Calcula cuánto se atraen o se repelen dos cargas, despeja distancias y suma fuerzas en una línea o en el plano. Cada ejemplo distingue la magnitud de la dirección.
La ley de Coulomb describe la fuerza electrostática entre cargas puntuales.
Su magnitud es F = k|q₁q₂|/r². Signos iguales: repulsión. Signos opuestos: atracción. La fuerza actúa sobre la recta que une las cargas; r es una distancia positiva.
En los cálculos se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C² y el modelo de cargas puntuales en el vacío. Los decimales sirven para comprobar operaciones con esos datos, no representan una precisión experimental.
Diez cálculos entre dos cargas
EJEMPLO 01
Atracción entre 5 μC y −2 μC
q₁ = 5 μC en x = 0 y q₂ = −2 μC en x = 0,1 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se atraen: sobre q₂, la fuerza va a la izquierda, hacia q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 9 N; F₂x ≈ −9 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 02
Atracción entre 4 μC y −1 μC
q₁ = 4 μC en x = 0 y q₂ = −1 μC en x = 0,05 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se atraen: sobre q₂, la fuerza va a la izquierda, hacia q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 14,4 N; F₂x ≈ −14,4 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 03
Repulsión entre 3 μC y 5 μC
q₁ = 3 μC en x = 0 y q₂ = 5 μC en x = 0,15 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 6 N; F₂x ≈ +6 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 04
Repulsión entre 2 μC y 2 μC
q₁ = 2 μC en x = 0 y q₂ = 2 μC en x = 0,08 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 5,625 N; F₂x ≈ +5,625 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 05
Repulsión entre 10 μC y 6 μC
q₁ = 10 μC en x = 0 y q₂ = 6 μC en x = 0,2 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 13,5 N; F₂x ≈ +13,5 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 06
Repulsión entre 13 μC y 3 μC
q₁ = 13 μC en x = 0 y q₂ = 3 μC en x = 0,12 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 24,375 N; F₂x ≈ +24,375 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 07
Repulsión entre 1 μC y 1,5 μC
q₁ = 1 μC en x = 0 y q₂ = 1,5 μC en x = 0,11 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 1,116 N; F₂x ≈ +1,116 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 08
Repulsión entre 7 μC y 8 μC
q₁ = 7 μC en x = 0 y q₂ = 8 μC en x = 0,22 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 10,413 N; F₂x ≈ +10,413 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 09
Repulsión entre 11 μC y 9 μC
q₁ = 11 μC en x = 0 y q₂ = 9 μC en x = 0,3 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 9,9 N; F₂x ≈ +9,9 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
EJEMPLO 10
Repulsión entre 16 μC y 20 μC
q₁ = 16 μC en x = 0 y q₂ = 20 μC en x = 0,24 m. Calcula la fuerza sobre q₂; +x apunta a la derecha.
Las cargas se repelen: sobre q₂, la fuerza va a la derecha, alejándose de q₁.
Resultado: |F₂| ≈ 50 N; F₂x ≈ +50 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los decimales son resultados del modelo con k redondeada, no una precisión experimental.
q₂ está a la derecha y se aleja de q₁: F₂x es positivo.
Resultado: |F₂| = 0,60 N; F₂x = +0,60 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. El signo negativo de una carga no fija por sí solo el sentido de su fuerza.
EJEMPLO 12
Nanocoulombs y centímetros
q₁ = +20 nC y q₂ = −50 nC están separados 10 cm.
20 nC = 2,0 × 10⁻⁸ C; 50 nC = 5,0 × 10⁻⁸ C; 10 cm = 0,10 m.
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. La fuerza sobre cada carga apunta hacia la otra.
EJEMPLO 13
Despejar la distancia
Dos cargas de magnitudes 2 μC y 8 μC interactúan con una fuerza de magnitud 1,60 N.
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Se toma la raíz positiva porque r es una distancia; faltan signos para decidir atracción o repulsión.
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. La magnitud no determina el signo: q₂ es positiva si hay repulsión y negativa si hay atracción.
EJEMPLO 15
Dos cargas de igual magnitud
Dos cargas de igual magnitud, separadas 0,20 m, ejercen una fuerza de magnitud 0,90 N.
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Igual magnitud no implica necesariamente igual signo.
EJEMPLO 16
Duplicar la distancia
Mantén las cargas del ejemplo 1 y aumenta r de 0,10 a 0,20 m.
Fsegunda/Fprimera = (0,10/0,20)² = 1/4.
