LÓGICA Y CONJUNTOS
La lógica proposicional estudia cómo combinar afirmaciones mediante conectivas y comprobar qué se sigue de unas premisas. Cada letra representa una proposición completa; las tablas muestran el resultado de todas las combinaciones de valores.
Practica con 26 ejemplos explicados y ocho ejercicios resueltos: desde escribir tengo frío y hambre hasta evaluar una fórmula con tres letras o detectar una inferencia incorrecta.
Convenciones: V significa verdadero y F, falso. ¬ niega; ∧ significa y; ∨ es o inclusiva; → es si… entonces; ↔ es si y solo si. Usamos paréntesis para indicar el alcance. El signo ⇒ separa las premisas de una conclusión propuesta.
Trabajamos con lógica clásica bivalente. Una tabla calcula valores bajo supuestos; no comprueba por sí sola si llueve, si un dispositivo funciona o si una premisa describe la realidad.
EJEMPLO 01
El sol es una estrella y esta tarde está lloviendo son afirmaciones, aunque no tengamos la misma información sobre ellas.
p: El sol es una estrella
q: Esta tarde está lloviendo
Condición: Para q se fijan lugar, fecha y franja de la tarde.
Una proposición admite V o F en la interpretación fijada. No conocer el valor de q no le añade un tercer valor. Aquí cada afirmación se representa como una unidad.
EJEMPLO 02
El pasto es verde y el agua está fría necesitan referentes y criterios claros.
p: El pasto de esta parcela es verde ahora
q: El agua de este vaso está a menos de 15 °C
Si el termómetro marca 12 °C, q = V
Condición: Mismo vaso, instante y criterio; el dato de 12 °C es supuesto.
El umbral de 15 °C es una convención del ejercicio para precisar fría, no una definición universal. Tocar el agua no sustituye el criterio fijado.
EJEMPLO 03
Compara conduce con precaución con Pedro Páramo es un buen libro.
Conduce con precaución: orden, no afirmación V/F
Buen libro: valoración que requiere precisar criterio
r: Ana calificó Pedro Páramo con cinco estrellas en su reseña
Condición: r se evalúa solo al identificar a Ana y su reseña.
La subjetividad no basta para excluir toda afirmación del lenguaje lógico. Para este ejercicio sustituimos la valoración imprecisa por un hecho sobre una reseña identificada, sin afirmar que esa reseña exista.
EJEMPLO 04
p: tengo frío; q: tengo hambre. Habla la misma persona en el mismo momento.
Tengo frío y tengo hambre: p ∧ q
Si p = V y q = F, entonces p ∧ q = F
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Para que la conjunción sea verdadera deben cumplirse las dos partes. Una sola parte falsa basta para que el conjunto sea falso.
| p, q | p ∧ q | p ∨ q |
|---|---|---|
| V, V | V | V |
| V, F | F | V |
| F, V | F | V |
| F, F | F | F |
EJEMPLO 05
Sea p: tengo frío. Niega p y después niega su negación.
No tengo frío: ¬p
No es cierto que no tenga frío: ¬¬p
¬¬p equivale a p
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
¬ es un operador de una entrada. No hacen falta dos proposiciones simples para formar una expresión con negación.
| p | ¬p | ¬¬p |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | F |
EJEMPLO 06
p: la ficha es azul; q: la ficha es redonda.
La ficha es azul o redonda: p ∨ q
Una ficha azul y redonda hace verdadera p ∨ q
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
La o inclusiva es falsa únicamente si ambas partes son falsas. Que una sea verdadera no permite negar la otra.
EJEMPLO 07
Un selector debe tener activo A o B, pero no ambos.
p: A está activo; q: B está activo
Exactamente uno: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
Con p = V y q = V, la expresión vale F
Condición: El requisito del ejercicio excluye tanto ambos como ninguno.
La exclusividad se añade explícitamente. Su resultado es V solo en las filas V,F y F,V.
EJEMPLO 08
p: activo el modo A; q: se enciende la luz. La regla declarada es si p, entonces q.
Regla: p → q
Solo p = V, q = F la hace falsa
Con p = F, q = F, la condicional material vale V
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
La tabla describe la condicional material. No acredita una relación causal ni demuestra que la regla se cumpla en un aparato real.
| p, q | p → q | p ↔ q |
|---|---|---|
| V, V | V | V |
| V, F | F | F |
| F, V | V | F |
| F, F | V | V |
EJEMPLO 09
p: entro; q: tengo pase. Traduce entro solo si tengo pase.
Entro solo si tengo pase: p → q
Tener pase es necesario para entrar
Tener pase no se declara suficiente para entrar
Condición: Se formaliza la regla indicada, sin añadir el recíproco.
La regla excluye entrar sin pase. No afirma que todo el que tenga pase entre; podría haber otros requisitos.
