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Ejemplos de Productos Notables

En Álgebra, los Productos Notables son operaciones matemáticas en las que se involucran expresiones algebraicas, sobre todo entre Binomios: expresiones de dos Términos. Son multiplicaciones en las que se puede dar resultado, sin haber hecho las operaciones paso a paso y siguiendo las reglas que las rigen.

Por supuesto, la comprobación de cada ejercicio se obtiene realizando la multiplicación paso a paso.

Para cada Producto Notable, se ha establecido el Resultado general, como una fórmula, para decir de inmediato cuál es el resultado de esta multiplicación. Hay esta seguridad a la hora de resolverlos porque tienen todos esa consistencia que se requiere.

Los Productos Notables son el Binomio al Cuadrado, los Binomios Conjugados, los Binomios con término común, y el Binomio al cubo.

Binomio al cuadrado

El Binomio al cuadrado, expresado de forma general como:

(a + b)2

Es igual al Cuadrado del Primer término, más (este “más” indica añadir, sea + o -) el Doble Producto del primero por el segundo, más el Cuadrado del segundo término. Se representa finalmente:

a2 + 2ab + b2

Su desarrollo paso a paso para cada caso es:

(a + b)2 = (a + b)*(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = (a – b)*(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2

Binomio conjugado

El Binomio conjugado, expresado de forma general como:

(a + b)*(a – b)

Es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Se representa finalmente como:

a2 – b2

Su desarrollo paso a paso es:

(a + b)*(a – b) = a2 + ab – ab –b2 = a2 – b2

Binomios con Término Común

Los Binomios con Término Común, expresados generalmente como:

(X + a)*(X + b)

Es igual al cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el común, más el producto de los no comunes.

Se representa como:

X2 + (a+b)*X + ab

Su desarrollo paso a paso en un ejemplo es:

(x + 8)*(x – 2) = x2 + (8-2)x + (-16) = x2 + 6x – 16

(x + 3)*(x + 2) = x2 + (3+2)x + (6) = x2 + 5x + 6

Binomio al cubo

El Binomio al Cubo, expresado por lo general como:

(a + b)3

Es igual al cubo del primer término, más (o menos) el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más (o menos) el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo.

Se representa como:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Su desarrollo paso a paso es:

(a + b)3 = (a + b)*(a + b)*(a + b)

= (a + b)*(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplos de Productos Notables

Ejemplos de Binomio al Cuadrado

1.- (6a – 5b)2 = 36a2 + 2(6a)(-5b) + 25b2 = 36a2 – 60ab + 25b2

2.- (a7 + b7)2 = a14 + 2(a7)(b7) + b14 = a14 + 2a7b7 + b14

3.- (a4 + b3)2 = a8 + 2(a4)(b3) + b6 = a8 + 2a4b3 + b6

Ejemplos de Binomio Conjugado

1.- (a + 5b)*(a – 5b) = a2 – 5ab + 5ab - 25b2 = a2 – 25b

2.- (2a2 + b3)*(2a2 –b3) = 4a4 – 2a2b3 + 2a2b3 – b6 = 4a4 – b6

3.- (3a + 5b)*(3a – 5b) = 9a2 -15ab + 15ab - 25b2 = 9a2 – 25b2

Ejemplos de Binomios con Término Común

1.- (2a + 3)*(2a – 7) = 4a2 + (3-7)(2a) -21 = 4a2 – 8a – 21

2.- (a2 + 5)*(a2 + 6) = a4 + (5+6)(a2) + 30 = a4 + 11a2 + 30

3.- (4c + 4)*(4c – 1) = 16c2 + (4-1)(4c) + (-4) = 16c2 - 16c – 4

Ejemplos de Binomio al cubo

1.- (2a + b)3 =

= 8a3 + 3(4a2)(b) + 3(2a)(b2) + b3

= 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3

2.- (x – 2y)3 =

= x3 + 3(x2)(-2y) + 3(x)(4y2) -8y3

= x3 – 6x2y +12xy2 – 8y3

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Por : Morris

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