Coeficiente negativo: −5x²y
−5 · x2 · y
Coeficiente −5; parte literal x²y; grado total 2 + 1 = 3.
ÁLGEBRA · EXPRESIONES Y OPERACIONES
Monomios: ejemplos, partes y operaciones resueltas
Un monomio combina un coeficiente con variables de exponentes enteros no negativos. Por ejemplo, −3x²y es un monomio: tiene coeficiente −3 y grado 3.
Aquí encontrarás una colección de ejemplos para reconocerlos y practicar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Las constantes, como 7, también cuentan como monomios; no todas las expresiones con letras lo son.
10 ejemplos de monomios con coeficiente y grado
El coeficiente incluye el signo; la parte literal reúne las variables y sus exponentes. El grado total de un monomio no nulo es la suma de esos exponentes. Una letra sin exponente escrito tiene exponente 1.
En 2ab³, el coeficiente es 2, la parte literal es ab³ y el grado total es 1 + 3 = 4. Su grado respecto de a es 1 y respecto de b es 3. En cambio, (ab)³ = a³b³ tiene grado total 6: el paréntesis cambia a qué factores afecta la potencia.
| Monomio | Coeficiente | Parte literal | Grado total |
|---|---|---|---|
| a · b2 | 1 | a · b2 | 3 |
| x · y · z | 1 | x · y · z | 3 |
| 4 · x2 · y | 4 | x2 · y | 3 |
| m · n5 | 1 | m · n5 | 6 |
| 4 · p2 · q2 · r2 | 4 | p2 · q2 · r2 | 6 |
| 8 · r4 · s5 · u3 | 8 | r4 · s5 · u3 | 12 |
| 10 · f · g · h2 | 10 | f · g · h2 | 4 |
| 9 · w · x · y3 · z | 9 | w · x · y3 · z | 6 |
| 3 · a · b · c | 3 | a · b · c | 3 |
| 4 · m · n · o · p4 | 4 | m · n · o · p4 | 7 |
El punto · indica multiplicación. En la copia se usa * para multiplicar y ^ para indicar potencias: a*b^2 significa ab².
Más ejemplos: signos, fracciones y constantes
En esta guía trabajamos con coeficientes reales y exponentes enteros no negativos. Una fracción en el coeficiente sí se admite; un exponente negativo o fraccionario en una variable no cumple esta definición.
El −1 también puede quedar implícito
−a · b3
=(−1) · a · b3
Coeficiente −1 y grado 1 + 3 = 4. El signo no es una variable ni aumenta el grado.
Un coeficiente fraccionario
(3/4) · x2 · y
Coeficiente 3/4; parte literal x²y; grado 3. El denominador es un número, no una variable.
Una constante no nula
7
Coeficiente 7, sin variables; grado 0. No es necesario que todo monomio tenga letras.
¿Y el cero?
Al sumar 3x y −3x obtenemos 0. Lo trataremos como expresión nula; algunos textos lo llaman monomio nulo. En esta guía no le asignamos grado, para no confundirlo con las constantes no nulas de grado 0.
Cuáles son semejantes y cuáles no son monomios
Dos monomios no nulos son semejantes cuando tienen las mismas variables con los mismos exponentes, aunque cambien sus coeficientes o el orden de los factores:
- 3x²y y −5yx²: sí; ambas partes literales son x²y.
- 3x²y y 3xy²: no; tienen el mismo grado total, pero exponentes distintos para cada variable.
- 7 y −2: son constantes y se pueden sumar directamente.
La expresión debe examinarse después de reducir términos semejantes: 2x + 3x se simplifica a 5x, aunque inicialmente veamos un signo +.
- x + y: tiene dos términos no semejantes; es un binomio.
- 3/x: la variable queda en el denominador (equivale a 3x⁻¹, con x ≠ 0); no es un monomio polinómico.
- √x: equivale a x elevado a 1/2 en su dominio real, x ≥ 0; no tiene exponente entero.
- x² + 1: conserva dos términos al simplificar; tampoco es un monomio.
Suma de monomios: ejemplos resueltos
Para sumar monomios semejantes, suma los coeficientes y conserva la parte literal. No sumes los exponentes: esa regla corresponde al producto de potencias de la misma base.
