EJEMPLO 01
Binomio de grado 1
x + a
Dos variables y coeficientes implícitos iguales a 1.
ÁLGEBRA · DOS TÉRMINOS
Binomios: ejemplos, características y operaciones
Un binomio es un polinomio que, después de desarrollar y reducir, tiene exactamente dos términos no nulos y no semejantes. Por ejemplo, x + 5 y 3x² − 2y son binomios.
No basta con ver un signo + o − ni con contar grupos entre paréntesis: hay que comprobar qué monomios quedan. Aquí encontrarás ejemplos, contrastes y operaciones resueltas para distinguirlos.
18 ejemplos de binomios explicados
Los términos de un polinomio tienen exponentes enteros no negativos en sus variables. Una constante puede ser uno de los dos términos. En estos ejemplos tratamos todas las letras que aparecen como variables independientes.
El grado total es el mayor grado de sus términos; para cada término sumamos los exponentes de sus variables. Los signos se conservan dentro de los términos.
En pantalla, · indica multiplicación. Al copiar se usan * y ^; también se copia la explicación del ejemplo.
EJEMPLO 02
Binomio de grado 1
2 · x + y
Los términos 2x e y no son semejantes.
EJEMPLO 03
Binomio de grado 2
x2 + y2
Tener el mismo exponente no basta para ser semejantes: las variables son distintas.
EJEMPLO 04
Binomio de grado 3
x3 + a · x2
Si x y a se tratan como variables, ambos términos tienen grado total 3.
EJEMPLO 05
Binomio de grado 2
a2 + b2
Es una suma de cuadrados; no debe confundirse con una diferencia de cuadrados.
EJEMPLO 06
Binomio de grado 2
3 · x2 + 4 · x
Los exponentes de x son distintos, por eso no se suman los coeficientes.
EJEMPLO 07
Binomio de grado 1
5 · x + 8
Un término es constante: 8 también es un monomio.
EJEMPLO 08
Binomio de grado 1
4 · y + 2 · z
Son dos términos aunque ambos coeficientes sean pares.
EJEMPLO 09
Binomio de grado 2
x2 + 2 · x
Tiene dos términos y admite extraer x como factor común.
EJEMPLO 10
Binomio de grado 3
y3 + 3 · y2
Sus términos tienen grados 3 y 2; el grado del binomio es 3.
EJEMPLO 11
Binomio de grado 4
z4 + 4 · z3 · y
Los dos términos tienen grado total 4 y partes literales diferentes.
EJEMPLO 12
Binomio de grado 2
a2 − b2
Es una diferencia de cuadrados; más abajo se muestra su factorización.
EJEMPLO 13
Binomio de grado 1
5 · x + 4 · y
Dos variables diferentes dan dos términos no semejantes.
EJEMPLO 14
Binomio de grado 10
3 · x4 · y3 · z2 · w + 2 · m5 · n4
El primer término tiene grado 4 + 3 + 2 + 1 = 10; el segundo, 5 + 4 = 9.
EJEMPLO 15
Binomio de grado 1
x − 7
Una resta también forma un binomio: el segundo término es −7.
EJEMPLO 16
Binomio de grado 2
(1/2) · x2 − (3/4) · y
Las fracciones pertenecen a los coeficientes; los exponentes son enteros no negativos.
EJEMPLO 17
Binomio de grado 4
−3 · u4 − 2
Ambos términos pueden ser negativos. El signo forma parte de cada coeficiente.
EJEMPLO 18
Binomio de grado 2
2 · x − x2
No hace falta escribir primero el término de mayor grado para que sea binomio.
Cómo reconocer un binomio al simplificar
Desarrolla los paréntesis que lo necesiten, reúne términos semejantes y cuenta los términos no nulos. Semejantes significa mismas variables con los mismos exponentes.
Un binomio sencillo
a + 2 · b
Los términos a y 2b son diferentes y no se reducen.
Dos sumandos que se reducen a uno
2 · a + 3 · a
=5 · a
La forma reducida es un monomio, no un binomio.
Otro caso con la misma variable
5 · x + 4 · x
=9 · x
Sumamos los coeficientes porque ambos términos contienen x.
Cuatro sumandos que dejan dos términos
5 · x4 · y2 + 4 · m · n − 6 · a · b + 6 · a · b
=5 · x4 · y2 + 4 · m · n
−6ab y +6ab se cancelan. La forma reducida sí es un binomio.
Un paréntesis que sí termina en binomio
2 · (x + 3) − x
=2 · x + 6 − x
=x + 6
Los paréntesis no lo deciden por sí solos: al desarrollar y reducir quedan dos términos.
Si dos términos se cancelan por completo, como x − x = 0, tampoco queda un binomio. Y 1/x + 2 no es un binomio polinómico en x: contiene una variable en el denominador.
Los paréntesis no convierten varios términos en uno
Las siguientes expresiones no son binomios en las variables indicadas. Desarrollarlas permite ver cuántos términos quedan realmente:
Dos grupos, pero cuatro términos
3 · (a + b) − (c + d)
=3 · a + 3 · b − c − d
Se distribuye el 3 y también el signo menos. Quedan cuatro términos no semejantes.