Fsegunda = 9/4 = 2,25 N.
Resultado: La fuerza pasa de 9 N a 2,25 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Se conservan las cargas y el medio; el carácter atractivo no cambia.
EJEMPLO 17
Cambiar ambas cargas y la distancia
Multiplica q₁ por 3, q₂ por 2 y la separación por 2.
Fnueva/Finicial = |3 × 2|/2² = 6/4 = 1,5.
Resultado: La nueva magnitud es 1,5 veces la inicial
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Los factores positivos conservan los signos; si se invierte solo un signo, se invierte atracción o repulsión.
EJEMPLO 18
Un medio con permitividad relativa dada
En el modelo continuo, dos cargas libres fijas interactúan con 0,60 N en el vacío. Se sitúan en un medio de εr = 4.
kmedio = k/εr.
Fmedio = Fvacío/εr = 0,60/4 = 0,15 N.
Resultado: Fmedio = 0,15 N
Condiciones: Medio lineal, homogéneo, isótropo e ilimitado; posiciones y cargas libres fijadas. Aproximación macroscópica: no se aplica sin más a moléculas, cavidades o interfaces.
EJEMPLO 19
Cuántos electrones corresponden a una carga
Un cuerpo tiene carga neta q = −1,00 μC por exceso de electrones.
N = |q|/e = (1,00 × 10⁻⁶)/(1,602176634 × 10⁻¹⁹).
N ≈ 6,24 × 10¹².
Resultado: N ≈ 6,24 × 10¹² electrones en exceso
Condiciones: El cociente se redondea porque q está dada con precisión limitada. N cuenta electrones transferidos en exceso, no todos los electrones del cuerpo.
Dirección y suma de fuerzas
EJEMPLO 20
Las fuerzas del par actúan en cuerpos distintos
Usa el ejemplo 1: q₁ en x = 0 y q₂ en x = 0,10 m.
q₂ es atraída a la izquierda: F₂x = −9 N.
q₁ es atraída a la derecha: F₁x = +9 N.
Las fuerzas internas suman cero para el par, pero la fuerza sobre cada carga no es cero.
Resultado: F₂x = −9 N y F₁x = +9 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. No se suman fuerzas que actúan sobre cuerpos distintos para hallar la resultante de uno solo.
EJEMPLO 21
Dos fuerzas iguales se cancelan
q₀ = +1 μC en x = 0; hay cargas +2 μC en x = −0,30 m y x = +0,30 m.
Cada interacción tiene magnitud (9 × 10⁹)(1 × 10⁻⁶)(2 × 10⁻⁶)/0,30² = 0,20 N.
La carga izquierda empuja a q₀ hacia +x; la derecha hacia −x.
Fnetax = +0,20 − 0,20 = 0 N.
Resultado: Fnetax = 0 N sobre la carga central
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Se calcula la fuerza sobre q₀; que sea cero no significa que todas las cargas tengan fuerza neta cero.
EJEMPLO 22
Tres cargas alineadas sin cancelación
q₀ = +1 μC en x = 0; a la izquierda, +2 μC en x = −0,30 m; a la derecha, +1 μC en x = +0,20 m.
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Cada distancia se mide desde q₀ hasta la carga que produce esa fuerza.
EJEMPLO 23
Fuerzas perpendiculares en el plano
q₀ = +1 μC en (0; 0), q₁ = −2 μC en (0,30; 0) m y q₂ = +3 μC en (0; 0,30) m. Ejes +x a la derecha y +y hacia arriba.
q₁ atrae a q₀ hacia +x: Fx = (9 × 10⁹)(1 × 10⁻⁶)(2 × 10⁻⁶)/0,30² = +0,20 N.
q₂ repele a q₀ hacia −y: Fy = −(9 × 10⁹)(1 × 10⁻⁶)(3 × 10⁻⁶)/0,30² = −0,30 N.
|F| = √(0,20² + 0,30²) ≈ 0,361 N.
Ángulo por debajo de +x: arctan(0,30/0,20) ≈ 56,3°.
Resultado: F = (0,20; −0,30) N; |F| ≈ 0,361 N
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. Se suman componentes; sumar 0,20 + 0,30 daría una magnitud incorrecta.
EJEMPLO 24
Punto donde se anula la fuerza
Dos cargas fijas +1 μC y +4 μC están en x = 0 y x = 0,60 m. Busca dónde una carga de prueba no nula tendría fuerza neta cero.
