Ejemplos de números enteros

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

−8 es un entero negativo; 12 es un entero positivo

0 es un entero y no es positivo ni negativo

Condición: Un entero no tiene parte fraccionaria distinta de cero.

Los puntos suspensivos indican que la lista continúa en las dos direcciones. El signo + puede omitirse en los positivos: +12 = 12. El cero sí pertenece a Z.

8/2 = 4: entero

−6/3 = −2: entero

4,0 = 4: entero

3/2 = 1,5: no es entero

Importa el valor, no la forma de escribirlo. Una fracción aparente representa un entero; un decimal con parte decimal cero también. No toda fracción ni todo decimal quedan fuera de Z.

−3 < 0 < 2

−3 está tres unidades a la izquierda de 0

2 está dos unidades a la derecha de 0

Las marcas de los enteros consecutivos están separadas por una unidad. Los enteros no ocupan todos los puntos de la recta: entre 0 y 1 está 1/2, que no es entero.

−8 < −5 < −2 < 0 < 5

−2 > −8

Entre dos negativos, es mayor el que está más cerca de cero. Aunque 8 es mayor que 2, −8 es menor que −2. Compara posiciones en la recta, no solo las cifras sin signo.

Opuesto de 4: −4

Opuesto de −4: 4

4 + (−4) = 0

Opuesto de 0: 0

Condición: El signo − delante de una expresión indica su opuesto.

Dos opuestos están a la misma distancia de cero y a lados contrarios, salvo el cero, que es su propio opuesto. El opuesto de a se escribe −a.

|−7| = 7

|7| = 7

|0| = 0

Las barras indican valor absoluto. Una distancia no puede ser negativa. No confundas opuesto y valor absoluto: el opuesto de 7 es −7, mientras que |7| = 7.

|2 − (−3)| = |5| = 5

Desde −3 hasta 0: 3 unidades; desde 0 hasta 2: 2

Distancia total: 3 + 2 = 5 unidades

Condición: Distancia medida en unidades de la recta.

Resta las posiciones y toma el valor absoluto. La distancia es la misma al recorrerla en sentido contrario: |−3 − 2| = 5.

Anterior: −5 − 1 = −6

Siguiente: −5 + 1 = −4

−6 < −5 < −4

Todo entero tiene anterior y siguiente dentro de Z. Al sumar uno avanzas hacia la derecha, incluso cuando sigues en la zona negativa.

10 + 21 + 5 + (−9) + (−4)

= (10 + 21 + 5) + ((−9) + (−4))

= 36 + (−13) = 23

Los positivos suman 36 y los negativos −13. Al combinar cantidades de signos distintos, resta sus valores absolutos y conserva el signo de la de mayor valor absoluto. La suma permite reagrupar sin cambiar el resultado.

(−6) + (−4) = −10

9 + (−4) = 5

4 + (−9) = −5

7 + (−7) = 0

Con dos negativos se suman las magnitudes y se conserva el signo negativo. Con signos distintos manda la mayor magnitud; si las magnitudes coinciden, se cancelan.

14 − (−28) = 14 + 28 = 42

Comprobación: 42 + (−28) = 14

Condición: Regla: a − b = a + (−b).

Restar b equivale a sumar −b. Como el sustraendo es −28, su opuesto es +28. El número 14 no cambia de signo.

8 − 3 = 5

8 − (−3) = 11

(−8) − 3 = −11

(−8) − (−3) = −5

Cambia la resta por una suma del opuesto del segundo término. No apliques sin más la regla de signos de la multiplicación a toda una resta. Los paréntesis ayudan a distinguir el signo del número y el signo de la operación.

11·(−20) = −(11·20) = −220

Comprobación: (−220)/11 = −20

Condición: Conserva los paréntesis del factor negativo.

El producto tiene signo negativo porque sus dos factores tienen signos distintos. Multiplica las magnitudes, 11 y 20, y aplica ese signo al resultado.

