ARITMÉTICA · MULTIPLICACIÓN PASO A PASO
En una multiplicación, los números que intervienen son los factores y el resultado es el producto. Por ejemplo, 4 · 3 = 12 puede representar tres grupos de cuatro objetos. Los signos × y · indican multiplicación; en texto también se usa el asterisco *.
Estos 28 ejemplos incluyen grupos iguales, productos por cifras, llevadas, ceros, signos, decimales y aplicaciones con cantidades, áreas y precios.
La suma repetida explica algunos casos: sirve directamente cuando contamos un número entero no negativo de copias de una cantidad. Para multiplicadores negativos o decimales, usamos las propiedades de la multiplicación, los signos y la idea de escala. Multiplicar por 0,5, por ejemplo, toma la mitad de una cantidad.
EJEMPLO 01
Cuenta tres grupos con cuatro fichas en cada uno.
4·3 = 4 + 4 + 4 = 12
12 / 3 = 4
Los factores son 4 y 3; el producto es 12. En esta interpretación llamamos multiplicando al 4 y multiplicador al 3: contamos tres copias de 4. En la recta serían tres saltos de cuatro unidades hacia la derecha, partiendo de 0.
EJEMPLO 02
Calcula (+2) por (+5).
(+2)·(+5) = 10
(+2) + (+2) + (+2) + (+2) + (+2) = 10
Cinco grupos de dos unidades dan diez. La suma repetida describe directamente este caso porque el número de grupos es un entero positivo.
EJEMPLO 03
Calcula estos cuatro productos de números positivos.
(+3)·(+4) = 12
(+2)·(+9) = 18
(+7)·(+3) = 21
(+6)·(+8) = 48
Los dos factores son positivos, así que el producto también lo es. Por ejemplo, ocho grupos de seis contienen 48 unidades.
EJEMPLO 04
Calcula 23 por 3 separando decenas y unidades.
3·3 = 9
20·3 = 60
23·3 = 60 + 9 = 69
69 / 3 = 23
Tres veces 3 unidades son 9 unidades; tres veces 2 decenas son 6 decenas. No necesitas reagrupar ninguna columna.
EJEMPLO 05
Calcula 47 por 6.
7·6 = 42
4·6 + 4 = 28
47·6 = 282
282 / 6 = 47
En unidades, 42 deja 2 y lleva 4 decenas. Luego calculas 4 decenas por 6 y añades las 4 decenas llevadas: 28 decenas. Con las 2 unidades, el resultado es 282.
EJEMPLO 06
Calcula 234 por 12 mediante productos parciales.
12 = 10 + 2
234·2 = 468
234·10 = 2 340
234·12 = 468 + 2 340 = 2 808
2 808 / 12 = 234
El 1 de 12 representa una decena: ese producto parcial vale 2340, no 234. Después suma los dos productos parciales respetando sus posiciones.
| Producto | Valor |
|---|---|
| 234 · 2 | 468 |
| 234 · 10 | 2 340 |
| Suma | 2 808 |
EJEMPLO 07
Calcula 305 por 24.
305·4 = 1 220
305·20 = 6 100
305·24 = 1 220 + 6 100 = 7 320
7 320 / 24 = 305
El cero de 305 mantiene la posición de las decenas; no puedes borrarlo y multiplicar 35. Descomponer 24 en 20 + 4 ayuda a conservar cada valor posicional.
EJEMPLO 08
Calcula 125 por 104.
104 = 100 + 0 + 4
125·4 = 500
125·0 = 0
125·100 = 12 500
125·104 = 500 + 0 + 12 500 = 13 000
El 1 está en las centenas, aunque la cifra de las decenas sea cero. Su producto parcial es 12 500. El cero permite distinguir 104 de 14.
EJEMPLO 09
Calcula 40 por 300 mediante su descomposición.
40 = 4·10
300 = 3·100
40·300 = 4·3·10·100 = 12 000
Condición: Los ceros finales considerados pertenecen a números enteros.
