Teorema de Euclides: 18 ejemplos resueltos

Hipotenusa: c = AB = p + q = 25 cm.

Altura: h = CD = √(9 × 16) = 12 cm.

Cateto u = AC: u = √(25 × 9) = 15 cm.

Cateto v = BC: v = √(25 × 16) = 20 cm.

Comprobación de Pitágoras: 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25².

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

p corresponde al cateto u y q al cateto v. La letra h representa la altura, no la hipotenusa. El ángulo recto de C pertenece al triángulo grande; el de D surge al trazar la perpendicular.

h² = p × q = 4 × 9 = 36 cm².

h = √36 = 6 cm.

La hipotenusa mide c = 4 + 9 = 13 cm.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

El cuadrado de una longitud lleva cm²; al extraer la raíz se obtiene cm. Se toma la raíz positiva porque se pide una longitud.

u² = c × p = 25 × 9 = 225 cm².

u = 15 cm.

La otra proyección es q = 25 − 9 = 16 cm; el otro cateto mide v = √(25 × 16) = 20 cm.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

No se multiplica el cateto por su proyección: se multiplica toda la hipotenusa por la proyección del cateto que se busca.

v² = c × q = 13 × 9 = 117 cm².

v = √117 = 3√13 cm ≈ 10,82 cm.

p = 13 − 9 = 4 cm y u = √52 = 2√13 cm.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Intercambiar p y q intercambia los catetos. La longitud de la altura se conserva, pero no se conserva qué valor corresponde a AC o BC.

De u² = c × p obtenemos p = u²/c.

p = 36/10 = 3,6 cm.

q = 10 − 3,6 = 6,4 cm.

h = √(3,6 × 6,4) = √23,04 = 4,8 cm.

El otro cateto mide v = √(10 × 6,4) = 8 cm.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Las proyecciones pueden ser decimales aunque los tres lados del triángulo sean enteros.

u² = c × p. Despejamos c = u²/p.

c = 100/5 = 20 cm.

q = c − p = 15 cm.

h = √75 = 5√3 cm y v = √300 = 10√3 cm.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

El resultado debe cumplir c > u y 0 < p < c. Aquí 20 > 10 y 5 < 20, de modo que los datos son compatibles.

h² = p × q. Como p > 0, despejamos q = h²/p.

q = 36/4 = 9 cm.

c = p + q = 4 + 9 = 13 cm.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Dividir h entre p no da la proyección: primero hay que elevar la altura al cuadrado.

Las proyecciones cumplen p + q = 13 y p × q = 36.

Sustituimos q = 13 − p: p(13 − p) = 36.

p² − 13p + 36 = 0; (p − 4)(p − 9) = 0.

Las proyecciones miden 4 cm y 9 cm, en cualquier orden.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Sin identificar qué cateto queda a cada lado, los datos no distinguen p = 4 de p = 9. Ambas asignaciones describen triángulos congruentes reflejados.

Por Pitágoras: c = √(9² + 12²) = 15 cm.

p = 9²/15 = 5,4 cm; q = 12²/15 = 9,6 cm.

Por igualdad de áreas: h = u × v / c = 108/15 = 7,2 cm.

Comprobación: h² = 51,84 cm² y p × q = 5,4 × 9,6 = 51,84 cm².

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Calcular h mediante el área y contrastarla con las proyecciones ofrece dos caminos al mismo resultado.

c = 25 cm y h = 12 cm.

Área = c × h / 2 = 25 × 12 / 2 = 150 cm².

Con los catetos: área = u × v / 2 = 15 × 20 / 2 = 150 cm².

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Cada base se empareja con su altura perpendicular: c con h, o un cateto con el otro. No se usa c con cualquier cateto como si fueran perpendiculares.

La base AB es la hipotenusa porque el ángulo recto está en C.

Por simetría: p = q = 2,5 m.

h² = 2,5 × 2,5 = 6,25 m².

h = 2,5 m.

Cada lado inclinado mide 2,5√2 m ≈ 3,54 m.

Condición: Modelo geométrico: base de 5 m, cumbrera centrada y ángulo superior de 90°.

