Funciones trigonométricas: 20 ejemplos resueltos

sen θ = opuesto/hipotenusa = 3/5.

cos θ = adyacente/hipotenusa = 4/5.

tan θ = opuesto/adyacente = 3/4.

Los lados son compatibles: 3² + 4² = 5².

Condición: Triángulo rectángulo; θ agudo junto al cateto de 4 cm.

Opuesto y adyacente se identifican respecto del ángulo elegido. Si se toma el otro ángulo agudo, los catetos cambian de papel.

sen θ = 6/10 = 3/5.

cos θ = 8/10 = 4/5.

tan θ = 6/8 = 3/4.

Condición: Triángulos semejantes y ángulos correspondientes.

Todos los lados se multiplicaron por 2; el factor se cancela en cada cociente. El ángulo θ se forma entre el cateto adyacente y la hipotenusa, no entre el opuesto y la hipotenusa.

cot θ = 4/3 = cos θ / sen θ.

sec θ = 5/4 = 1/cos θ.

csc θ = 5/3 = 1/sen θ.

Condición: θ agudo para los valores 3–4–5; conservar restricciones al extender al círculo.

Son razones recíprocas, no funciones inversas que devuelven ángulos. Se puede escribir cot θ = 1/tan θ solo donde ambos lados estén definidos; cot 90° = 0, aunque tan 90° no exista.

30° × π/180° = π/6 rad.

135° × π/180° = 3π/4 rad.

(5π/6) rad × 180°/π rad = 150°.

En modo grados: sen 30° = 1/2. En modo radianes: sen(π/6) = 1/2.

Condición: Usar 180° = π rad como equivalencia de unidades.

El número 30 en modo radianes no representa 30°. Comprueba el modo de la calculadora antes de evaluar.

Al partir un equilátero de lado 2 por su altura aparecen lados 1, √3 y 2.

Para 30°: sen = 1/2, cos = √3/2 y tan = 1/√3 = √3/3.

Para 60° se intercambian los catetos: sen = √3/2, cos = 1/2 y tan = √3.

En un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 y 1, la hipotenusa es √2: sen 45° = cos 45° = √2/2 y tan 45° = 1.

Condición: Triángulos rectángulos para ángulos agudos; círculo para 0° y 90°.

Las raíces conservan el valor exacto; los casos de los ejes se añaden mediante el círculo unitario.

cos θ es la coordenada horizontal: −√3/2.

sen θ es la coordenada vertical: 1/2.

tan θ = (1/2)/(−√3/2) = −√3/3.

Comprobación del radio: (−√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1.

Condición: Círculo de radio 1 y ángulo medido desde el eje horizontal positivo.

El ángulo positivo se mide desde el semieje horizontal positivo en sentido antihorario. Esta definición extiende las funciones más allá de los ángulos agudos.

sen 210° = −1/2.

cos 210° = −√3/2.

tan 210° = (−1/2)/(−√3/2) = √3/3.

En 270°, el punto es (0,−1): sen = −1, cos = 0 y tan no está definida.

Condición: Distinguir el interior de los cuadrantes de los puntos sobre los ejes.

El ángulo de referencia da la magnitud; el cuadrante determina el signo. No apliques una fila de signos a un punto que esté sobre un eje.

sen(−30°) = −1/2.

cos(−30°) = √3/2.

tan(−30°) = −√3/3.

Condición: Ángulo en grados; giro horario para valores negativos.

Por simetría del círculo: sen(−θ) = −sen θ y cos(−θ) = cos θ. La tangente también cambia de signo donde está definida.

390° = 360° + 30°; sen 390° = 1/2 y cos 390° = √3/2.

La tangente se repite cada 180°: tan 225° = tan 45° = 1.

En radianes: sen(x + 2π) = sen x; cos(x + 2π) = cos x; tan(x + π) = tan x donde existe.

Condición: Respetar el periodo de cada función y su dominio.

El periodo fundamental de seno y coseno es 2π; el de tangente es π. Sumar π no conserva siempre seno o coseno.

En 90°: sen = 1 y cos = 0; tan y sec no están definidas.

En 180°: sen = 0 y cos = −1; cot y csc no están definidas.

En cambio, cot 90° = cos 90° / sen 90° = 0/1 = 0.

En radianes, tan y sec excluyen x = π/2 + kπ; cot y csc excluyen x = kπ, para todo entero k.

Condición: k es cualquier entero; las exclusiones generales están en radianes.

«No definida» no significa un valor real infinito. Una calculadora puede mostrar un número enorme cerca de una exclusión por el redondeo; eso no elimina la división entre cero.

opuesto = 10 × sen 30° = 10 × 1/2 = 5 cm.

adyacente = 10 × cos 30° = 5√3 cm ≈ 8,66 cm.

Comprobación: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10².

Condición: Triángulo rectángulo; ángulo en grados.

