ÁLGEBRA · LETRAS, VALORES Y RELACIONES
Una variable es un símbolo que representa un valor dentro de un conjunto permitido. En x + 3, x puede tomar distintos números; en x + 4 = 9, buscamos el valor que hace verdadera la igualdad.
Las letras pueden representar variables, incógnitas, parámetros o constantes. Para entenderlas, hay que leer su definición y el contexto: no basta con reconocer una x.
Define cada símbolo y conserva su significado durante el problema. Las convenciones ayudan, pero no hacen que b siempre sea base o que m siempre sea masa. En problemas distintos, una misma letra puede representar magnitudes diferentes.
EJEMPLO 01
En x + 3, x es la variable y 3 es una constante.
Si x = 0: x + 3 = 0 + 3 = 3
Si x = 2: x + 3 = 2 + 3 = 5
Si x = −1: x + 3 = −1 + 3 = 2
Condición: x puede ser cualquier número real.
Al cambiar x puede cambiar el valor de la expresión. Dentro de una misma evaluación, todas las apariciones de x representan el mismo número.
EJEMPLO 02
Evalúa 2x² cuando x = −3.
2x2 = 2·(−3)2
2·(−3)2 = 2·9 = 18
Los paréntesis indican que se eleva al cuadrado el valor completo −3. El coeficiente 2 no forma parte del exponente.
EJEMPLO 03
Evalúa 3x + 1 cuando x = 1/2.
3x + 1 = 3·(1/2) + 1
3/2 + 1 = 5/2
Una variable no tiene por qué ser entera. Aquí la sustitución da un resultado fraccionario exacto.
EJEMPLO 04
En 2a − b, toma a = 3 y b = −2.
2a − b = 2·3 − (−2)
6 + 2 = 8
Cada letra tiene su propio valor. Sustituye ambos antes de operar y conserva los paréntesis del número negativo.
EJEMPLO 05
Busca el valor de x que hace verdadera la ecuación.
x + 4 = 9
x = 9 − 4 = 5
Comprobación: 5 + 4 = 9
Condición: x es real.
Aquí no se elige x libremente: la ecuación exige x = 5. Una incógnita es el valor que queremos determinar.
EJEMPLO 06
Compara los dos lados de la igualdad.
2(x + 1) = 2x + 2
Condición: x es real.
La distribución demuestra que ambos lados son iguales para todo x real. Es una identidad: no hay un único valor que encontrar.
EJEMPLO 07
Resuelve x² = 9 en los números reales.
x2 − 9 = 0
(x − 3)(x + 3) = 0
x = 3 o x = −3
32 = 9 y (−3)2 = 9
Condición: x es real.
Un producto es cero si alguno de sus factores es cero. Por eso no basta dar solo la raíz positiva.
EJEMPLO 08
Examina x + 1 = x + 2.
x + 1 = x + 2
Al restar x en ambos lados: 1 = 2
Condición: x es real.
La conclusión es falsa. Ningún número real puede hacer verdadera la ecuación; no se debe inventar un valor para la letra.
EJEMPLO 09
En y = 2x + 1 elegimos x y calculamos y.
x = −1 → y = −1
x = 0 → y = 1
x = 2 → y = 5
Condición: x puede ser cualquier número real.
En esta relación, x es la variable independiente e y la dependiente. Esa elección pertenece al modelo: ninguna letra tiene ese papel en todos los problemas.
EJEMPLO 10
En la familia y = ax + 1, a es un parámetro.
Si a = 3: y = 3x + 1; con x = 2, y = 7
Si a = −1: y = −x + 1; con x = 2, y = −1
Condición: a y x son reales.
Dentro de cada relación, a queda fijo y x puede variar. Cambiar a permite comparar relaciones distintas. Que a sea una letra no la convierte en incógnita.
EJEMPLO 11
Base b = 0,20 m; altura perpendicular h = 0,40 m. Buscamos el área A.