EJEMPLO 10
p: el número entero n es par; q: n es divisible por 2.
p si y solo si q: p ↔ q
p ↔ q equivale a (p → q) ∧ (q → p)
Para n = 7: p = F, q = F, pero p ↔ q = V
Condición: n es entero; par significa divisible por 2.
El bicondicional exige las dos direcciones. También es verdadero cuando ambos lados son falsos.
EJEMPLO 11
p: tengo frío; q: tengo hambre. Compara no es cierto que tenga frío y hambre con no tengo frío y tengo hambre.
No ambas: ¬(p ∧ q)
No frío, pero sí hambre: ¬p ∧ q
Con p = F, q = F: la primera vale V; la segunda F
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Los paréntesis delimitan qué se niega. Negar la conjunción no equivale a exigir que la primera parte sea falsa y la segunda verdadera.
EJEMPLO 12
Compara (p ∨ q) ∧ r con p ∨ (q ∧ r).
Toma p = V, q = F, r = F
(p ∨ q) ∧ r = V ∧ F = F
p ∨ (q ∧ r) = V ∨ F = V
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Las fórmulas no son equivalentes. Esta única fila diferente basta para demostrarlo; en esta guía escribimos paréntesis para evitar ambigüedad.
EJEMPLO 13
Evalúa (p ∧ ¬q) ∨ r para p = V, q = F y r = F.
1. ¬q = V
2. p ∧ ¬q = V
3. (p ∧ ¬q) ∨ r = V
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Esta es una evaluación para una asignación concreta. Para describir la fórmula en todos los casos se necesitan las ocho filas del siguiente ejemplo.
EJEMPLO 14
Para tres letras independientes hay 2³ = 8 combinaciones. Calcula la misma fórmula en todas.
Fórmula: (p ∧ ¬q) ∨ r
Columnas auxiliares: ¬q y p ∧ ¬q
Columna final: V, F, V, V, V, F, V, F
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Se recorren p,q,r en orden VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF. Las columnas auxiliares permiten localizar errores.
| p, q, r | ¬q; p ∧ ¬q | (p ∧ ¬q) ∨ r |
|---|---|---|
| V, V, V | F; F | V |
| V, V, F | F; F | F |
| V, F, V | V; V | V |
| V, F, F | V; V | V |
| p, q, r | ¬q; p ∧ ¬q | (p ∧ ¬q) ∨ r |
|---|---|---|
| F, V, V | F; F | V |
| F, V, F | F; F | F |
| F, F, V | V; F | V |
| F, F, F | V; F | F |
EJEMPLO 15
Examina la fórmula p ∨ ¬p.
Con p = V: V ∨ F = V
Con p = F: F ∨ V = V
Tautología: verdadera en todas las asignaciones
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Dos filas bastan porque solo aparece una letra. Esto depende del marco clásico que estamos usando.
EJEMPLO 16
Examina la fórmula p ∧ ¬p.
Con p = V: V ∧ F = F
Con p = F: F ∧ V = F
Contradicción: falsa en todas las asignaciones
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
No debe confundirse una contradicción con cualquier fórmula que salga falsa en una sola fila.
EJEMPLO 17
Examina la fórmula p ∧ q.
Con p = V, q = V: resultado V
Con p = V, q = F: resultado F
Contingencia: puede resultar V o F
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
La tabla del ejemplo 4 recoge todas las filas. Aquí dos resultados distintos ya bastan para descartar tautología y contradicción.
EJEMPLO 18
Compara p → q con ¬p ∨ q.
Para p,q = V,V; V,F; F,V; F,F
Ambas columnas: V, F, V, V
p → q equivale a ¬p ∨ q
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Ambas son falsas exactamente cuando p es verdadera y q falsa. La coincidencia cubre las cuatro asignaciones posibles.
EJEMPLO 19
Niega que una ficha sea azul y redonda a la vez.
p: es azul; q: es redonda
¬(p ∧ q) equivale a ¬p ∨ ¬q
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Basta que falle al menos una propiedad. No significa que deban fallar las dos.
| p, q | ¬(p ∧ q) | ¬p ∨ ¬q |
|---|---|---|
| V, V | F | F |
| V, F | V | V |
| F, V | V | V |
| F, F | V | V |
EJEMPLO 20
p: envío la solicitud; q: queda registrada; r: recibo un comprobante.
Premisas: p → q; q → r
Conclusión: p → r
Si p es V, la primera obliga a q y la segunda a r
Condición: Las dos reglas son premisas estipuladas y usan el mismo registro.
No se concluye que p haya ocurrido ni que ya tenga el comprobante. Se obtiene otra condicional.
EJEMPLO 21
p: llueve durante el intervalo; q: el piso se moja durante ese intervalo.