Una suma con dos variables
a · b3 + 3 · a · b3
=(1 + 3) · a · b3
=4 · a · b3
El primer coeficiente es 1 aunque no esté escrito.
10 ejemplos para practicar
El caso 4 puede leerse como 8y + (−6y); aparece también entre las restas porque muestra las dos escrituras de una misma operación.
01
3 · x + 4 · x
=(3 + 4) · x
=7 · x
02
−5 · x + 2 · x
=(−5 + 2) · x
=−3 · x
03
7 + 9
=16
04
8 · y − 6 · y
=(8 − 6) · y
=2 · y
05
3 · x2 + 5 · x2
=(3 + 5) · x2
=8 · x2
06
−4 · x3 + 2 · x3
=(−4 + 2) · x3
=−2 · x3
07
6 + (−9)
=−3
08
2 · a2 + 3 · a2
=(2 + 3) · a2
=5 · a2
09
−7 · y3 + 4 · y3
=(−7 + 4) · y3
=−3 · y3
10
5 · x + (−3 · x)
=(5 − 3) · x
=2 · x
Otras variantes de suma
Coeficientes fraccionarios
(1/2) · x + (3/4) · x
=(2/4 + 3/4) · x
=(5/4) · x
Se lleva la suma de coeficientes a un denominador común; x no cambia.
Una suma que da cero
3 · x + (−3 · x)
=(3 − 3) · x
=0
Los términos se cancelan. El resultado es la expresión nula, sin grado asignado en esta guía.
Cuando no son semejantes
a · b + x · y
La suma queda indicada: no existe una parte literal común que permita sumar los coeficientes.
Resta de monomios: ejemplos resueltos
Resta los coeficientes de los términos semejantes. Si el segundo coeficiente es negativo, los paréntesis ayudan a no perder el signo: restar −5 equivale a sumar 5.
Restar términos con dos variables
a · b3 − 3 · a · b3
=(1 − 3) · a · b3
=−2 · a · b3
Se conserva ab³; solo cambia el coeficiente.
10 ejemplos para practicar
01
7 · x − 4 · x
=(7 − 4) · x
=3 · x
02
2 · x − (−5 · x)
=(2 + 5) · x
=7 · x
03
9 − 7
=2
04
8 · y − 6 · y
=(8 − 6) · y
=2 · y
05
5 · x2 − 3 · x2
=(5 − 3) · x2
=2 · x2
06
2 · x3 − (−4 · x3)
=(2 + 4) · x3
=6 · x3
07
−9 − 6
=−15
08
3 · a2 − 2 · a2
=(3 − 2) · a2
=a2
09
4 · y3 − (−7 · y3)
=(4 + 7) · y3
=11 · y3
10
3 · x − 5 · x
=(3 − 5) · x
=−2 · x
Otras variantes de resta
Restar un coeficiente negativo fraccionario
(1/2) · x2 − (−(1/4) · x2)
=(1/2 + 1/4) · x2
=(3/4) · x2
El signo menos delante del paréntesis cambia el signo del término restado.
Una resta que no se reduce
a · b − x · y
Las partes literales son distintas; se conservan los dos términos.
Multiplicación de monomios: ejemplos resueltos
Multiplica los coeficientes y suma los exponentes de cada variable repetida. Las variables que solo aparecen en un factor se conservan. No hace falta que los monomios sean semejantes.
Multiplicar con dos variables
3 · a · b3 · (4 · a2 · b)
=(3 · 4) · a3 · b4
=12 · a3 · b4
Para a: 1 + 2 = 3. Para b: 3 + 1 = 4.
