EJEMPLO 01
Trinomio de grado 1
a + b + c
Tres variables distintas: ninguno de los términos se combina con otro.
ÁLGEBRA · TRES TÉRMINOS
Trinomios: ejemplos, características y factorización
Un trinomio es un polinomio que, después de desarrollar y reducir, tiene tres términos no nulos y no semejantes. Por ejemplo, x² + 5x + 6 es un trinomio.
En esta colección verás casos con una o varias variables, signos y fracciones. También aprenderás a distinguir un trinomio cuadrado perfecto de la operación de elevar un trinomio al cuadrado.
16 ejemplos de trinomios explicados
En los ejemplos con varias letras, todas se tratan como variables independientes. Para hallar el grado total, suma los exponentes dentro de cada término y elige el mayor de esos grados. Una constante no nula también cuenta como término.
El punto · significa multiplicación. En la copia se usa * para multiplicar y ^ para las potencias; la explicación acompaña a cada ejemplo.
EJEMPLO 02
Trinomio de grado 1
c + d − e
El tercer término es −e. Los signos no impiden que sea un trinomio.
EJEMPLO 03
Trinomio de grado 2
x2 + y + z2
x² y z² tienen el mismo grado, pero variables diferentes: no son semejantes.
EJEMPLO 04
Trinomio de grado 2
a · x + b · y + c
Tratando todas las letras como variables, ax y by tienen grado total 2; c tiene grado 1.
EJEMPLO 05
Trinomio de grado 1
3 · x + 2 · y − 4 · z
Sus coeficientes son 3, 2 y −4. Se conservan tres partes literales diferentes.
EJEMPLO 06
Trinomio de grado 5
2 · f · g − 3 · m · n + 4 · x2 · y3
Los grados de los términos son 2, 2 y 5. El grado total del trinomio es 5.
EJEMPLO 07
Trinomio de grado 9
10 · a2 + 8 · y8 − 9 · z9
El grado es 9, el mayor de 2, 8 y 9; no se suman grados de términos distintos.
EJEMPLO 08
Trinomio de grado 1
m − n − w
Las dos restas representan términos de coeficiente −1.
EJEMPLO 09
Trinomio de grado 3
a · b2 + x2 · y + 3 · m
Los dos primeros términos tienen grado 3, pero no son semejantes. El grado total es 3 y se conservan los tres términos.
EJEMPLO 10
Trinomio de grado 2
x2 + 5 · x + 6
Trinomio de una sola variable y término independiente 6. Se puede factorizar como (x + 2)(x + 3).
EJEMPLO 11
Trinomio de grado 2
x2 + 6 · x + 9
Es un trinomio cuadrado perfecto: x² + 6x + 9 = (x + 3)².
EJEMPLO 12
Trinomio de grado 2
4 · x2 − 12 · x + 9
También es cuadrado perfecto: (2x − 3)². El término central es negativo.
EJEMPLO 13
Trinomio de grado 2
(1/2) · x2 − (3/4) · x + 1
Los coeficientes pueden ser fraccionarios; los exponentes de x siguen siendo enteros no negativos.
EJEMPLO 14
Trinomio de grado 4
x4 − 2 · x2 + 7
Hay tres términos aunque falten las potencias x³ y x. No todos los trinomios son de grado 2.
EJEMPLO 15
Trinomio de grado 3
−3 · t3 + 2 · t − 5
Un trinomio puede tener coeficiente principal negativo y grado impar.
EJEMPLO 16
Trinomio de grado 2
x2 + x · y + y2
Tres términos del mismo grado total. No es (x + y)²: para eso el término central sería 2xy.
Cuenta los términos después de simplificar
Términos semejantes tienen las mismas variables con los mismos exponentes. Se combinan sumando sus coeficientes; contar los signos antes de hacerlo puede llevar a una clasificación equivocada.
Cinco sumandos que se reducen a tres términos
3 · x2 + 2 · x − x2 + 1 + 4
=2 · x2 + 2 · x + 5
Se reúnen 3x² − x² y las constantes 1 + 4. La forma reducida sí es un trinomio.
Una cancelación que deja dos términos
x2 + 3 · x − 3 · x + 2
=x2 + 2
Los términos con x se cancelan. El resultado es un binomio, no un trinomio.
Tampoco cualquier expresión con tres sumandos es un trinomio polinómico: x² + 1/x + 1 no lo es en x, porque contiene una variable en el denominador.
Los paréntesis no cuentan como un único monomio
Para clasificar la expresión en las variables indicadas, desarrolla los productos y reúne semejantes. Estos tres casos tienen más de tres términos:
Contraste: quedan 4 términos
x2 + (2 · m + 3 · n) + y3
=x2 + 2 · m + 3 · n + y3
Los paréntesis no cambian la expresión: ya representa cuatro términos no semejantes, con o sin ellos.
