ÁLGEBRA · ENTRADAS, SALIDAS Y CONJUNTOS
Una función asigna a cada elemento de su dominio una única salida. Puede dar el mismo resultado para entradas distintas: no hace falta que la salida cambie cada vez que cambia la entrada.
Estos ejemplos muestran cómo evaluar una función, encontrar su imagen y distinguir cuándo es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Incluyen funciones constantes, cuadráticas, racionales, por tramos, trigonométricas y de varias variables.
La notación f: A → B indica una función con dominio A y codominio B. f(x) = y se lee «f de x es igual a y»: x es la entrada e y su salida. f(x) no significa f multiplicado por x.
Si una fórmula real no trae un dominio especificado, suele buscarse su dominio natural: los reales para los que está definida. Aquí indicamos los conjuntos para evitar ambigüedades. R significa números reales; [0, ∞) incluye el cero y todos los positivos; (0, ∞) contiene solo los positivos. ∞ nunca es un número que pueda incluirse como extremo.
No son tres casillas excluyentes: una función puede cumplir ambas propiedades, solo una o ninguna. La fórmula sola no basta para decidirlo; también importan el dominio y el codominio.
EJEMPLO 01
Asigna a cada número de A una letra de B.
A = {1, 2, 3}; B = {a, b, c}
f(1) = a; f(2) = a; f(3) = b
Dominio: A; codominio: B
Imagen: {a, b}
No es inyectiva: f(1) = f(2)
No es sobreyectiva: c no se alcanza
Es una función: cada entrada tiene una sola salida. Dos entradas pueden compartir una salida; además, el codominio puede contener elementos que no se obtienen.
EJEMPLO 02
Intenta asignar dos salidas distintas a una misma entrada.
A = {1, 2}; B = {3, 4}
Relación: {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}
La entrada 1 tendría las salidas 3 y 4
Conclusión: no es una función de A en B
Una función exige exactamente una salida para cada entrada. Tampoco sería función de A en B una regla que dejara sin salida al 2. En un gráfico, una vertical no puede cortar la curva en dos puntos distintos.
EJEMPLO 03
Comprueba si cambiar x obliga a cambiar f(x).
f: R → R; f(x) = 3
f(−2) = 3; f(0) = 3; f(5) = 3
Dominio: R; codominio: R; imagen: {3}
No es inyectiva ni sobreyectiva
Cada real tiene asignado el valor 3. Las salidas se repiten y ningún otro real se alcanza. Por tanto, cambiar la entrada no obliga a cambiar la salida.
EJEMPLO 04
La salida coincide con la entrada.
f: R → R; f(x) = x
f(−3) = −3; f(0) = 0; f(2) = 2
Dominio, codominio e imagen: R
Es inyectiva y sobreyectiva: es biyectiva
Si f(a) = f(b), entonces a = b. Para cualquier salida real y, basta tomar x = y. No falta ningún valor del codominio.
EJEMPLO 05
Usa f(x) = 3x + 6 tanto para calcular salidas como para recuperar una entrada.
f: R → R; f(x) = 3x + 6
f(−2) = 3·(−2) + 6 = 0
f(4) = 3·4 + 6 = 18
Si f(x) = 15: 3x + 6 = 15 → x = 3
Comprobación: f(3) = 15
Dominio, codominio e imagen: R
Es biyectiva; para cada y, x = (y − 6)/3
La pendiente 3 es distinta de cero. Si 3a + 6 = 3b + 6, se obtiene a = b; además, la entrada (y − 6)/3 existe para cualquier y real.
EJEMPLO 06
Clasifica f(x) = x + 1 indicando sus conjuntos.
f: R → R; f(x) = x + 1
f(−1) = 0; f(2) = 3
Dominio, codominio e imagen: R
Para obtener y, elige x = y − 1
Es inyectiva y sobreyectiva: es biyectiva
La ecuación a + 1 = b + 1 implica a = b. Toda salida real y tiene la única entrada y − 1. Las propiedades inyectiva y sobreyectiva pueden cumplirse a la vez.
EJEMPLO 07
Clasifica la función cuadrática sin olvidar los valores negativos del codominio.
f: R → R; f(x) = x2
f(−2) = (−2)2 = 4; f(2) = 22 = 4
Dominio: R; codominio: R
Imagen: [0, ∞)
No es inyectiva: −2 y 2 tienen la misma salida
No es sobreyectiva sobre R: no alcanza −1
Todo cuadrado real es no negativo y todo y ≥ 0 se obtiene con x = √y. La imagen es exactamente [0, ∞), aunque el codominio elegido sea R. La igualdad correcta es (−x)² = x²; −x² significa el opuesto del cuadrado.
