Ecuaciones diferenciales de primer orden: 20 ejemplos

En y′ + 4y − x = 0, la derivada de mayor orden es y′: orden 1.

En (y′)² − y + x³ = 1, sigue apareciendo solo y′: orden 1.

La potencia 2 de y′ determina el grado 2 de la segunda ecuación, no su orden.

Condición: Grado definido para una ecuación polinómica en las derivadas.

Primer orden no significa primer grado ni ecuación lineal. La linealidad exige que y y sus derivadas aparezcan a la primera potencia, sin productos entre ellas ni funciones no lineales de ellas.

y = ∫(3x² − 2) dx = x³ − 2x + C.

Comprobación: y′ = 3x² − 2.

Condición: x real; C constante real.

Cada valor real de C da una solución. Derivar elimina la constante, por eso una ecuación sin dato inicial puede describir una familia de funciones.

Partimos de y = x³ − 2x + C.

2 = 1³ − 2 · 1 + C = −1 + C; por tanto C = 3.

Solución: y = x³ − 2x + 3.

Verificación: y′ = 3x² − 2 y y(1) = 2.

Condición: Intervalo: todos los reales.

Una solución del problema inicial debe satisfacer tanto la ecuación como el dato. En este caso el dato determina una sola constante.

y = sin x + C.

Comprobación: (sin x + C)′ = cos x.

Condición: Intervalo: todos los reales; ángulos en radianes.

Las funciones trigonométricas se interpretan en radianes en estas fórmulas de derivación. C puede ser cualquier número real.

y = ln|x| + C, para x ≠ 0.

En x > 0: y = ln x + C.

En x < 0: y = ln(−x) + C.

En ambos intervalos, y′ = 1/x.

Condición: Trabajar en un intervalo contenido en (−∞,0) o en (0,∞).

No hay una solución clásica de esta ecuación en un intervalo que atraviese 0: el miembro 1/x no está definido allí. Las constantes de las dos componentes del dominio pueden ser independientes.

Si y ≠ 0: dy/y = 2x dx.

ln|y| = x² + C₁.

y = Ce^x².

Comprobación: y′ = 2xCe^x² = 2xy.

Condición: Intervalo: todos los reales; C real, incluido 0.

Al dividir por y se excluyó temporalmente y = 0. Esa solución debe comprobarse aparte y queda incluida tomando C = 0. La constante C también puede ser negativa.

Para y ≠ 0: dy/y² = dx.

−1/y = x + C; por tanto y = −1/(x + C).

Comprobación: y′ = 1/(x + C)² = y².

Además, y = 0 satisface la ecuación.

Condición: Para la fórmula racional, x + C ≠ 0; revisar y = 0 por separado.

La solución cero se perdería si solo se divide por y². Las soluciones no nulas se definen en intervalos que no contienen x = −C.

1 = −1/C; entonces C = −1.

y = 1/(1 − x).

y′ = 1/(1 − x)² = y²; y(0) = 1.

Intervalo máximo que contiene 0: (−∞,1).

Condición: Solución clásica real; intervalo conectado que contiene x = 0.

La expresión también define otra rama para x > 1, pero esa rama no contiene el dato inicial. La solución crece sin límite al acercarse a 1 por la izquierda y no se prolonga a través de ese punto como función finita.

y dy = x dx; al integrar, y² = x² + C.

El dato da 4 = C.

La rama que cumple y(0) = 2 es y = √(x² + 4).

Derivando: y′ = x/√(x² + 4) = x/y.

Condición: Intervalo: todos los reales; mantener y ≠ 0.

La raíz negativa no satisface el dato. La raíz positiva nunca vale cero, de modo que esta solución está definida para todo x real. La ecuación original exige y ≠ 0.

y′ = −4y; para y ≠ 0, dy/y = −4 dx.

y = Ce^−4x.

Verificación: y′ + 4y = −4Ce^−4x + 4Ce^−4x = 0.

Condición: Intervalo: todos los reales; C real.

La solución y = 0 queda incluida con C = 0. «Homogénea» se refiere aquí a una ecuación lineal cuyo término independiente es cero.

Factor integrante: μ(x) = e^4x.

(e^4xy)′ = xe^4x.

∫xe^4x dx = e^4x(x/4 − 1/16) + C.

y = x/4 − 1/16 + Ce^−4x.

Comprobación: y′ = 1/4 − 4Ce^−4x; al sumar 4y se obtiene x.

Condición: Intervalo: todos los reales.

La integral del tercer paso se obtiene por partes. El factor integrante convierte el miembro izquierdo en la derivada de un producto.

0 = −1/16 + C; entonces C = 1/16.

y = x/4 − 1/16 + (1/16)e^−4x.

y′ = 1/4 − (1/4)e^−4x.

Sustituyendo: y′ + 4y = x y y(0) = 0.

Condición: Intervalo: todos los reales.

La condición inicial fija la constante de la familia del ejemplo anterior. No modifica el método ni los coeficientes de la ecuación.

y′ − 2y = −eˣ; μ(x) = e^−2x.

(e^−2xy)′ = −e^−x.

e^−2xy = e^−x + C.

y = eˣ + Ce^2x.

