ec = 98,1 − 39,24 = 58,86 J.
Em = 58,86 + 39,24 = 98,1 J.
Resultado: A 2 m: Ec = 58,86 J y Ep = 39,24 J
Condiciones: Sistema objeto–Tierra y objeto sin rotación. Se conserva Em antes del impacto; al chocar con el suelo puede transformarse parte en energía interna y deformación.
EJEMPLO 09
Lanzamiento vertical y altura máxima
Un objeto de 1 kg se lanza verticalmente hacia arriba a 14 m/s. Toma Ep = 0 en el punto de lanzamiento y g = 9,81 m/s².
Em inicial = ½ × 1 × 14² = 98 J.
Arriba, v = 0: mgh máxima = 98 J.
h máxima = 98/9,81 ≈ 9,99 m.
Resultado: Altura máxima sobre el punto de lanzamiento ≈ 9,99 m
Condiciones: Sin resistencia del aire ni giro. En el punto más alto la energía cinética es cero, pero la mecánica sigue siendo 98 J.
EJEMPLO 10
Un péndulo desciende 0,80 m
La masa de un péndulo simple es 0,50 kg. Parte del reposo a 0,80 m por encima del punto más bajo. Usa g = 9,81 m/s² y fija allí Ep = 0.
Em = 0,50 × 9,81 × 0,80 = 3,924 J.
Abajo: v² = 2 × 3,924/0,50 = 15,696 m²/s².
v = √15,696 ≈ 3,96 m/s.
Resultado: Rapidez en el punto más bajo ≈ 3,96 m/s
Condiciones: Hilo inextensible sin masa, soporte fijo y pérdidas despreciables. La tensión es perpendicular al movimiento y no realiza trabajo; la altura dada es vertical, no longitud del arco.
EJEMPLO 11
Sumar gravedad, resorte y movimiento
En un instante, un bloque de 1 kg lleva 2 m/s, su centro de masa está a 1 m del cero gravitatorio y un resorte unido a él, de 100 N/m, está deformado 0,20 m.
Ec = ½ × 1 × 2² = 2 J.
Ep gravitatoria = 1 × 9,81 × 1 = 9,81 J.
Ep elástica = ½ × 100 × 0,20² = 2 J.
Em = 2 + 9,81 + 2 = 13,81 J.
Resultado: Em = 13,81 J
Condiciones: Sistema bloque–resorte–Tierra, sin giro; g = 9,81 m/s². La deformación se mide desde la longitud natural. Gravedad y elasticidad pueden estar presentes a la vez.
Rozamiento, trabajo externo y otros balances
EJEMPLO 12
Deslizamiento con rozamiento
Un bloque de 2 kg se desliza horizontalmente a 5 m/s. Una fuerza de rozamiento constante de 4 N se opone al movimiento durante 3 m. No hay otras fuerzas que realicen trabajo.
Em inicial = Ec inicial = ½ × 2 × 5² = 25 J.
W rozamiento = −4 × 3 = −12 J.
Em final = 25 − 12 = 13 J.
v final = √(2 × 13/2) = √13 ≈ 3,61 m/s.
Resultado: Em final = 13 J; rapidez ≈ 3,61 m/s
Condiciones: Ep se fija en cero en el plano horizontal. Los 12 J de energía mecánica se transforman por disipación; no desaparece energía del conjunto bloque, superficie y entorno.
EJEMPLO 13
Un motor eleva una carga a rapidez constante
Un motor eleva una carga de 2 kg una altura de 3 m sin cambiar su rapidez. Usa g = 9,81 m/s².
ΔEc = 0.
ΔEp = mgΔh = 2 × 9,81 × 3 = 58,86 J.
ΔEm = +58,86 J.
Resultado: La energía mecánica aumenta 58,86 J
Condiciones: Para el sistema carga–Tierra, el motor aporta trabajo desde fuera. En la elevación ideal ese trabajo es 58,86 J; el consumo real del motor también depende de sus pérdidas.
EJEMPLO 14
Cambiar el cero de altura
Un cuerpo de 2 kg lleva 3 m/s con su centro de masa a 2 m del suelo. Primero fija Ep = 0 en el suelo y después en una plataforma a 1 m. Usa g = 9,81 m/s².
Ec = ½ × 2 × 3² = 9 J.
Cero en suelo: Em = 9 + 2 × 9,81 × 2 = 48,24 J.
Cero en plataforma: Em = 9 + 2 × 9,81 × 1 = 28,62 J.
Resultado: Em cambia de 48,24 a 28,62 J sin cambiar el estado físico
Condiciones: El valor de referencia cambia 19,62 J. Si se usa un mismo cero para todo el proceso, las diferencias de energía y las predicciones del movimiento no cambian.
EJEMPLO 15
Dos carros que quedan unidos al chocar
Un carro de 1 kg lleva 2 m/s y choca con otro de 1 kg en reposo. Quedan unidos sobre una pista horizontal; el impulso externo durante el choque es despreciable.
Condiciones: Choque perfectamente inelástico, con giro de ruedas despreciable y energía gravitatoria constante. El joule de diferencia se transforma en otras formas; conservar cantidad de movimiento no exige conservar energía mecánica.