EJEMPLO 08
Conserva la regla x² y el dominio R, pero toma solo los no negativos como codominio.
f: R → [0, ∞); f(x) = x2
Dominio: R; codominio e imagen: [0, ∞)
Para cada y ≥ 0, x = √y cumple x2 = y
Es sobreyectiva, pero no inyectiva
Para y = 9: x = −3 o x = 3
Ahora se alcanzan todos los elementos del codominio. Siguen existiendo entradas distintas con la misma salida. Sobreyectiva se refiere al codominio declarado, no al hecho de que una fórmula esté definida en x = 0.
EJEMPLO 09
Permite solo entradas no negativas y conserva las salidas no negativas.
f: [0, ∞) → [0, ∞); f(x) = x2
Dominio, codominio e imagen: [0, ∞)
Para y = 9, la única entrada permitida es x = 3
Es biyectiva; su inversa es f⁻¹(y) = √y
Condición: x ≥ 0; f⁻¹ indica la función inversa, no 1/f.
Si a y b son no negativos y a² = b², entonces a = b. Cada y no negativo tiene una única raíz cuadrada no negativa. Se ha cambiado el dominio, no solo la manera de dibujar la curva.
EJEMPLO 10
Separa el valor prohibido como entrada del valor que no se alcanza como salida.
f: R∖{0} → R; f(x) = 1/x
R∖{0} = R sin el 0
f(2) = 1/2; f(−4) = −1/4
Dominio: R∖{0}; codominio: R; imagen: R∖{0}
Es inyectiva, pero no sobreyectiva sobre R
Condición: x ≠ 0.
La entrada 0 se excluye porque no se puede dividir entre cero. La falta de sobreyectividad se demuestra de otra forma: no existe x del dominio con 1/x = 0. Para toda salida y ≠ 0, sí existe x = 1/y.
EJEMPLO 11
Excluye también el cero del codominio.
f: R∖{0} → R∖{0}; f(x) = 1/x
Dominio, codominio e imagen: R∖{0}
Si 1/a = 1/b, con a y b no nulos, entonces a = b
Para cada y ≠ 0, la única entrada es x = 1/y
Es biyectiva
Condición: x ≠ 0; y ≠ 0.
La regla no ha cambiado, pero el codominio sí. Ya no contiene el valor inalcanzable 0. La función recíproca es su propia inversa sobre R∖{0}.
EJEMPLO 12
Elige la raíz principal, que siempre es no negativa.
f: [0, ∞) → [0, ∞); f(x) = √x
f(0) = 0; f(9) = 3; f(1/4) = 1/2
Dominio, codominio e imagen: [0, ∞)
Es biyectiva; para obtener y ≥ 0, toma x = y2
Condición: Se trabaja con números reales y raíz cuadrada principal.
√9 vale 3, no ±3. En cambio, la ecuación x² = 9 tiene dos soluciones reales. Para justificar la inyectividad, si √a = √b, elevar ambos lados al cuadrado da a = b. Si se eligiera R como codominio, no sería sobreyectiva.
EJEMPLO 13
Compara x³ con x².
f: R → R; f(x) = x3
f(−2) = −8; f(0) = 0; f(2) = 8
Dominio, codominio e imagen: R
Para cada y real existe una única raíz cúbica x = ∛y
Es biyectiva
El cubo es estrictamente creciente en R. Si a < b, la diferencia b³ − a³ = (b − a)(b² + ab + a²) es positiva: el primer factor es positivo y el segundo solo podría ser cero si a = b = 0, lo que aquí no ocurre.
EJEMPLO 14
Simplifica una función racional manteniendo la restricción original.
f: R sin {1} → R; f(x) = (x2 − 1)/(x − 1)
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
Para x ≠ 1: f(x) = x + 1
f(2) = 3; f(0) = 1; f(1) no está definida
Imagen: R sin {2}
Es inyectiva, pero no sobreyectiva sobre R
Condición: x ≠ 1.
El valor 2 solo se obtendría con x = 1, precisamente la entrada excluida. Para cualquier y ≠ 2 sirve x = y − 1. La función original y x + 1 definida en todo R tienen dominios distintos.