Verificación: eˣ + y′ − 2y = eˣ + (eˣ + 2Ce^2x) − 2(eˣ + Ce^2x) = 0.

Condición: Intervalo: todos los reales.

El signo de la integral importa: la derivada de e^−x es −e^−x. Esta ecuación es lineal de primer orden y grado 1.

y′ − 2y = −e·x.

Prueba una solución particular yₚ = ax + b.

a − 2(ax + b) = −e·x implica a = e/2 y b = e/4.

y = (e/2)x + e/4 + Ce^2x.

Sustitución: y′ − 2y = −e·x.

Condición: Intervalo: todos los reales; e es constante.

eˣ y e·x no son lo mismo. Escribir explícitamente la potencia o el producto evita resolver una ecuación distinta de la que se pretendía.

Multiplica por x: xy′ + y = x.

(xy)′ = x; por tanto xy = x²/2 + C.

y = x/2 + C/x.

y′ + y/x = (1/2 − C/x²) + (1/2 + C/x²) = 1.

Condición: Intervalo contenido en (−∞,0) o (0,∞).

Aunque C = 0 produzca una fórmula que puede extenderse a cero, la ecuación original no está definida allí. Con y(1) = 1 resulta C = 1/2 y el intervalo máximo es (0,∞).

M = 2x + y; N = x + 2y.

M_y = 1 y N_x = 1: la ecuación es exacta.

Un potencial es F(x,y) = x² + xy + y².

Las curvas solución cumplen x² + xy + y² = C.

Al derivar: 2x + y + (x + 2y)y′ = 0.

Condición: Para una solución local y(x), x + 2y ≠ 0.

El subíndice indica derivada parcial. Para representar localmente la curva como función y(x), basta trabajar donde x + 2y ≠ 0. Por ejemplo, en (0,1) se tiene C = 1 y esa condición se cumple.

Para y ≠ 0, define v = 1/y; entonces v′ = −y′/y².

Al dividir por y²: −v′ + v = 1, es decir v′ − v = −1.

La ecuación lineal da v = 1 + Ceˣ.

y = 1/(1 + Ceˣ); además, y = 0 es solución.

Comprobación: y′ = −Ceˣ/(1 + Ceˣ)² = y² − y.

Condición: Para la familia racional, 1 + Ceˣ ≠ 0; y = 0 se comprueba aparte.

C = 0 da la solución constante y = 1. Deben excluirse los ceros del denominador: si C < 0, aparece el punto x = ln(−1/C).

Define u = T − 20; entonces u′ = −u/10.

u = Ce^−t/10; T(0) = 80 da C = 60.

T(t) = 20 + 60e^−t/10.

Comprobación: T′ = −6e^−t/10 = −(T − 20)/10.

A los 10 minutos: T(10) = 20 + 60/e ≈ 42,07 °C.

Condición: Modelo ideal con ambiente y coeficiente constantes; uso físico t ≥ 0.

La constante de enfriamiento es 0,1 por minuto. La temperatura se aproxima a 20 °C desde arriba; el modelo no predice alcanzarla exactamente en un tiempo finito.

(y′)² = 1 + y − x³.

Para una solución real se requiere 1 + y − x³ ≥ 0.

Donde 1 + y − x³ > 0, hay dos posibilidades locales: y′ = √(1 + y − x³) o y′ = −√(1 + y − x³).

En (x,y) = (0,0), las pendientes posibles son 1 y −1.

Condición: Análisis local real; no aplicar el factor integrante de ecuaciones lineales.

Es de primer orden y grado 2, pero no lineal ni directamente separable. Aquí se clasifican sus ramas; no se afirma una fórmula general elemental. Elevar o quitar cuadrados sin controlar signos puede perder soluciones.

Una solución es y(x) = 0 para todo x.

Para cualquier a ≥ 0, otra es y(x) = 0 si x ≤ a y y(x) = (x − a)² si x ≥ a.

A la izquierda de a, y′ = 0; a la derecha, y′ = 2(x − a) = 2√|y|.

En x = a, ambas derivadas valen 0; además, y(0) = 0.

Condición: Familia mostrada para a ≥ 0; definida en todos los reales.

Estas soluciones son diferenciables también en la unión. La dependencia respecto de y no cumple una condición de Lipschitz local en y = 0; por eso no se puede aplicar allí la garantía usual de unicidad.

Comprueba la ecuación original, no solo una forma transformada.

Revisa cada dato inicial y el intervalo donde la solución tiene sentido.

Condición: Funciones y variables reales; condiciones indicadas en cada ejercicio.

La constante arbitraria, las soluciones perdidas al dividir y los puntos excluidos forman parte de la respuesta.

1. Identifica la derivada más alta, la forma de la ecuación y su dominio.

2. Elige un método compatible: integración, separación, factor integrante o potencial, según corresponda.

3. Al dividir por una expresión, comprueba aparte cuándo vale cero.

4. Deriva la solución obtenida y sustitúyela en la ecuación original.

5. Si hay dato inicial, determina la constante y comprueba el punto.

6. Indica el intervalo de validez y cualquier rama seleccionada.

Condición: No se presupone un método universal.

No todas las ecuaciones de primer orden se resuelven con una fórmula elemental. Clasificar, comprobar o estudiar una solución local puede ser el objetivo adecuado.