Álgebra vectorial: 24 ejemplos resueltos

AB = B − A = (4 − 1, 6 − 2) = (3,4).

Esto significa avanzar 3 unidades horizontalmente y 4 verticalmente.

‖AB‖ = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Condición: Coordenadas cartesianas con ejes perpendiculares y la misma unidad de longitud.

El vector (3,4) y su módulo 5 son objetos distintos: el primero conserva componentes y orientación; el segundo es una longitud no negativa.

BA = A − B = (1 − 4, 2 − 6) = (−3,−4).

BA = −AB.

‖BA‖ = √[(−3)² + (−4)²] = 5.

Condición: El orden de los puntos indica el sentido del vector.

Invertir el recorrido conserva el módulo y la dirección de la recta, pero cambia el sentido. No se obtiene una longitud negativa.

CD = D − C = (1 − (−2), 5 − 1) = (3,4).

AB y CD tienen las mismas componentes, aunque sus puntos iniciales sean distintos.

Representan el mismo vector libre: igual módulo, dirección y sentido.

Condición: Comparación de vectores libres en la misma base de coordenadas.

Aquí trabajamos con vectores libres. En una aplicación física, el punto donde se aplica una fuerza puede importar y no siempre puede trasladarse sin más. El vector cero se reconoce por todas sus componentes nulas, no por una dirección.

‖v‖ = √[(−6)² + 8²].

‖v‖ = √(36 + 64) = √100 = 10.

En general, para v = (a,b), ‖v‖ = √(a² + b²).

Condición: Norma euclidiana; ejes cartesianos perpendiculares.

Se suman los cuadrados; no se restan. El signo negativo de una componente indica orientación, pero su cuadrado aporta positivamente a la longitud.

u + v = (2 + (−1), 1 + 3) = (1,4).

Gráficamente, coloca el inicio de v en el extremo de u sin girarla ni cambiar su longitud.

La suma va desde el inicio de u hasta el extremo de la v trasladada.

Condición: Vectores de la misma dimensión expresados en la misma base.

La componente horizontal de v es negativa: desde (2,1) se avanza una unidad a la izquierda y tres hacia arriba.

AB = B − A = (3,4); CD = D − C = (5,−1).

AB + CD = (3,4) + (5,−1) = (8,3).

También puede representarse desde P = A + C = (−1,3) hasta Q = B + D = (7,6).

En efecto, Q − P = (7 − (−1), 6 − 3) = (8,3).

Condición: Misma base y origen de coordenadas; suma de vectores libres.

Sumar los dos puntos iniciales y los dos finales da una representación válida en coordenadas, pero el vector resultante es la diferencia Q − P. Calcular primero las componentes evita confundir puntos con vectores.

u + v = (2 − 1, 1 + 3) = (1,4).

v + u = (−1 + 2, 3 + 1) = (1,4).

En general, u + v = v + u porque en cada componente la suma de números reales es conmutativa.

Condición: Vectores de la misma dimensión.

Esta propiedad es de la suma. No se puede atribuir automáticamente a todas las operaciones: el producto vectorial cambia de signo al invertir sus factores.

(u + v) + w = (1,4) + (3,−2) = (4,2).

u + (v + w) = (2,1) + (2,1) = (4,2).

En general, (u + v) + w = u + (v + w), por asociatividad de la suma en cada componente.

Condición: Tres vectores de la misma dimensión.

Los paréntesis cambian qué suma se calcula primero, pero no el vector final. Se suman siempre componentes correspondientes.

u − v = (4 − 1, 1 − 3) = (3,−2).

Es lo mismo que u + (−v), donde −v = (−1,−3).

El orden contrario da v − u = (−3,2) = −(u − v).

Condición: Vectores expresados en la misma base y dimensión.

La resta no es conmutativa. Revisa especialmente el signo al restar una componente negativa.

2v = (6,−2).

−2v = (−6,2).

(1/2)v = (3/2,−1/2).

0v = (0,0).

Condición: Escalares reales; v no nulo para hablar de su sentido.

Si el factor es positivo conserva el sentido; si es negativo lo invierte. El módulo se multiplica por el valor absoluto del factor: ‖−2v‖ = 2√10.

v + (−v) = (3,−1) + (−3,1) = (0,0).

El módulo del vector cero es 0.

No puede normalizarse mediante v/‖v‖, porque se dividiría entre cero.

Condición: Distinguir el vector cero (0,0) del número 0.

El vector cero es el elemento neutro de la suma: u + 0 = u. No tiene dirección ni sentido determinados, y no se le asigna un ángulo con otro vector.

‖v‖ = 5.

El vector unitario es v/‖v‖ = (3/5,4/5).

Su módulo es √(9/25 + 16/25) = 1.

Un vector de módulo 2 con el mismo sentido es 2(v/‖v‖) = (6/5,8/5).

Condición: v ≠ 0.

Normalizar cambia la longitud a 1 y conserva dirección y sentido. Si v representa una longitud, el cociente por su módulo no lleva unidad de longitud.

v = −2u: u y v son paralelos y tienen sentidos contrarios.

Para que w fuera 2u, su segunda componente tendría que ser −6, no −5.

Por tanto, w no es múltiplo de u y no es paralelo a él.

Condición: u, v y w no nulos.

El mismo factor debe servir en todas las componentes. Para hablar de direcciones paralelas, aquí se consideran vectores no nulos.

2u = (2,4).

3v = (9,−3).

2u − 3v = (2 − 9, 4 − (−3)) = (−7,7).

Condición: Vectores de la misma dimensión; escalares 2 y −3.

Una combinación lineal consiste en sumar vectores multiplicados por escalares. El signo menos afecta a todas las componentes del vector que se resta.

u + v = (5,−2,2).

u − v = (−3,−2,4).