EJEMPLO 15
Usa una fórmula diferente a cada lado de cero.
f: R → R
Si x < 0: f(x) = −x
Si x ≥ 0: f(x) = x + 1
f(−2) = 2; f(0) = 1; f(2) = 3
Dominio: R; codominio: R; imagen: (0, ∞)
No es inyectiva: f(−1) = f(0) = 1
No es sobreyectiva sobre R
Cada entrada pertenece a exactamente uno de los dos tramos. El primero alcanza todos los positivos; el segundo alcanza [1, ∞). El cero no se alcanza. En x = 0 se usa el segundo tramo: el punto (0, 1) está incluido y (0, 0) está excluido.
EJEMPLO 16
Interpreta |x| como distancia desde x hasta cero.
f: R → [0, ∞); f(x) = |x|
Si x < 0: |x| = −x; si x ≥ 0: |x| = x
f(−5) = 5; f(5) = 5; f(0) = 0
Dominio: R; codominio e imagen: [0, ∞)
Es sobreyectiva, pero no inyectiva
Una distancia no es negativa. Toda salida y ≥ 0 se obtiene tomando x = y, pero las entradas opuestas no nulas comparten salida. El detalle de gráficas y desplazamientos corresponde al artículo específico de valor absoluto.
EJEMPLO 17
Evalúa las funciones del mismo ángulo y distingue sus restricciones.
Codominio elegido: R para las seis funciones
Ángulo: x = π/6 radianes = 30°
Seno: sen x
Dominio: R; imagen: [−1, 1]
Valor en π/6: 1/2
Coseno: cos x
Dominio: R; imagen: [−1, 1]
Valor en π/6: √3/2
Tangente: tan x = sen x / cos x
Dominio: x ≠ π/2 + kπ; imagen: R
Valor en π/6: √3/3
Secante: sec x = 1 / cos x
Dominio: x ≠ π/2 + kπ; imagen: (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
Valor en π/6: 2√3/3
Cotangente: cot x = cos x / sen x
Dominio: x ≠ kπ; imagen: R
Valor en π/6: √3
Cosecante: csc x = 1 / sen x
Dominio: x ≠ kπ; imagen: (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
Valor en π/6: 2
Condición: Ángulos en radianes; k entero; no dividir entre cero.
k representa cualquier entero. En las restricciones se entiende que x es real. Se excluyen los ceros del denominador. Con codominio R, tangente y cotangente son sobreyectivas; las otras cuatro no. Ninguna de las seis es inyectiva en su dominio completo, porque sus valores se repiten periódicamente.
EJEMPLO 18
Calcula la distancia recorrida por unidad de tiempo.
v(d, t) = d/t
Dominio: pares (d, t) con d ≥ 0 y t > 0
Codominio e imagen: [0, ∞)
Con d en km y t en h, v se obtiene en km/h
v(120, 2) = 60 km/h
v(180, 3) = 60 km/h
Condición: d ≥ 0; t > 0.
La entrada es el par (distancia, tiempo). Dos pares distintos pueden dar la misma salida. Por eso variar ambas cantidades no obliga a cambiar el cociente. Con distancia recorrida se calcula rapidez media; la velocidad media usa desplazamiento y puede incluir dirección. Se alcanza cualquier rapidez r ≥ 0 eligiendo t = 1 y d = r en estas unidades.
EJEMPLO 19
Calcula la media aritmética de una lista no vacía.
Para n ≥ 1: M(x1, …, xn) = (x1 + … + xn)/n
Con n fijo, el dominio son las listas de n reales
Codominio e imagen: R
M(4, 6, 8) = (4 + 6 + 8)/3 = 6
M(5, 6, 7) = (5 + 6 + 7)/3 = 6
M(6) = 6
Condición: n entero positivo; una lista vacía no tiene media aritmética.
Cambiar los datos o la longitud de la lista no obliga a cambiar la media. Para un n fijo, cualquier real y es la media de una lista cuyos n datos valen y. Si se admiten longitudes variables, el dominio es el conjunto de todas las listas finitas no vacías de reales.
EJEMPLO 20
Aplica primero una función y usa su salida como entrada de la otra.
f: R → R; f(x) = 3x + 6
g: R → R; g(x) = x2
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = 3x2 + 6
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = (3x + 6)2
(f ∘ g)(2) = f(4) = 18
(g ∘ f)(2) = g(12) = 144
Ambas composiciones tienen dominio y codominio R
Imagen de f ∘ g: [6, ∞); de g ∘ f: [0, ∞)
El símbolo ∘ indica composición, no multiplicación. El orden cambia la función resultante. Aquí todas las salidas intermedias están permitidas; en otras composiciones hay que comprobar el dominio de la función que se aplica después.