A = (b·h)/2
A = (0,20 m · 0,40 m)/2
A = (0,08 m2)/2
A = 0,04 m2
Condición: b y h son positivas; h corresponde a la altura perpendicular a esa base.
«Base por altura, entre dos» se traduce en A = (b·h)/2. Identificamos las letras, sustituimos los datos y calculamos. El resultado usa metros cuadrados porque se multiplican dos longitudes.
EJEMPLO 12
Un rectángulo tiene base b = 4 cm y altura h = 3 cm.
A = b·h
A = 4 cm · 3 cm = 12 cm2
Condición: Base y altura positivas.
A, b y h conservan aquí su significado geométrico, pero la fórmula cambia respecto del triángulo. La letra por sí sola no determina la operación.
EJEMPLO 13
Un cuadrado tiene lado L = 2 cm. Calculamos perímetro p y área A.
p = 4L = 4·2 cm = 8 cm
A = L2 = (2 cm)2 = 4 cm2
Condición: L > 0.
L representa una longitud; p también, mientras que A representa un área. El 4 es constante en la fórmula del perímetro de un cuadrado.
EJEMPLO 14
Para un círculo de radio r = 2 cm usamos A = πr².
A = π·(2 cm)2
A = 4π cm2
Condición: r > 0.
El radio r puede variar entre círculos. π representa siempre la misma constante; no es una incógnita por escribirse con una letra griega. El resultado se deja exacto.
EJEMPLO 15
Se recorren d = 150 km en t = 3 h. Llamamos v a la rapidez media.
v = d/t
v = 150 km / 3 h = 50 km/h
Condición: d ≥ 0 y t > 0.
La distancia recorrida dividida entre el tiempo da rapidez media. Para velocidad media vectorial se usa desplazamiento, no distancia total. Aquí v no afirma que el movimiento haya sido uniforme.
EJEMPLO 16
Cada entrada cuesta 4 €. n es el número de entradas completas y C el coste.
C = 4n
n = 0 → C = 0 €
n = 1 → C = 4 €
n = 3 → C = 12 €
Condición: n es un entero no negativo.
En este modelo, n no puede valer −1 ni 1/2. La fórmula admite más números algebraicamente, pero el contexto restringe los valores permitidos.
EJEMPLO 17
En y = 6/x, sustituye valores permitidos de x.
x = 2 → y = 6/2 = 3
x = −3 → y = 6/(−3) = −2
x = 0 → la expresión no está definida
Condición: x es real y x ≠ 0.
No se puede dividir entre cero. El cero no produce un resultado cero: queda fuera del dominio.
EJEMPLO 18
En números reales, considera y = √(x − 1).
x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
x = 1 → y = √0 = 0
x = 5 → y = √4 = 2
Condición: x ≥ 1 y y ≥ 0.
El radicando debe ser no negativo. √4 representa la raíz principal 2; no se escribe ±2 al evaluar esta función.
EJEMPLO 19
Estudia y = (x² − 1)/(x − 1).
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
y = x + 1, siempre que x ≠ 1
Con x = 2: y = 3
Con x = 1: la expresión original no está definida
Condición: x es real y x ≠ 1.
Aunque x + 1 admite x = 1, la expresión original tenía denominador cero en ese punto. Su restricción se conserva después de cancelar.
EJEMPLO 20
Una temperatura pasa de Tinicial = 22 °C a Tfinal = 18 °C.
ΔT = Tfinal − Tinicial
ΔT = 18 °C − 22 °C = −4 °C
Condición: Las dos temperaturas están expresadas en la misma escala.
Los subíndices distinguen estados; no son factores que se multiplican. ΔT es el cambio de temperatura, y el signo negativo indica un descenso. La escala debe indicarse.
EJEMPLO 21
Se tienen n = 0,50 mol de soluto en V = 2,0 L de disolución. Usamos c para la concentración molar.
c = n/V
c = 0,50 mol / 2,0 L = 0,25 mol/L
Condición: V > 0.
