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Propiedades de los Números

En Matemáticas, los números participan en las operaciones básicas: Suma, Resta, Multiplicación y División, con ciertas propiedades que van a definir el resultado como Correcto.

Las propiedades de los Números ayudan en el correcto desarrollo de las operaciones para llegar al valor final.

Estas propiedades son seis: la de Cerradura, la Conmutativa, la Asociativa, la Existencia de Neutros, la Existencia del inverso, y la Distributiva.

Propiedad de Cerradura

También llamada Propiedad de Clausura y Propiedad de Monotonía, la Propiedad de Cerradura nos indica que una operación entre números reales arroja como resultado un número real. Su definición se aclara para la Adición o Suma y la Multiplicación.

Cerradura de la Suma:

La suma de dos números reales es un número real también. Es decir, para cualquier pareja de números reales “a” y “b”: a + b = número real.

7 + 3 = 10

4 – 10 = -6

-8 – 2 = -10

- 2 + 3 = 1

8 – 5 = 3

Cerradura de la Multiplicación:

El producto de dos números reales es un número real también. Es decir, para cualquier pareja de números reales “a” y “b”: a * b = número real.

El producto “a * b” se puede escribir de otras formas como:

a*b, a(b), (a)b, ab

3 * 7 = 21

(-5) * 4 = -20

(-2)*(-8) = 16

5 * 6 = 30

(-2)*(6) = -12

Propiedad Conmutativa

La Propiedad Conmutativa también se aplica en sumas y multiplicaciones, y nos indica que no importa en qué orden se acomoden los números, siempre se obtendrá el mismo resultado.

Conmutativa de la Suma:

La suma de dos números reales no se afecta por el orden en que dichos números se combinan. Es decir, para cualquier pareja de números reales “a” y “b”: a + b = b + a.

5 + 7 = 7 + 5

-4 + 6 = 6 – 4

-5 – 2 = - 2 – 5

3 – 9 = -9 + 3

1 + 2 = 2 + 1

Conmutativa de la Multiplicación:

El producto de dos números reales no se afecta por el orden en que dichos números se combinan. “El orden de los factores no altera el producto”. Es decir, para una pareja de números “a” y “b”: a * b = b * a

9 * 7 = 7 * 9

(-6) * 2 = 2 * (-6)

(-3)*(-4) = (-4)*(-3)

(10)*(-2) = (-2)*(10)

5 * 8 = 8 * 5

Propiedad Asociativa

La Propiedad asociativa nos indica que podemos agrupar dos o más de los números de una suma o de una multiplicación, y se seguirá obteniendo el mismo resultado. Esta propiedad generalmente facilita la operación cuando contiene muchos números. Se puede llegar al gran resultado resolviendo por partes agrupadas. También se explica para la Suma y para la Multiplicación.

Asociativa de la Suma:

Los términos de una suma se pueden agrupar tomando dos o más de ellos a la vez y obtener el mismo resultado.

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

a + b + c + d = (a + b) + (c + d) = a + (b + c + d) = (a + b + c) + d

7 + 3 + 2

= 7 + (3 + 2)

= (7 + 3) + 2

= (7 + 2) + 3

Asociativa de la Multiplicación:

Los factores de un producto se pueden agrupar tomando dos o más de ellos a la vez y obtener el mismo resultado.

abcd = (ab)*(cd) = a*(bcd) = (abc)*d

2 * 4 * 6 * 3

= (2 * 4)*(6 * 3)

= 2 * (4 * 6 * 3)

= (2 * 4 * 6) * 3

Existencia de Neutros

También llamada Existencia de idénticos, esta propiedad se refiere a los números que se ponen en las operaciones, y que hacen que el resultado sea igual al número primitivo.

Neutro de la Adición:

La suma de cualquier número real “a” y cero es el número real dado “a”.

7 + 0 = 7

2 + 0 = 2

4 + 0 = 4

3 + 0 = 3

8 + 0 = 8

Neutro de la Multiplicación:

El producto de cualquier número real “a” y “1” es el número real dado “a”. El Neutro de la Multiplicación es el Uno.