Contraste: quedan 4 términos
4 · r3 + (m − n) · x − 2 · y2
=4 · r3 + m · x − n · x − 2 · y2
La x multiplica tanto a m como a −n. Quedan cuatro términos.
Contraste: quedan 6 términos
(f · g + h) · x + (g · h − f) · y − (f · h + g) · z
=f · g · x + h · x + g · h · y − f · y − f · h · z − g · z
Se distribuyen los tres productos y el signo menos del último. Quedan seis términos distintos.
Qué es un trinomio cuadrado perfecto
Es un trinomio que puede escribirse como el cuadrado de un binomio. Para reconocer el patrón, comprueba los cuadrados de los extremos y el doble producto del término central.
El desarrollo de una suma muestra por qué aparece ese doble producto:
El cuadrado de un binomio produce el patrón
(x + a)2
=(x + a) · (x + a)
=x · x + x · a + a · x + a · a
=x2 + 2 · a · x + a2
Los productos xa y ax son semejantes; juntos forman 2ax.
Reconocer un cuadrado perfecto con suma
x2 + 6 · x + 9
=x2 + 2 · x · 3 + 32
=(x + 3)2
x² y 9 son cuadrados; 6x es el doble producto 2 · x · 3.
Reconocer un cuadrado perfecto con resta
4 · x2 − 12 · x + 9
=(2 · x)2 − 2 · (2 · x) · 3 + 32
=(2 · x − 3)2
El término central es −2 · (2x) · 3 = −12x. El último término sigue siendo positivo.
Tener extremos cuadrados no basta
x2 + 5 · x + 9
No es cuadrado perfecto: los extremos sugieren x y 3, pero el término central debería ser +6x o −6x, no 5x.
Por tanto, no todo trinomio es cuadrado perfecto. Es una clase particular, no otro nombre para cualquier expresión de tres términos.
Elevar un trinomio al cuadrado es otra operación
En (a + b + c)², lo que se multiplica por sí mismo tiene tres términos. Para aplicar la distributiva, cada término del primer factor multiplica a los tres del segundo:
a · (a + b + c)
=a2 + a · b + a · c
Productos del primer término, a.
b · (a + b + c)
=a · b + b2 + b · c
Productos del segundo término, b.
c · (a + b + c)
=a · c + b · c + c2
Productos del tercer término, c.
Sumamos las tres filas y reducimos los productos repetidos:
Desarrollo completo de (a + b + c)²
(a + b + c)2
=(a + b + c) · (a + b + c)
=a2 + a · b + a · c + a · b + b2 + b · c + a · c + b · c + c2
=a2 + 2 · a · b + 2 · a · c + b2 + 2 · b · c + c2
Con a, b y c como variables independientes quedan seis términos. Se pueden ordenar de otras maneras sin cambiar el resultado.
Un cuadrado cuyos productos vuelven a combinarse
(x2 + x + 1)2
=x4 + 2 · x3 + 3 · x2 + 2 · x + 1
Aquí el resultado tiene cinco términos: varios productos aportan términos en x². Elevar un trinomio al cuadrado no garantiza que el resultado tenga tres ni seis términos.
Factorizar un trinomio: comprueba los tres términos
Para sacar un factor de toda la expresión, ese factor debe aparecer en cada uno de sus tres términos. La comprobación consiste en volver a distribuirlo y recuperar el trinomio original.
Un factor que aparece en los tres términos
2 · a · b + a · b · c + 3 · a · b · x
=a · b · (2 + c + 3 · x)
El factor ab está en 2ab, abc y 3abx; dentro quedan 2, c y 3x.
Comprobar la factorización
a · b · (2 + c + 3 · x)
=a · b · 2 + a · b · c + a · b · 3 · x
=2 · a · b + a · b · c + 3 · a · b · x
Multiplicar ab por cada término del paréntesis recupera exactamente los tres originales.
Si el factor solo aparece en dos términos
2 · x2 + 4 · x + 3
=2 · x · (x + 2) + 3
Se puede extraer 2x de los dos primeros términos, pero el 3 queda fuera. No es correcto meterlo en el paréntesis como si también tuviera ese factor.
Otra factorización: buscar suma y producto
x2 + 5 · x + 6
=(x + 2) · (x + 3)
2 y 3 suman 5 y multiplicados dan 6. Al desarrollar se recupera x² + 5x + 6; no es el cuadrado de un mismo binomio.
El factor común, los cuadrados perfectos y los productos de dos binomios son patrones distintos. No todos los trinomios admiten una factorización sencilla con coeficientes enteros. Conviene identificar el caso y comprobar el resultado, sin forzar una fórmula.
Referencias
Definición y reducción: OpenStax, Elementary Algebra 2e, 6.1. Extracción de factores: sección 7.1. Reconocimiento de cuadrados perfectos: sección 7.4.