El denominador es el volumen total de la disolución. También se encuentra M para la molaridad; aquí usamos c y escribimos mol/L para evitar confundirla con la masa molar.
EJEMPLO 22
Hay n = 0,50 mol de soluto y mdisolvente = 0,25 kg. Llamamos b a la molalidad.
b = n/mdisolvente
b = 0,50 mol / 0,25 kg = 2,0 mol/kg
Condición: Masa del disolvente > 0.
La molalidad divide entre la masa del disolvente, no entre el volumen ni la masa de la disolución. Aquí b significa molalidad; en los ejemplos geométricos significaba base.
EJEMPLO 23
En este ejemplo, Pabs = 130 kPa y Patm = 100 kPa. Buscamos la presión manométrica.
Pman = Pabs − Patm
Pman = 130 kPa − 100 kPa = 30 kPa
Condición: Todas las presiones se expresan en kPa.
Los subíndices distinguen presión absoluta, atmosférica y manométrica. La presión atmosférica indicada es un dato del ejemplo, no una constante universal.
EJEMPLO 24
Para un proceso se dan Hinicial = 100 kJ y Hfinal = 80 kJ, medidos respecto de la misma referencia.
ΔH = Hfinal − Hinicial
ΔH = 80 kJ − 100 kJ = −20 kJ
A presión constante y con solo trabajo de expansión: qp = ΔH
Condición: Sistema cerrado; presión constante y solo trabajo presión-volumen para identificar qp con ΔH.
ΔH significa cambio de entalpía. Con las condiciones indicadas, qp = −20 kJ: el sistema cede calor. H no es sinónimo de calor y Δ no es una variable que multiplique a H.
Estos símbolos son convenciones que deben definirse. Que una magnitud pueda cambiar no significa que sea desconocida en todos los problemas; también puede ser un dato fijo.
A
Superficie de la figura; por ejemplo, m2. Su fórmula depende del polígono.
L
Longitud de uno de sus lados; por ejemplo, cm.
h
Longitud perpendicular a la base elegida.
b
Longitud de la base usada en la fórmula; b no tiene este significado en todos los contextos.
r
Distancia del centro a la circunferencia; por ejemplo, cm.
Patm
Presión del aire del entorno; por ejemplo, kPa. Puede variar.
Pman
Diferencia entre presión absoluta y atmosférica; puede ser positiva, cero o negativa.
PH
Aquí designa el incremento de presión por una columna de líquido en reposo: PH = ρgh, con densidad y gravedad constantes. No incluye por sí sola la presión de la superficie.
T
Debe indicarse la escala: por ejemplo, K o °C. En formulaciones termodinámicas, T suele reservarse para temperatura absoluta.
H
Magnitud de estado, expresada en J o kJ. Para un cambio se usa ΔH.
C
Nombre general: hay que indicar qué concentración se usa y sus unidades; C por sí sola no lo aclara.
c
Cantidad de soluto dividida entre volumen de disolución; mol/L. También se encuentra el símbolo M.
b
Cantidad de soluto dividida entre masa de disolvente; mol/kg. También se usa m: conviene definirla para no confundirla con masa.
Mr
Es una razón de masas, sin unidad. PM es una abreviatura tradicional; no confundirla con masa molar, que puede expresarse en g/mol.
ΔH
A presión constante y con solo trabajo presión-volumen coincide con el calor intercambiado por un sistema cerrado. Indica si se expresa por proceso o por mol de reacción.
En física también se usan F para fuerza, V para volumen y ρ para densidad, con unidades como N, m³ y kg/m³. d puede representar distancia y v rapidez o velocidad según la definición. En geometría, p puede ser perímetro; no debe confundirse con P si esta representa presión.
El término tradicional «peso equivalente» (peq) se refiere a una masa equivalente y exige precisar la reacción considerada. No es una letra universal ni una magnitud cuyo valor se elija libremente.