Premisas: p → q; p
Conclusión: q
Si p = V y p → q = V, q tiene que ser V
Condición: Mismo piso e intervalo; regla asumida para el ejercicio.
La inferencia es válida. El ejercicio toma la regla como premisa; su aplicación al mundo requiere comprobar condiciones y hechos.
EJEMPLO 22
Mantén los significados y la regla del ejemplo anterior.
Premisas: p → q; ¬q
Conclusión: ¬p
p = V haría falsa la regla, pues q = F
Condición: Mismo piso e intervalo; ambas premisas se aceptan.
Bajo ambas premisas, p solo puede ser falsa. No se está usando la regla distinta q → p.
EJEMPLO 23
Se propone: si llueve, el piso se moja; el piso se moja; por tanto llueve.
Premisas: p → q; q
Conclusión propuesta: p
Contraejemplo: p = F, q = V
Condición: Mismo piso e intervalo; no se supone que la lluvia sea la única causa.
El piso podría mojarse por el riego. Ese caso conserva verdaderas las premisas y hace falsa la conclusión. La inferencia es inválida, aunque alguna vez la conclusión acierte.
| p, q | p → q; q | Conclusión p |
|---|---|---|
| V, V | V; V | V |
| V, F | F; F | V |
| F, V | V; V | F |
| F, F | V; F | F |
EJEMPLO 24
Sea p: 2 + 2 = 5 y q: 3 + 3 = 6. Considera la regla que permite pasar de p a p ∨ q.
Premisa p: F
Conclusión p ∨ q: F ∨ V = V
La forma p ⇒ p ∨ q es válida
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Si p fuera verdadera, la disyunción no podría ser falsa. Una premisa falsa no garantiza ni impide por sí sola una conclusión verdadera. Este argumento no es sólido: su premisa es falsa.
EJEMPLO 25
El ejemplo histórico parte de todos los animales marinos son peces y la ballena es un animal marino, para concluir que la ballena es un mamífero. En la fórmula, M significa marino; P, pez; A, mamífero; b designa la ballena y ∀x significa para todo objeto x.
Forma: ∀x (M(x) → P(x)); M(b) ⇒ A(b)
Las premisas permiten obtener P(b), no A(b)
Contramodelo formal: M(b) = V, P(b) = V, A(b) = F
Condición: Dominio no vacío con b; se distingue forma lógica de conocimiento biológico.
La clasificación real de las ballenas no justifica esta inferencia. En el contramodelo las letras designan propiedades abstractas, no una descripción biológica. Además, la primera premisa del original es falsa en la realidad.
EJEMPLO 26
Compara los casos de Fido y de los pingüinos. Ambos emplean todos, por lo que su estructura interna requiere cuantificación.
Todos los perros son mamíferos; Fido es perro ⇒ Fido es mamífero
Todos los A son B; todos los C son A ⇒ todos los C son B
Todas las aves vuelan; todos los pingüinos son aves ⇒ todos los pingüinos vuelan
Condición: El caso de Fido es hipotético; validez no equivale a verdad de todas las premisas.
Las dos formas son válidas. La de Fido instancia la regla en un individuo. La otra encadena inclusiones, pero su premisa todas las aves vuelan es falsa. Reemplazar cada oración completa por una letra oculta estas relaciones; no las demuestra mediante una tabla proposicional.
CONSULTA
Resuelve primero y compara con la respuesta. En las primeras cuatro filas se proporciona una asignación concreta.
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
Una evaluación usa una fila; una equivalencia o una tautología exige comprobar todas. Para refutar una inferencia basta una fila con premisas V y conclusión F.
| Expresión o argumento | Respuesta |
|---|---|
| ¬(p ∨ q) | Con p = V, q = F: F. |
| ¬p ∧ q | Con p = F, q = V: V. |
| p → q | Con p = F, q = F: V. |
| p ↔ q | Con p = V, q = F: F. |
| Expresión o argumento | Respuesta |
|---|---|
| ¬(p → q) | Equivale a p ∧ ¬q. |
| (p ∧ q) → p | Tautología. |
| p ∨ q; ¬p ⇒ q | Inferencia válida. |
| p → q; ¬p ⇒ ¬q | Inválida: p = F, q = V. |
CONSULTA
Usa este recorrido al pasar de una frase a una fórmula.
1. Fija el significado de cada letra
2. Escribe conectivas y paréntesis
3. Enumera 2ⁿ filas para n letras distintas
4. Calcula de las partes a la fórmula completa
5. Distingue valor, equivalencia y validez
Condición: Lógica clásica bivalente; las letras conservan su significado.
El álgebra booleana ofrece herramientas algebraicas relacionadas con las operaciones lógicas; no es simplemente otro nombre intercambiable para todo el cálculo proposicional. Esta guía se concentra en fórmulas clásicas y tablas.