Una razón trigonométrica no lleva centímetros; al multiplicarla por la hipotenusa se obtiene una longitud.

tan 35° = opuesto / 12.

opuesto = 12 × tan 35° ≈ 8,40 cm.

Condición: Triángulo rectángulo; θ agudo; redondeo a centésimas.

Usa la calculadora en grados y redondea al final. No confundas el cateto de 12 cm con la hipotenusa.

tan θ = 7/10 = 0,7.

θ = arctan(0,7) ≈ 34,99°.

La hipotenusa mide √149 cm; los dos catetos son positivos.

Condición: Triángulo rectángulo; salida expresada en grados.

Como θ es un ángulo agudo, el valor principal de arctan es la solución que corresponde al triángulo.

arcsen(1/2) = π/6 rad = 30°.

arccos(1/2) = π/3 rad = 60°.

arctan(1) = π/4 rad = 45°.

Si y = f(x) en una rama donde f es uno a uno, entonces f⁻¹(y) = x.

Condición: Inversas reales principales, con dominios e imágenes de la tabla.

Seno y coseno solo toman valores entre −1 y 1; por eso arcsen(2) y arccos(2) no son reales. Arctan admite cualquier número real. El intervalo de salida depende de la inversa.

arcsen(1/2) = π/6 rad.

1/sen 30° = 1/(1/2) = 2; esta es csc 30°.

La notación sen⁻¹(x) suele indicar arcsen(x), no 1/sen(x).

Condición: arcsen devuelve un ángulo; csc exige seno distinto de cero.

Para evitar ambigüedad, aquí escribimos arcsen, arccos y arctan al buscar ángulos, y usamos sec, csc o cocientes explícitos para las recíprocas.

arcsen(sen 150°) = arcsen(1/2) = 30°, no 150°.

arccos(cos 240°) = arccos(−1/2) = 120°, no 240°.

arctan(tan 135°) = arctan(−1) = −45°, no 135°.

Se recupera θ con arcsen(sen θ) solo en [−π/2,π/2]; con arccos(cos θ) en [0,π]; con arctan(tan θ) en (−π/2,π/2).

Condición: Resultados numéricos en grados; intervalos principales expresados en radianes.

Los tres intervalos finales están en radianes. Fuera de la rama elegida, la inversa devuelve otro ángulo con el mismo valor trigonométrico.

El ángulo de referencia es π/6.

Seno es positivo en los cuadrantes I y II.

Soluciones del intervalo: x = π/6 y x = π − π/6 = 5π/6.

Sin limitar el intervalo: x = π/6 + 2kπ o x = 5π/6 + 2kπ, con k entero.

Condición: Ángulos en radianes; intervalo inicial 0 ≤ x < 2π.

Arcsen(1/2) entrega solo π/6. Resolver la ecuación exige considerar las otras posiciones del círculo y el intervalo pedido.

sen² θ + cos² θ = 1.

cos² θ = 1 − 9/25 = 16/25.

En el segundo cuadrante cos θ < 0, luego cos θ = −4/5.

tan θ = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

Condición: sen θ = 3/5 y θ en el segundo cuadrante.

La identidad viene de x² + y² = 1 en el círculo unitario. El cuadrado no determina el signo: esa información procede del cuadrante.

Seno empieza en 0; coseno empieza en 1. Ambos oscilan entre −1 y 1 y repiten su ciclo cada 2π.

Tangente pasa por (0,0), repite cada π y no existe en x = π/2 + kπ.

La tangente tiene asíntotas verticales: cada rama se representa separada.

Condición: Eje horizontal en radianes; funciones reales.

Las líneas discontinuas señalan exclusiones del dominio, no segmentos de la función. La ventana vertical de tangente muestra solo valores entre −3 y 3; sus ramas no terminan allí.

Amplitud: 2. La salida varía entre −2 y 2.

Periodo: T = 2π/3, porque al aumentar x en 2π/3 el argumento 3x aumenta en 2π.

Un ciclo pasa por (0,0), (π/6,2), (π/3,0), (π/2,−2) y (2π/3,0).

Condición: x en radianes; línea media y = 0.

El factor exterior 2 cambia la amplitud; el factor interior 3 hace el periodo tres veces menor. No se multiplican ambos efectos de la misma manera.

Condición: Usar la unidad y el intervalo pedidos en cada pregunta.

La unidad angular, el signo, el dominio y el intervalo principal importan tanto como el cálculo.

1. Identifica el ángulo de referencia y la unidad: grados o radianes.

2. En un triángulo, distingue opuesto, adyacente e hipotenusa respecto del ángulo elegido.

3. Revisa que ningún denominador sea cero.

4. Distingue razón recíproca, inversa principal y soluciones de una ecuación.

5. Verifica signo, intervalo y coherencia con el círculo o la gráfica.

Condición: Aplicar cada comprobación a los datos y al dominio del problema.

Una razón no cambia al ampliar un triángulo semejante; un ángulo no cambia al expresarlo en otra unidad. Lo que cambia es su representación, no la figura.