Entre ellas los campos apuntan en sentidos opuestos: k(1 × 10⁻⁶)/x² = k(4 × 10⁻⁶)/(0,60 − x)².
Como 0 < x < 0,60, resulta 0,60 − x = 2x.
3x = 0,60; x = 0,20 m. Las distancias son 0,20 m y 0,40 m.
Resultado: x = 0,20 m entre las cargas
Condiciones: Cargas puntuales en reposo, en el vacío; se usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². En aire se toma como aproximación. No hay otras cargas salvo las indicadas. La carga de prueba no altera las fuentes. Fuera del segmento, los dos campos de cargas positivas apuntan en el mismo sentido; no hay cancelación finita.
Cómo aplicar la ley de Coulomb
Elige la carga receptora: «fuerza sobre q₂» no es lo mismo que «sobre q₁».
Dibuja posiciones y eje: declara hacia dónde apunta el sentido positivo.
Convierte a SI: cargas en culombios y distancia en metros.
Calcula F = k|q₁q₂|/r²: esta magnitud nunca es negativa.
Decide el sentido: dibuja atracción o repulsión y asigna el signo de cada componente.
Si hay más cargas: calcula cada interacción sobre la misma carga y suma vectores.
En una recta, cuando q₁ está a la izquierda y q₂ a la derecha y +x apunta a la derecha, F₂x = kq₁q₂/r². El producto conserva el signo porque ya se fijó esta geometría. Si cambia el orden de las cargas, hay que revisar el sentido.
En forma vectorial general, la fuerza sobre q₂ debida a q₁ es F₂←₁ = kq₁q₂(r₂ − r₁)/|r₂ − r₁|³. Aquí F y r representan vectores. El vector diferencia va desde la fuente q₁ hasta la carga receptora q₂. Sobre q₁ actúa la fuerza opuesta.
Las unidades se cancelan así: (N·m²/C²) × C²/m² = N. No sumes las magnitudes de fuerzas perpendiculares: suma sus componentes y luego calcula la magnitud resultante.
Unidades y constantes
Conversiones que aparecen en los ejemplos
Unidad
Equivalencia SI
1 μC
10⁻⁶ C
1 nC
10⁻⁹ C
1 cm
10⁻² m
1 cm²
10⁻⁴ m²
En el vacío, k = 1/(4πε₀), con ε₀ ≈ 8,8542 × 10⁻¹² C²/(N·m²) y k ≈ 8,98755 × 10⁹ N·m²/C². El valor escolar 9 × 10⁹ es una aproximación. Estas constantes no se presentan como exactas.
La unidad SI de carga es el culombio (C): 1 C = 1 A·s. Una corriente constante de 1 A transporta una carga de magnitud 1 C por una sección en 1 s. El amperio moderno está definido fijando la carga elemental, no mediante un valor experimental redondeado de e.
Carga elemental y carga neta
El protón tiene carga +e y el electrón −e, con e = 1,602176634 × 10⁻¹⁹ C, exacto en el SI. Una magnitud de 1 C corresponde aproximadamente a 6,24 × 10¹⁸ cargas elementales. Ese número de electrones en exceso representa una carga negativa, no +1 C.
En el modelo habitual de conducción del cobre hay aproximadamente 8,5 × 10²⁸ electrones de conducción por m³: unos 8,5 × 10²² por cm³, del orden de 10²³. Eso no implica que el cobre tenga esa carga neta: las cargas positivas compensan a las negativas en un cuerpo neutro.
Los microculombios son una escala ilustrativa de algunos problemas de electrización; el frotamiento no produce siempre 10⁻⁶ C. Depende de los materiales y las condiciones. La carga neta transferida puede representar una fracción muy pequeña de las cargas presentes.
Los quarks están establecidos en el modelo estándar y tienen cargas fraccionarias, como +2e/3 o −e/3. Se encuentran confinados en hadrones, no como quarks aislados. Por eso no conviene describir e como «la menor carga posible en toda la naturaleza» ni a los quarks como una mera propuesta reciente.
Qué supone el modelo
La ley se formula para cargas puntuales estacionarias. Para objetos pequeños frente a su separación puede servir una aproximación puntual, usando la distancia adecuada entre ellos. Para distribuciones extensas se suman o integran las contribuciones; algunas simetrías permiten simplificar, pero dos conductores próximos pueden redistribuir su carga y no equivalen automáticamente a puntos en sus centros.