Contraste: quedan 3 términos
(8 · x + y) + 2 · z
=8 · x + y + 2 · z
Quitar los paréntesis deja tres términos: es un trinomio.
Contraste: quedan 3 términos
(3 · x · y2 · z3 + 2 · m5 · n4) + x · y
=3 · x · y2 · z3 + 2 · m5 · n4 + x · y
Los dos términos del paréntesis no cuentan como un solo monomio. Hay tres partes literales distintas.
Contraste: quedan 4 términos
a · b · c + (a + a · b − b · c)
=a · b · c + a + a · b − b · c
Hay cuatro términos no semejantes; no es un binomio.
Contraste: quedan 3 términos
f · g − 5 · (h + f)
=f · g − 5 · h − 5 · f
El −5 multiplica a h y a f. Se obtienen tres términos, no dos.
Operaciones con binomios: tres ejemplos
La suma o el producto de dos binomios no tiene por qué ser otro binomio. Primero operamos y después clasificamos el resultado.
Sumar dos binomios
(2 · x + 3) + (x − 5)
=2 · x + x + 3 − 5
=3 · x − 2
Se reúnen los términos con x y las constantes. El resultado tiene dos términos.
Restar un binomio completo
(4 · x + 1) − (x − 2)
=4 · x + 1 − x + 2
=3 · x + 3
El signo menos cambia el signo de los dos términos del segundo binomio.
Multiplicar cada término por cada término
(x + a) · (y + b)
=x · y + x · b + a · y + a · b
La distributiva da cuatro productos. En estas variables no son semejantes y no se reducen.
Productos notables con binomios
Son identidades que reúnen operaciones frecuentes. Se entienden y se comprueban mediante la distributiva; no hay que aplicar una fórmula a una expresión que no tenga su forma.
Cuadrado de una suma
(x + a)2
=x2 + 2 · a · x + a2
El término central es el doble producto; no se puede omitir.
Cuadrado de una diferencia
(x − a)2
=x2 − 2 · a · x + a2
Solo cambia el signo del término central; el cuadrado de −a es a².
Producto de binomios conjugados
(x + a) · (x − a)
=x2 − a2
Los factores x + a y x − a son conjugados. Su producto es una diferencia de cuadrados.
Binomios con término común
(x + a) · (x + b)
=x2 + (a + b) · x + a · b
La suma a + b multiplica a x; el producto ab queda por separado.
Cubo de una suma
(x + a)3
=x3 + 3 · a · x2 + 3 · a2 · x + a3
Se ordena aquí por potencias descendentes de x. No existe una obligación de ordenar alfabéticamente.
Aplicar el cuadrado con signos
(2 · x − 3)2
=4 · x2 − 12 · x + 9
(2x)² = 4x²; el doble producto es −12x y el último cuadrado es 9.
Para una colección más amplia de este patrón, sigue con binomios con término común y sus ejemplos resueltos.
Factorizar un binomio y comprobarlo
Factorizar reescribe una expresión como producto. Si hay un factor común, puedes sacarlo de los dos términos; después comprueba distribuyéndolo de nuevo.
Extraer x de los dos términos
a · x · y + b · x
=x · (a · y + b)
Al comprobar, x multiplica tanto a ay como a b. No se cambia x por a en el segundo producto.
Comprobar mediante la distributiva
x · (a · y + b)
=x · a · y + x · b
=a · x · y + b · x
El segundo producto es x · b. Así se recuperan los dos términos originales.
Extraer 2x es válido, aunque no sea el máximo factor común
4 · x2 − 8 · x · y
=2 · x · (2 · x − 4 · y)
=4 · x · (x − 2 · y)
Las dos factorizaciones son correctas. En 2x(2x − 4y) aún se puede extraer un 2 del paréntesis.
Factorizar una diferencia de cuadrados
a2 − b2
=(a + b) · (a − b)
Esta identidad usa factores conjugados. No se aplica a la suma a² + b² en esta forma.
Potencias de binomios y triángulo de Pascal
Para desarrollar (x + y)ⁿ como una suma finita mediante el teorema del binomio, aquí tomamos n entero positivo: 1, 2, 3… No basta con que n sea positivo; 1/2 también lo es y no entra en esta regla de potencias enteras.
Los coeficientes de las primeras potencias se leen en el triángulo de Pascal:
- n = 1: 1, 1.
- n = 2: 1, 2, 1.
- n = 3: 1, 3, 3, 1.
- n = 4: 1, 4, 6, 4, 1.
Las potencias de x bajan desde n hasta 0; las de y suben desde 0 hasta n. En cada término, los dos exponentes suman n.
Desarrollar la cuarta potencia
(x + y)4
=x4 + 4 · x3 · y + 6 · x2 · y2 + 4 · x · y3 + y4
Se combinan los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 con exponentes que suman 4. La fila de Pascal da los coeficientes, no reemplaza las variables.
En una diferencia, los signos se obtienen sustituyendo el segundo sumando por su opuesto. Por ejemplo, el cuadrado de x − a conserva a² y tiene término central −2ax, como vimos arriba.
Referencias
Definición y clasificación: OpenStax, Elementary Algebra 2e, 6.1. Desarrollo por distributiva: sección 6.3. Potencias enteras y coeficientes: College Algebra 2e, 9.6.