‖u + v‖ = √[5² + (−2)² + 2²] = √33.

En R³, ‖(a,b,c)‖ = √(a² + b² + c²).

Condición: Coordenadas cartesianas ortonormales en R³.

Se conserva la misma regla por componentes y se añade la tercera coordenada. No se suman directamente un par y una terna sin definir antes cómo se relacionan sus espacios.

u · v = 2 × 4 + 3 × (−1) = 8 − 3 = 5.

En R²: (a,b) · (c,d) = ac + bd.

El resultado 5 es un escalar; no es el vector (8,−3).

Condición: Vectores de la misma dimensión; producto escalar euclidiano.

El punto · indica producto escalar. No se conserva por separado cada producto de componentes: se suman para obtener un número.

u · v = 2 × 3 + 3 × (−2) = 6 − 6 = 0.

Como ambos son no nulos, el ángulo entre ellos es de 90°.

La identidad u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ explica por qué el producto se anula.

Condición: u ≠ 0 y v ≠ 0 para interpretar un ángulo.

El producto escalar con el vector cero también vale cero algebraicamente, pero no define un ángulo de 90°: ese vector no tiene dirección determinada.

u · v = 1; ‖u‖ = 1; ‖v‖ = √2.

cos θ = (u · v)/(‖u‖ ‖v‖) = 1/√2 = √2/2.

θ = 45°.

Condición: Ángulo entre 0° y 180°; ambos vectores no nulos.

Entre vectores no nulos y no paralelos, un producto escalar positivo corresponde a un ángulo agudo, uno negativo a un ángulo obtuso y cero a un ángulo recto. Los casos de 0° y 180° son paralelos.

u · v = 6; v · v = 4.

Proyección vectorial: proj_v(u) = [(u · v)/(v · v)]v = (6/4)(2,0) = (3,0).

La componente escalar en el sentido de v es (u · v)/‖v‖ = 6/2 = 3.

El resto u − proj_v(u) = (0,4) es perpendicular a v.

Condición: v ≠ 0; proyección ortogonal euclidiana.

La proyección vectorial (3,0) y la componente escalar 3 no son el mismo tipo de resultado. El escalar puede ser negativo si u apunta en sentido opuesto a v.

u × v = (u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁).

u × v = (2 × 4 − 3 × 1, 3 × 0 − 1 × 4, 1 × 1 − 2 × 0) = (5,−4,1).

Comprobación: (5,−4,1) · u = 5 − 8 + 3 = 0.

También (5,−4,1) · v = 0 − 4 + 4 = 0.

Al invertir el orden: v × u = (−5,4,−1).

Condición: Producto vectorial usual en R³; base cartesiana ortonormal de orientación positiva.

El producto vectorial usual produce un vector perpendicular a ambos factores, con orientación dada por la regla de la mano derecha. Si los factores son paralelos, el resultado es el vector cero.

Al escribirlos en R³: a = (3,0,0) y b = (1,2,0).

a × b = (0,0,3 × 2 − 0 × 1) = (0,0,6).

Área del paralelogramo = ‖a × b‖ = 6 unidades cuadradas.

Área del triángulo con esos lados = 6/2 = 3 unidades cuadradas.

Condición: Lados adyacentes con el mismo punto inicial; unidades de longitud compatibles.

La fórmula plana es |a₁b₂ − a₂b₁|. El valor absoluto evita un área negativa si se invierte el orden. En este caso también se comprueba como base 3 por altura 2.

F₁ + F₂ = (3,4) N.

Módulo de la fuerza resultante: √(3² + 4²) N = 5 N.

Sumar los módulos daría 7 N, pero no es el módulo de esta suma.

Condición: Modelo de partícula; componentes de fuerzas en los mismos ejes y expresadas en newtons.

Las fuerzas son perpendiculares. Los módulos solo se suman directamente para fuerzas colineales del mismo sentido; en general debe hacerse la suma vectorial.

Componente horizontal: 10 cos 120° = −5 m/s.

Componente vertical: 10 sen 120° = 5√3 m/s.

Vector velocidad: (−5,5√3) m/s.

Comprobación del módulo: √[25 + 75] m/s = 10 m/s.

Condición: Ángulo en grados; ejes cartesianos perpendiculares.

El ángulo se mide en sentido antihorario. Al estar en el segundo cuadrante, la componente horizontal es negativa y la vertical positiva.

No como están escritos: u tiene dos componentes y v tiene tres.

Si el problema indica que u está en el plano z = 0, se representa en R³ como (2,3,0).

Entonces la suma en R³ es (2,3,0) + (1,−1,4) = (3,2,4).

Condición: Misma dimensión para sumar; la inclusión en z = 0 se indica expresamente.

Añadir una coordenada cero exige una interpretación definida del problema. Antes de calcular, identifica también si la operación debe producir un número o un vector.

Condición: Coordenadas cartesianas; las longitudes y áreas usan unidades compatibles.

Si hay puntos iniciales y finales, calcula antes las diferencias de coordenadas. Si hay un producto, identifica qué operación se pide.

1. Para AB, resta B − A, no A − B.

2. Para el módulo, suma cuadrados y toma la raíz no negativa.

3. Suma o resta solo componentes correspondientes.

4. No normalices ni calcules un ángulo con el vector cero.

5. Distingue producto escalar, producto vectorial y multiplicación por un número.

6. Conserva dimensión, orientación y unidades en los datos y en el resultado.

Condición: Vectores euclidianos reales en una misma base.

Una flecha representa orientación y componentes; su longitud representa el módulo. La figura sirve para comprobar el cálculo, pero no sustituye las hipótesis del problema.