10 ejemplos para practicar
01
3 · x · (4 · x)
=(3 · 4) · x2
=12 · x2
02
5 · 9
=45
03
8 · y · (6 · y)
=(8 · 6) · y2
=48 · y2
04
3 · x2 · (5 · x2)
=(3 · 5) · x4
=15 · x4
05
−4 · x · (2 · x)
=(−4 · 2) · x2
=−8 · x2
06
7 · (−9)
=−63
07
2 · a2 · (3 · a2)
=(2 · 3) · a4
=6 · a4
08
−7 · y3 · (4 · y3)
=(−7 · 4) · y6
=−28 · y6
09
5 · x · (−3 · x)
=(5 · (−3)) · x2
=−15 · x2
10
6 · 8
=48
Otras variantes de producto y potencia
Factores con variables distintas
2 · x · (−3 · y)
=−6 · x · y
Se multiplican los coeficientes y se conservan x e y.
Coeficientes fraccionarios y varias letras
(2/3) · x2 · y · (−(9/4) · x · y3)
=(−3/2) · x3 · y4
El coeficiente es (2/3) · (−9/4) = −3/2; para las letras se suman los exponentes.
Elevar un monomio al cuadrado
(−2 · x2 · y)2
=4 · x4 · y2
Se eleva cada factor: (−2)² = 4, (x²)² = x⁴ e y² queda al final.
División de monomios: ejemplos y condiciones
El divisor debe ser distinto de cero. Divide los coeficientes y resta, para cada variable, el exponente del denominador al del numerador. El resultado no siempre es un monomio.
Un cociente que no es monomio
(3 · a · b3)/(4 · a2 · b)
=(3 · b2)/(4 · a)
Condición: a ≠ 0 y b ≠ 0.
Se cancela un factor b, pero b ≠ 0 sigue siendo necesario por el divisor original. La a queda en el denominador: el resultado es una expresión racional, no un monomio polinómico.
10 ejemplos para practicar
01
(8 · x)/(4 · x)
=2
Condición: x ≠ 0.
02
12/4
=3
03
(16 · y)/(4 · y)
=4
Condición: y ≠ 0.
04
(24 · x2)/(6 · x2)
=4
Condición: x ≠ 0.
05
18/(−3)
=−6
06
(8 · x3)/(2 · x3)
=4
Condición: x ≠ 0.
07
20/5
=4
08
(9 · a2)/(3 · a2)
=3
Condición: a ≠ 0.
09
(27 · y3)/(9 · y3)
=3
Condición: y ≠ 0.
10
(16 · x)/(8 · x)
=2
Condición: x ≠ 0.
Más cocientes: el resultado puede conservar variables
El exponente del numerador es mayor
(12 · x5)/(3 · x2)
=4 · x3
Condición: x ≠ 0.
12/3 = 4 y 5 − 2 = 3. La restricción no desaparece al simplificar.
Dos variables y signos distintos
(−15 · x4 · y3)/(6 · x · y)
=(−5/2) · x3 · y2
Condición: x ≠ 0 y y ≠ 0.
El coeficiente se simplifica a −5/2. Se resta un exponente por cada variable.
Cero como dividendo
0/(5 · x)
=0
Condición: x ≠ 0.
Cero dividido por una cantidad no nula da cero. Dividir entre cero no está definido.
En particular, (8x)/(4x) = 2 es válido para x ≠ 0. Si x = 0, el cociente original sería 0/0 y no está definido, aunque la expresión simplificada 2 sí lo esté.
Errores frecuentes y cómo comprobarlos
- Sumar exponentes al sumar términos: 3x² + 5x² = 8x², no 8x⁴. En cambio, (3x²)(5x²) = 15x⁴.
- Confundir grado y exponente mayor: 8r⁴s⁵u³ tiene grado total 4 + 5 + 3 = 12, no 5.
- Olvidar los signos: 2x − (−5x) = 7x, mientras que 2x − 5x = −3x.
- Cancelar variables y olvidar el dominio: simplificar un cociente no permite usar valores que anulaban su divisor original.
Para revisar una división, multiplica el resultado por el divisor y comprueba que recuperas el dividendo, manteniendo las restricciones. Para revisar una suma o resta, agrupa solo partes literales iguales. Sustituir números ayuda a detectar un fallo, pero una coincidencia aislada no prueba una identidad.
Referencias
Definiciones de término, monomio y grado, y reducción de semejantes: OpenStax, Elementary Algebra 2e, 6.1. Cocientes y restricciones: sección 6.5. Los ejemplos resueltos de esta página se verifican individualmente.