En un medio lineal, homogéneo e isótropo, el modelo macroscópico puede usar ε = εrε₀. Las interfaces y la estructura microscópica requieren más cuidado. Para cargas en movimiento no se supone automáticamente que esta expresión electrostática describa toda la interacción.
Los experimentos de Coulomb de 1785 establecieron la dependencia con el inverso del cuadrado de la distancia. Una comprobación experimental tiene incertidumbre: aquí no se atribuye un porcentaje histórico sin documentación específica.
Vectores de fuerza sobre q₀ en el ejemplo 23; no es un dibujo de las posiciones de las cargas. Azul: Fx. Ocre: Fy. Morado: resultante. El eje +y apunta hacia arriba; la componente vertical de la resultante es negativa.
Qué muestran las imágenes
Un globo cargado puede atraer una lata inicialmente neutra por inducción. La imagen no demuestra que ambos objetos tengan cargas netas opuestas ni permite calcular la fuerza.Ilustración decorativa asociada a la electricidad. No representa una medición de cargas, un mapa de campo ni las líneas de fuerza de los problemas.
Dos situaciones que exigen cuidado
CONTRASTE 01
Un globo y una lata neutra
Un globo cargado se aproxima a una lata metálica con carga neta cero.
Las cargas móviles de la lata se redistribuyen por inducción.
No es correcto sustituir toda la lata por una carga puntual q = 0 y concluir que toda fuerza debe ser nula.
Resultado: Puede haber atracción por redistribución de carga
Condiciones: Hace falta modelar la distribución de carga y la geometría. La foto no permite medir signos, cantidades ni fuerza.
CONTRASTE 02
Intentar usar r = 0
Se intenta colocar dos cargas puntuales en exactamente la misma posición.
El denominador r² sería cero.
No se asigna 0 N ni se trata el resultado como un número físico finito del modelo.
Resultado: La fórmula no da una fuerza finita
Condiciones: La expresión se usa para separaciones r > 0; acercamientos donde el tamaño y la estructura importan requieren otro tratamiento.
Seis ejercicios para practicar
Usa k = 9 × 10⁹ N·m²/C². Cargas puntuales en el vacío; +x a la derecha y +y arriba.
q₁ = +3 μC en x = 0; q₂ = −2 μC en x = 0,30 m. Calcula la fuerza sobre q₂.
q₁ = −4 nC y q₂ = −5 nC están separados 2 cm. Calcula la magnitud y el tipo de fuerza.
Dos cargas de magnitudes 1 μC y 4 μC ejercen 0,90 N. Calcula r.
Una fuerza vale 18 N. Sin cambiar cargas ni medio, triplica la distancia.
Sobre la misma carga actúan fuerzas de +0,40 N y −0,10 N en x.
Sobre una carga, Fx = −0,30 N y Fy = +0,40 N. Calcula magnitud y cuadrante.
Ver soluciones explicadas
|F₂| = (9 × 10⁹)(3 × 10⁻⁶)(2 × 10⁻⁶)/0,30² = 0,60 N; F₂x = −0,60 N, hacia q₁.
r = 0,02 m; F = (9 × 10⁹)(4 × 10⁻⁹)(5 × 10⁻⁹)/0,02² = 4,50 × 10⁻⁴ N. Repulsión.
r = √[(9 × 10⁹)(1 × 10⁻⁶)(4 × 10⁻⁶)/0,90] = 0,20 m.
Fnueva = 18/3² = 2 N. El sentido atractivo o repulsivo se conserva.
Fnetax = +0,40 − 0,10 = +0,30 N; hacia la derecha.
|F| = √(0,30² + 0,40²) = 0,50 N. Segundo cuadrante: izquierda y arriba; 126,9° desde +x en sentido antihorario.
Errores frecuentes
Una magnitud negativa: el signo corresponde a una componente elegida, no a |F|.
Olvidar el cuadrado: duplicar r divide F entre cuatro.
Usar μC como si fueran C: cada microculombio aporta un factor 10⁻⁶.
Convertir mal centímetros: (10 cm)² = (0,10 m)² = 0,01 m².
Sumar fuerzas sobre cargas diferentes: primero fija el cuerpo receptor.
Sumar magnitudes en el plano: dos fuerzas de 0,20 y 0,30 N no siempre dan 0,50 N.
Asignar todo objeto neutro a q = 0 puntual: puede haber polarización y atracción.
Interpretar muchos decimales como precisión real: k = 9 × 10⁹ y los datos son aproximados.