La altura se deduce de tres condiciones: base de 5 m, simetría y ángulo superior recto. La base y la simetría por sí solas no fijan esa altura.

Las dos mitades de la base siguen midiendo 2,5 m.

Cada lado inclinado tiene cuadrado 2,5² + 1,5² = 8,5 m².

La suma de los cuadrados de los lados inclinados es 17 m², distinta de 5² = 25 m².

El triángulo grande no es rectángulo en la parte superior; no cumple h² = p × q: 2,25 ≠ 6,25.

Condición: Comparación geométrica: base 5 m y altura 1,5 m; no se supone ángulo recto superior.

Aunque la altura forme dos triángulos rectángulos pequeños, eso no convierte al triángulo grande en rectángulo. No se puede aplicar el teorema solo por dibujar una perpendicular.

p = q = 5 cm.

h = √(5 × 5) = 5 cm.

u = v = √50 = 5√2 cm.

Para cualquier reparto con p + q = c: 4pq ≤ (p + q)². Por tanto h ≤ c/2.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

La desigualdad se obtiene de (p − q)² ≥ 0. La igualdad h = c/2 ocurre exactamente cuando p = q; es el triángulo rectángulo isósceles.

La altura máxima posible es c/2 = 5 cm.

Como 6 > 5, los datos son incompatibles.

También: p + q = 10 y pq = 36 darían p² − 10p + 36 = 0, con discriminante 100 − 144 = −44.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

No se toman raíces de un resultado negativo como si fuera una longitud real. Comprueba también que p y q sean positivos y menores que c.

c = 0,9 + 1,6 = 2,5 m.

h = √(0,9 × 1,6) = √1,44 = 1,2 m.

u = √(2,5 × 0,9) = 1,5 m; v = √(2,5 × 1,6) = 2 m.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Estos decimales son datos exactos del ejercicio. También puedes usar fracciones: p = 9/10 m y q = 8/5 m; su producto es 36/25 m² y su raíz positiva es 6/5 m = 1,2 m.

Convertimos q = 160 cm.

h² = 90 × 160 = 14400 cm²; h = 120 cm.

c = 90 + 160 = 250 cm.

En metros: p = 0,9 m, q = 1,6 m y h = 1,2 m.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

No multipliques los números 90 y 1,6 sin gestionar sus unidades. Convertir antes de usar la fórmula evita mezclar cm y m.

c = 5 cm.

h = √6 cm ≈ 2,45 cm.

u = √10 cm ≈ 3,16 cm; v = √15 cm ≈ 3,87 cm.

Comprobación exacta: u² + v² = 10 + 15 = 25 = c².

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Las expresiones con radicales son exactas; los decimales están redondeados a centésimas. Comprueba las identidades con los valores exactos, no con redondeos intermedios.

Cada semejanza se justifica por dos ángulos iguales: uno recto y otro agudo correspondiente.

Entre ADC y ACB: p/u = u/c, luego u² = c × p.

Para el otro cateto: q/v = v/c, luego v² = c × q.

Entre los dos triángulos menores: p/h = h/q, luego h² = p × q.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Cada cateto es media geométrica de c y su proyección; h es media geométrica de p y q. Por eso se toman raíces de productos, no promedios aritméticos. Todas las divisiones usan longitudes positivas.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Los ejercicios cambian qué dato falta y añaden comprobaciones de existencia, área y condiciones geométricas.

1. Marca el ángulo recto del triángulo grande y localiza la hipotenusa.

2. Traza la altura desde ese ángulo hasta la hipotenusa e identifica p y q.

3. Empareja cada cateto con su proyección: u con p y v con q.

4. Usa una misma unidad y comprueba positividad, c = p + q y Pitágoras.

5. Si conoces c y h, verifica que 0 < h ≤ c/2.

Condición: Triángulo rectángulo en C; CD perpendicular a la hipotenusa AB.

Aquí «teorema de Euclides» designa las relaciones métricas del triángulo rectángulo. No es el algoritmo del máximo común divisor ni el teorema sobre la infinitud de los números primos.