Implicación lógica: ejemplos y tabla de verdad

p es el antecedente; q es el consecuente

p = V; q = V

p → q = V

Condición: Misma pieza y revisión; la regla se evalúa, no se presupone verdadera para todas las piezas.

Este caso satisface el condicional. Observar una pieza que cumple la regla no demuestra que todas las piezas la cumplan.

p = V; q = F

p → q = F

Condición: Misma regla, pieza y revisión.

Es el único caso que refuta el condicional material. Si la regla pretendía valer para todas las piezas, esta pieza es un contraejemplo.

p = F; q = V

p → q = V

Condición: Se evalúa el condicional material; no otras normas posibles del control.

La regla dada no dice que solo puedan recibir el sello las piezas que superen la revisión. Para imponer esa restricción haría falta q → p, la recíproca.

p = F; q = F

p → q = V

Condición: Misma pieza y revisión; verdad del condicional distinta de verdad del consecuente.

El condicional no se incumple: no aparece el caso p verdadera y q falsa. Esto no vuelve verdadera a q; el consecuente sigue siendo falso.

p solo si q se formaliza p → q

Tener pase es necesario para poder entrar

Poder entrar es suficiente para afirmar que se cumple el requisito del pase

Si tienes pase, puedes entrar sería q → p: otra regla

Condición: Reglas hipotéticas; suficiente y necesario se entienden respecto del condicional dado.

La palabra solo cambia qué condición es necesaria. En general, «p si q» expresa q → p y «p solo si q» expresa p → q. «p si y solo si q» exige ambas direcciones.

Se ha fijado q = V como dato del relato

Con p = V: V → V = V

Con p = F: F → V = V

Condición: Personajes hipotéticos; q se proporciona expresamente como dato.

El condicional material es verdadero bajo ese dato, pero no demuestra que la profesión de Juan cause ni justifique lo afirmado sobre María. No se deduce q de su nombre ni se ha probado una relación general entre ambas proposiciones.

Definición: A ⊆ B significa que todo elemento de A pertenece a B

Para todo x: x ∈ ∅ es F

F → V = V y F → F = V

Por tanto, para todo x se cumple (x ∈ ∅) → (x ∈ B)

Conclusión: ∅ ⊆ B

Condición: Conjuntos dentro de un universo común; ∈ es pertenencia y ⊆ inclusión.

No elegimos un elemento del vacío: no existe ninguno. La condición universal no tiene contraejemplos, cualquiera que sea B, incluso si B también es vacío. Esto demuestra inclusión, no que ∅ sea un elemento de B.

Para x = 2 o x = 4: (x ∈ A) → (x ∈ B) es V → V

Para x = 1 o x = 3: es F → V

Para x = 5: es F → F

No hay un x que esté en A y fuera de B: A ⊆ B

Condición: Universo U indicado; no hay más elementos por revisar.

La inclusión exige revisar todos los elementos de A, no que A y B sean iguales. B puede tener elementos adicionales; aquí B no es subconjunto de A, como muestra el 1.

Directa: p → q

Si n = 4k, entonces n = 2(2k), con k entero: la directa vale para todo n entero

Recíproca: q → p

n = 6 es par, pero no múltiplo de 4: la recíproca es falsa en ese caso

Condición: n y k enteros; un múltiplo es un múltiplo entero.

Una condición suficiente no tiene por qué ser necesaria. Para afirmar p si y solo si q tendrían que cumplirse la directa y la recíproca; este contraejemplo impide hacerlo.

Directa: p → q

Contrapositiva: ¬q → ¬p

Si n no es par, entonces n no es múltiplo de 4

Si fuera múltiplo de 4, sería par: contradicción

Condición: n entero; mismo significado de p y q.

Contraponer exige invertir el orden y negar ambas partes. La equivalencia vale para cualquier p y q en lógica clásica, como muestra la tabla.

Inversa: ¬p → ¬q

Si n no es múltiplo de 4, entonces n no es par

n = 6 refuta la inversa: ¬p = V y ¬q = F

Condición: n entero; las cuatro formas mantienen los mismos p y q.

La inversa es equivalente a la recíproca, no a la directa en general. No es tampoco la negación del condicional: negar p → q produce p ∧ ¬q.

¬(p → q) equivale a p ∧ ¬q

La pieza supera la revisión y no recibe sello

No equivale a ¬p → ¬q

Condición: Lógica clásica; mismo contexto y significado de las letras.

Si la regla se afirma para todas las piezas, basta encontrar una que cumpla p y no q para refutarla. Negar una regla universal no exige que fallen todas las piezas.

p → q equivale a ¬p ∨ q

Si p = F, entonces ¬p = V y la disyunción es V

Si p = V, la fórmula tiene el mismo valor que q

Condición: La o es inclusiva; paréntesis y letras conservan su sentido.

La equivalencia no agrega una relación causal. Explica por qué el condicional material solo es falso con p verdadera y q falsa.