Primero obtienes 4 por 3, que da 12, y después multiplicas por 1000. La regla de los tres ceros finales se justifica por esos factores 10 y 100.
EJEMPLO 10
Cambia el valor posicional de 2,35.
2,35·10 = 23,5
2,35·100 = 235
2,35·1 000 = 2 350
2,35 = 2,350
Cada factor 10 hace que las cifras representen un valor diez veces mayor. Añadir un cero a la derecha de 2,35 produce 2,350, que sigue valiendo 2,35; eso no equivale a multiplicar por 10.
EJEMPLO 11
Aplica la regla de signos y comprueba las magnitudes.
(+2)·(−5) = −10
−(+2) − (+2) − (+2) − (+2) − (+2) = −10
(+5)·(−21) = −105
(+4)·(−7) = −28
(+25)·(−9) = −225
Los signos distintos dan un producto negativo. En 2 por −5, calcula el opuesto de 2 por 5: −10. La segunda línea representa cinco aportes de −2 y recorre diez unidades hacia la izquierda desde 0; no se trata de repetir algo un número negativo de veces.
EJEMPLO 12
Repite cantidades negativas un número positivo de veces.
(−2)·(+14) = −28
(−3)·(+8) = −24
(−8)·(+6) = −48
Por ejemplo, ocho aportes de −3 suman −24. Los signos distintos dan un resultado negativo también cuando el factor negativo está primero.
EJEMPLO 13
Calcula (−2) por (−5) usando el opuesto.
(−2)·5 = −10
(−2)·(−5) = −((−2)·5) = 10
−(−2) − (−2) − (−2) − (−2) − (−2) = 10
Multiplicar por −5 da el opuesto de multiplicar por 5. El opuesto de −10 es 10. Esto conserva la distributividad: como 5 + (−5) = 0, los productos por 5 y por −5 deben sumar cero. No se cuentan «menos cinco repeticiones».
EJEMPLO 14
Multiplica las magnitudes y usa signo positivo.
(−10)·(−10) = 100
(−31)·(−3) = 93
(−70)·(−5) = 350
(−11)·(−8) = 88
Los factores negativos aparecen en pares. Por ejemplo, 31 por 3 da 93, y los dos signos negativos hacen que el resultado sea positivo. Esta regla corresponde a multiplicar, no a sumar negativos.
EJEMPLO 15
Observa que se conserva el otro factor.
(+2)·(1) = 2
(−6)·(1) = −6
(+1)·(−16) = −16
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Da igual en qué lado esté: el otro número conserva tanto su magnitud como su signo.
EJEMPLO 16
Compara factores positivos y negativos.
(+2)·(0) = 0
(−4)·(0) = 0
(+9)·(0) = 0
0·0 = 0
Cualquier número por cero da cero. No confundas esta regla con la suma: sumar cero conserva el número, mientras que multiplicar por cero da cero. No compruebes dividiendo entre cero.
EJEMPLO 17
Obtén el opuesto de cada número.
7·(−1) = −7
(−7)·(−1) = 7
El factor −1 cambia el signo. A diferencia de multiplicar por +1, no conserva el número salvo cuando este es cero.
EJEMPLO 18
Usa las propiedades conmutativa y asociativa.
25·4 = 4·25 = 100
(2·5)·3 = 10·3 = 30
2·(5·3) = 2·15 = 30
En estos productos numéricos puedes cambiar el orden o agrupar factores sin alterar el resultado. El contexto sigue importando: cuatro cajas con veinticinco piezas no describen la misma distribución que veinticinco cajas con cuatro piezas, aunque tengan el mismo total.
EJEMPLO 19
Calcula 7 por 23 mediante la propiedad distributiva.
23 = 20 + 3
7·(20 + 3) = 7·20 + 7·3
7·23 = 140 + 21 = 161
Multiplica ambos sumandos por 7 y después suma. Multiplicar solo el 20 dejaría incompleto el cálculo.