EJEMPLO 16
Máxima compresión de un resorte
Un bloque llega horizontalmente a un resorte ideal de 100 N/m con 20 J de energía cinética. Inicialmente el resorte está sin deformar. No hay rozamiento.
En la compresión máxima, Ec = 0 y Ep elástica = 20 J.
½kx² = 20; x² = 40/100 = 0,40 m².
|x| = √0,40 ≈ 0,632 m.
Resultado: Compresión máxima ≈ 0,632 m
Condiciones: Resorte sin masa apreciable y comportamiento lineal hasta esa compresión. Detenerse un instante no implica perder los 20 J: quedan como energía elástica.
La barra final reúne dos formas de energía: sus 25 J no son todos energía mecánica del bloque. El rozamiento transforma 12 J en otras formas de energía del conjunto bloque, superficie y entorno.
Qué sumar y cuándo conservarlo
Traslación: Ec = ½mv², con la rapidez del centro de masa.
Rotación: Ec rotación = ½Iω², con I respecto del eje de giro por el centro de masa. Si el cuerpo se traslada y gira, suma ambas contribuciones.
Gravedad uniforme: Ep gravitatoria = mgh, con un nivel cero fijo y g aproximadamente constante.
Resorte ideal: Ep elástica = ½kx², con x desde su longitud natural y k constante en el intervalo usado.
Unidades: kg, m/s, m, N/m, kg·m² y rad/s producen energías en J. Un julio equivale a N·m.
Balance sencillo de una partícula: ΔEm = W de las fuerzas no incluidas mediante energía potencial. Si ese trabajo es cero, Em inicial = Em final. En sistemas de varios cuerpos, hay que incluir también las transformaciones internas pertinentes.
Para un bloque sin giro unido a un resorte y bajo gravedad, pueden aparecer simultáneamente ½mv², mgh y ½kx². Ningún término se elimina solo porque otro sea distinto de cero.
Sumar Ec y Ep exige tomarlas en el mismo instante. Comparar el estado inicial y el final exige además identificar el sistema, fijar la referencia y considerar los aportes y pérdidas. La energía mecánica depende del sistema y del marco de referencia utilizados.
El carrito impulsado por un resorte
Antes de soltar el carrito, el resorte comprimido almacena energía elástica. Si la pista es horizontal, la energía gravitatoria permanece constante y puede elegirse como cero. Cuando avanza, pueden aumentar tanto la energía de traslación del carrito como la de giro de sus ruedas.
En un modelo sin pérdidas, la energía mecánica del sistema carrito–resorte–Tierra permanece constante. En el montaje real, la resistencia al movimiento, la deformación de las ruedas y los choques pueden transformar parte en energía interna, sonido o deformaciones que no se recuperan.
Al llegar a un obstáculo no puede suponerse que toda la energía mecánica conserva su valor. Hay que saber cómo es el choque. Una fotografía de un vehículo en movimiento tampoco permite medir su energía: hacen falta masa, rapidez y los demás datos del modelo.
Movimiento de automóviles
Automóviles en movimiento. El motor aporta trabajo; los frenos y otras resistencias pueden reducir su energía mecánica.
Dos resultados que alertan de un error
CONTRASTE 01
Por qué este resorte no puede producir 20 m/s
Con k = 2,5 N/m y compresión de 0,20 m se almacenan 0,05 J, pero un bloque de 0,5 kg a 20 m/s tiene 100 J de energía cinética.
Energía adicional mínima = 100 − 0,05 = 99,95 J.
Resultado: Faltan 99,95 J para alcanzar esa rapidez desde el reposo
Condiciones: A la misma altura, sin energía inicial adicional y sin aportes externos, los datos de lanzamiento son incompatibles. Sumar la compresión inicial a la energía cinética final cuenta dos estados diferentes.
CONTRASTE 02
Una altura que no puede alcanzarse
Un cuerpo de 1 kg tiene Em = 10 J y solo energía cinética y potencial gravitatoria. ¿Puede estar a 2 m del nivel cero, con g = 9,81 m/s²?
A 2 m, Ep = 19,62 J.
Ec requerida = Em − Ep = 10 − 19,62 = −9,62 J.
Resultado: El resultado Ec = −9,62 J señala un estado inaccesible
Condiciones: La energía cinética no puede ser negativa. Con esa energía y referencia, la altura no es alcanzable sin aporte externo; no se toma la raíz de un número negativo para inventar una rapidez.
Seis ejercicios para practicar
Un objeto de 3 kg lleva 4 m/s a 2 m del cero gravitatorio. Sin giro, calcula Em con g = 9,81 m/s².
Un bloque de 0,5 kg parte del reposo con un resorte de 200 N/m comprimido 0,10 m. Sin pérdidas y a igual altura, halla la rapidez en x = 0.
Un cuerpo parte del reposo y baja 1,25 m sin giro ni pérdidas. Calcula su rapidez con g = 9,81 m/s².
Un bloque lleva 30 J de energía cinética sobre un plano horizontal. El rozamiento de 3 N actúa durante 4 m. ¿Cuánta energía cinética queda?
Una esfera maciza homogénea de 2 kg rueda sin deslizar sobre una superficie plana a 3 m/s. Halla su energía cinética total.
Un motor eleva 5 kg durante 2 m a rapidez constante. ¿Cuánto aumenta Em? Usa g = 9,81 m/s².
