12 ejercicios resueltos de funciones

f(−2) = 2·(−2) + 1 = −3

f(0) = 2·0 + 1 = 1

f(2) = 2·2 + 1 = 5

Dominio del ejercicio: [−2, 2]

La pendiente 2 es positiva: la función es creciente

Imagen: [−3, 5]

Corte con el eje y: (0, 1)

Corte con el eje x: 2x + 1 = 0 → x = −1/2

Condición: x real en [-2, 2].

La gráfica es el segmento de la recta entre (−2, −3) y (2, 5), con ambos extremos incluidos. Los enteros de la tabla son una muestra; también se permite x = 1/2 y su salida es 2. Como la regla es continua y creciente, se obtienen todos los valores entre −3 y 5.

f(−2) = (−2)² + (−2) − 1 = 1

f(−1) = (−1)² + (−1) − 1 = −1

Completamos el cuadrado:

f(x) = (x + 1/2)² − 5/4

Vértice: (−1/2, −5/4)

f(−2) = 1; f(4) = 19

Dominio del ejercicio: [−2, 4]

Imagen: [−5/4, 19]

Condición: x real en [-2, 4].

El cuadrado es no negativo, así que el mínimo es −5/4 y se alcanza en x = −1/2. Desde ese vértice, el mayor alejamiento dentro del intervalo ocurre en x = 4, que da el máximo 19. Por continuidad se alcanzan los valores intermedios. Una tabla solo con enteros omitiría el mínimo.

Dominio del ejercicio: [0, 4)

f(0) = 4⁰ = 1

f(1/2) = √4 = 2

f(3) = 4³ = 64

f(7/2) = 4³ · √4 = 128

4⁴ = 256, pero x = 4 no pertenece al dominio

Imagen: [1, 256)

Condición: x real; 0 ≤ x < 4.

La base 4 es mayor que 1, por lo que la función es continua y estrictamente creciente. El mínimo 1 se alcanza en x = 0; las salidas se acercan a 256 sin alcanzarlo. No existe un máximo en este intervalo. La tabla añade entradas fraccionarias para mostrar que [0, 4) no es la lista {0, 1, 2, 3}.

Dominio natural: R sin {2}

Dominio del ejercicio: (2, 5]

f(3) = 4/(3 − 2) = 4

f(5) = 4/(5 − 2) = 4/3

Si x se acerca a 2 por la derecha, el denominador se acerca a 0 por valores positivos

La función crece sin límite al acercarse a 2 por la derecha

Imagen: [4/3, ∞)

Condición: 2 < x ≤ 5; x ≠ 2.

En el intervalo dado, 0 < x − 2 ≤ 3. Dividir 4 entre esos números produce valores desde 4/3 sin cota superior. Para cualquier y ≥ 4/3, x = 2 + 4/y pertenece a (2, 5] y da esa salida. La recta x = 2 es una asíntota, no parte de la gráfica.

Condición de la raíz real: x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2

Dominio natural: [−2, ∞)

Dominio del ejercicio: [−2, 2]

f(−2) = √0 = 0; f(2) = √4 = 2

f(0) = √2 ≈ 1,4142

f(1) = √3 ≈ 1,7321

Imagen en el ejercicio: [0, 2]

Condición: x real en [-2, 2]; raíz cuadrada principal.

La raíz principal es no negativa y creciente. En el intervalo, x + 2 recorre [0, 4], por lo que su raíz recorre [0, 2]. Los radicales son los valores exactos; las cifras decimales son aproximaciones a cuatro decimales.

Dominio natural: (0, ∞)

Dominio del ejercicio: [1, 4]

f(1) = 0, porque 10⁰ = 1

f(2) = log₁₀(2) ≈ 0,3010

f(3) = log₁₀(3) ≈ 0,4771

f(4) = log₁₀(4) ≈ 0,6021

Imagen exacta: [0, log₁₀(4)]

Condición: x real en [1, 4]; aproximaciones a cuatro decimales.