EJEMPLO 20
Calcula 99 por 8 sin desarrollar todo el algoritmo.
99·8 = (100 − 1)·8
(100 − 1)·8 = 100·8 − 1·8
99·8 = 800 − 8 = 792
Primero calcula cien grupos de ocho y quita un grupo de ocho. La distributividad también se aplica a una diferencia.
EJEMPLO 21
Calcula 2,4 por 1,3.
24·13 = 312
2,4·1,3 = (24/10)·(13/10)
(24/10)·(13/10) = 312/100 = 3,12
Los factores tienen una cifra decimal cada uno. Multiplicas 24 por 13 y divides el resultado por 100, porque cada factor se había multiplicado por 10. Por eso el producto es 3,12.
| Cantidad | Fracción equivalente |
|---|---|
| 2,4 | 24 / 10 |
| 1,3 | 13 / 10 |
| 3,12 | 312 / 100 |
EJEMPLO 22
Calcula 0,06 por 0,4.
6·4 = 24
0,06·0,4 = (6/100)·(4/10)
24/1 000 = 0,024
Hay dos posiciones decimales en 0,06 y una en 0,4. El producto expresa 24 milésimas, no 24 centésimas. Coloca el cero necesario para escribir 0,024.
EJEMPLO 23
Compara escalar por una mitad y por una vez y media.
8·0,5 = 8/2 = 4
3·1,5 = 3 + 1,5 = 4,5
Condición: La comparación de aumento o reducción se refiere a una cantidad inicial positiva.
Multiplicar por 0,5 toma la mitad; por 1,5 toma una vez y media. No puedes interpretar medio grupo como un número entero de repeticiones. Para una cantidad positiva, un factor entre 0 y 1 la reduce, y un factor mayor que 1 la aumenta.
EJEMPLO 24
Separa el cálculo de magnitudes de la regla de signos.
(−1,2)·0,5 = −0,6
(−1,2)·(−0,5) = 0,6
1,2·0,5 = 0,6
La mitad de la magnitud 1,2 es 0,6. Signos distintos producen −0,6; dos signos negativos producen +0,6.
EJEMPLO 25
Completa □ por 7 = 84.
84 / 7 = 12
12·7 = 84
Condición: El factor conocido es distinto de cero.
Divide el producto entre el factor conocido y comprueba multiplicando. Aquí puedes dividir porque 7 no es cero. Si el factor conocido fuera 0, esta operación inversa no estaría definida.
EJEMPLO 26
Cada paquete contiene 6 lápices. ¿Cuántos hay en 4 paquetes?
6·4 = 24
24 / 4 = 6
Condición: Los 4 paquetes contienen exactamente 6 lápices cada uno.
Hay 24 lápices. La multiplicación sirve porque los cuatro grupos tienen la misma cantidad. Si los paquetes tuvieran contenidos diferentes, habría que sumar esas cantidades.
EJEMPLO 27
Un rectángulo mide 3 m de largo y 2 m de ancho.
3·2 = 6
Área = 3 m × 2 m = 6 m²
Condición: La figura es un rectángulo y las dos longitudes están expresadas en metros.
El área es 6 metros cuadrados: caben seis cuadrados de 1 m de lado. Multiplicar metros por metros produce metros cuadrados; no confundas área con perímetro.
EJEMPLO 28
Tres cuadernos cuestan 1,25 € cada uno. Calcula el total.
1,25·3 = 3,75
125·3 = 375
Condición: El precio unitario es el mismo y no hay cargos adicionales ni descuentos.
El total es 3,75 €. También puedes trabajar en céntimos: 125 céntimos por 3 son 375 céntimos, equivalentes a 3,75 €.
OpenStax, Prealgebra 2e: multiplicación y productos parciales, multiplicación de enteros, operaciones con decimales.