7 * 1 = 7

2 * 1 = 2

4 * 1 = 4

3 * 1 = 3

8 * 1 = 8

Existencia del inverso

Esta propiedad trata acerca de números que al multiplicarse por los números reales dados, arrojan como resultado 0 en el caso de la Suma, y 1 en el caso de la Multiplicación.

Inverso de la Suma:

Para cada número real “a” existe otro número real “– a”, llamado el Negativo (o inverso aditivo) de “a”, tal que la suma de “a” y “– a” es cero.

a + (– a) = 0

7 + (– 7) = 0

4 + (– 4) = 0

2 + (– 2) = 0

15 + (– 15) = 0

10 + (– 10) = 0

Inverso de la Multiplicación:

Por cada número real “a” diferente de cero existe otro número real “1/a”, tal que el producto de “a” y “1/a” es 1.      

a * (1/a) = 1

7 * (1/7) = 1

9 * (1/9) = 1

123 * (1/123) = 1

52 * (1/52) = 1

64 * (1/64) = 1

Propiedad Distributiva

El producto de un número real por la suma de otros dos es igual a la suma de: los productos del primer número por cada uno de los otros. Es decir que, para tres números reales cualesquiera a, b y c:

a*(b + c) = ab + ac

(b + c)*a = ab + ac

6 (5 + 2) = 6(5) + 6(2)

(9 + 2)*3 = 9(3) + 2(3)

Limitaciones en las Propiedades

Hay propiedades del conjunto de los números reales que son aplicables solamente a algunos de sus subconjuntos, por ejemplo:

1.- La propiedad del inverso aditivo no es aplicable al conjunto de los Números Naturales, porque para un número “a” no existe un número “– a”, ya que dentro de los naturales no hay negativos. Esta propiedad se aplica solo a los demás subconjuntos de números reales.

2.- La propiedad del inverso multiplicativo no es aplicable ni al conjunto de los números naturales ni al de los números enteros, ya que para un número “a” no existe un número “1/a” dentro de sus subconjuntos, por ser fraccionario.

Ejemplos de Propiedades de los Números

Propiedad de Cerradura:

7 + 3 = 10

4 – 10 = -6

-8 – 2 = -10

- 2 + 3 = 1

8 – 5 = 3

3 * 7 = 21

(-5) * 4 = -20

(-2)*(-8) = 16

5 * 6 = 30

(-2)*(6) = -12

Propiedad Conmutativa:

5 + 7 = 7 + 5

-4 + 6 = 6 – 4

-5 – 2 = - 2 – 5

3 – 9 = -9 + 3

1 + 2 = 2 + 1

9 * 7 = 7 * 9

(-6) * 2 = 2 * (-6)

(-3)*(-4) = (-4)*(-3)

(10)*(-2) = (-2)*(10)

5 * 8 = 8 * 5

Propiedad Asociativa:

7 + 3 + 2

= 7 + (3 + 2)

= (7 + 3) + 2

= (7 + 2) + 3

 

2 * 4 * 6 * 3

= (2 * 4)*(6 * 3)

= 2 * (4 * 6 * 3)

= (2 * 4 * 6) * 3

Existencia de Neutros:

7 + 0 = 7

2 + 0 = 2

4 + 0 = 4

3 + 0 = 3

8 + 0 = 8

7 * 1 = 7

2 * 1 = 2

4 * 1 = 4

3 * 1 = 3

8 * 1 = 8

Existencia de inversos:

7 + (– 7) = 0

4 + (– 4) = 0

2 + (– 2) = 0

15 + (– 15) = 0

10 + (– 10) = 0

7 * (1/7) = 1

9 * (1/9) = 1

123 * (1/123) = 1

52 * (1/52) = 1

64 * (1/64) = 1

Propiedad Distributiva:

6*(5 + 2) = 6(5) + 6(2)

(9 + 2)*3 = 9(3) + 2(3)

1*(2 + 4) = 1(2) + 1(4)

(3 + 6)*8 = 3(8) + 6(8)

3*(11 + 2) = 3(11) + 3(2)

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Por : Morris

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