La base 10 es mayor que 1, por lo que el logaritmo es continuo y creciente. El extremo superior se incluye porque x = 4 está permitido. Redondeados a dos decimales, los valores son 0,30; 0,48 y 0,60: escribir 0,47 para log₁₀(3) sería truncar, no redondear al más cercano.

Z es el conjunto de todos los números enteros

f(−2) = 4; f(−1) = 1; f(0) = 0; f(1) = 1; f(2) = 4

Imagen: {0, 1, 4, 9, 16, …}

2 no pertenece a la imagen: no existe un entero cuyo cuadrado sea 2

0 sí pertenece a la imagen, pues f(0) = 0

Condición: Dominio Z, no R.

La imagen contiene los cuadrados de enteros, incluido el cero. Sus puntos no se unen al representarlos: no se han permitido entradas como 1/2. Si el dominio fuera R, la imagen sería [0, ∞), un conjunto diferente.

f(−2) = (−2)³ − 2·(−2) = −8 + 4 = −4

f(0) = 0

f(2) = 2³ − 2·2 = 8 − 4 = 4

Dominio natural: R

Los paréntesis conservan el signo de la entrada. En −2, el cubo es −8 y restar 2·(−2) equivale a sumar 4. Se resuelven las potencias antes de las multiplicaciones y restas.

Los ángulos se expresan en radianes

sen 0 = 0

sen(π/6) = 1/2

sen(π/2) = 1

sen π = 0

sen(3π/2) = −1

Dominio natural: R; imagen: [−1, 1]

Condición: Modo radianes; no confundir π/6 rad con π/6 grados.

En la circunferencia de radio 1, el seno es la coordenada vertical. Por eso en un cuarto de vuelta vale 1 y en tres cuartos, −1. π/6 radianes equivale a 30°; introducir π/6 en una calculadora configurada en grados daría otro resultado.

−2 < 1 → f(−2) = (−2)² = 4

1 ≥ 1 → f(1) = 2·1 + 1 = 3

3 ≥ 1 → f(3) = 2·3 + 1 = 7

Dominio: R; imagen: [0, ∞)

En x = 1 se usa exclusivamente el segundo tramo. El primero ya alcanza todos los no negativos: para cualquier y ≥ 0, la entrada x = −√y es menor que 1 y produce y. El segundo aporta salidas desde 3, todas dentro de ese mismo conjunto. No hay que aplicar ambas fórmulas a una misma entrada.

(f ∘ g)(x) = √(1/(x − 2))

Se requiere x ≠ 2 y 1/(x − 2) ≥ 0

Como el numerador es positivo: x > 2

Dominio de f ∘ g: (2, ∞)

(g ∘ f)(x) = 1/(√x − 2)

Se requiere x ≥ 0 y √x ≠ 2

Dominio de g ∘ f: [0, ∞) sin {4}

(f ∘ g)(3) = √1 = 1

(g ∘ f)(9) = 1/(3 − 2) = 1

Condición: Funciones reales; raíz principal; denominadores distintos de cero.

Primero se exige que la entrada pertenezca al dominio de la función interior; después, que su salida esté permitida en la exterior. En la primera composición, x < 2 produciría una raíz de un número negativo. En la segunda, x = 4 produciría una división entre cero.

f(x) = 1 → x² + x − 1 = 1

x² + x − 2 = 0

(x + 2)(x − 1) = 0

x = −2 o x = 1; ambos pertenecen a [−2, 4]

Comprobación: f(−2) = 1; f(1) = 1

f(x) = −2 no tiene solución en este dominio

Evaluar usa una entrada para hallar la salida; buscar preimágenes hace el recorrido contrario. La salida 1 tiene dos preimágenes. La salida −2 no tiene ninguna porque es menor que el mínimo −5/4 demostrado en el ejercicio 2.