(−4)·(−3) = 12

(−2)·(−3)·(−4) = −24

(−2)·(−3)·(−4)·(−1) = 24

(−9)·0 = 0

Sin factores cero, un número par de factores negativos da producto positivo y un número impar da producto negativo. Si aparece un factor cero, el producto es cero, con independencia de los demás signos.

(−12)/(−4) = 12/4 = 3

Comprobación: 3·(−4) = −12

Condición: Divisor distinto de cero.

La división de dos números del mismo signo da un cociente positivo. En este caso es entero porque 12 es múltiplo de 4.

18/3 = 6

(−18)/3 = −6

18/(−3) = −6

(−18)/(−3) = 6

Condición: Divisores distintos de cero.

Con signos iguales el cociente es positivo; con signos distintos es negativo. Verifica cada resultado multiplicándolo por su divisor: por ejemplo, (−6)·(−3) = 18.

(−7)/2 = −3,5: no es entero

0/(−5) = 0: sí es entero

5/0 y 0/0 no están definidos

Condición: El divisor nunca puede ser cero.

Dividir enteros puede producir un racional no entero. Un numerador cero es válido si el divisor no es cero. La división entre cero no da infinito ni una respuesta entera.

(−3)² = (−3)·(−3) = 9

−3² = −(3·3) = −9

(−3)³ = (−3)·(−3)·(−3) = −27

Condición: Exponentes enteros positivos en estos ejemplos.

En (−3)², el signo pertenece a la base. Sin paréntesis, primero se calcula 3² y después se toma su opuesto. Un exponente impar conserva el signo negativo de una base negativa.

−4 + 3·(2 − 5)

= −4 + 3·(−3)

= −4 + (−9) = −13

Primero calcula el paréntesis, después la multiplicación y por último la suma. El producto es −9; sumarlo a −4 hace el resultado más negativo.

−3 + 7 = 4 °C

4 − 5 = −1 °C

Cambio total: 7 − 5 = 2 °C

Condición: Temperaturas y variaciones expresadas en grados Celsius.

La temperatura final es −1 °C, dos grados más alta que al principio. Distingue el valor final del cambio: terminar bajo cero no significa que la temperatura haya bajado durante todo el proceso.

−20 + 35 = 15 euros

Después de pagar 15 euros: 15 − 15 = 0 euros

Condición: Modelo sencillo sin intereses ni comisiones.

Usamos negativo para una deuda y positivo para dinero a favor. El ingreso compensa los 20 euros de deuda y deja 15. Al gastar esos 15, el saldo queda en cero.

−12 + 8 = −4 m

Posición final: 4 m bajo el nivel del mar

Condición: Nivel del mar = 0 m; hacia arriba es positivo.

La posición es −4 m y la profundidad es 4 m. El ascenso es positivo en este convenio, aunque la posición final continúe siendo negativa.

(−2) + 5 = 3

(−2) − 5 = −7

(−2)·5 = −10

(−2)/5 = −0,4: no es entero

La suma, la resta y la multiplicación de enteros siempre dan enteros. La división solo da entero cuando el divisor no nulo divide exactamente al dividendo. Todos los enteros son racionales y reales, pero no todos los racionales son enteros.

(−3) + 8 = 8 + (−3) = 5

(−3) − 8 = −11

8 − (−3) = 11

La suma es conmutativa; la resta no. Tampoco puedes reagrupar una resta sin revisar los signos: 10 − (4 − 2) = 8, mientras que (10 − 4) − 2 = 4.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50

Estas cinco listas contienen 50 números. En cada fila, el valor aumenta en 1. Son enteros consecutivos. Son ejemplos de Z; el cero también pertenece al conjunto aunque estas listas no lo muestren.

51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60

61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70

71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80

81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90

91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100

Estas cinco listas contienen 50 números. En cada fila, el valor aumenta en 1. Son enteros consecutivos. Son ejemplos de Z; el cero también pertenece al conjunto aunque estas listas no lo muestren.

1050, 1150, 1250, 1350, 1450, 1550

2050, 2150, 2250, 2350, 2450, 2550

3050, 3150, 3250, 3350, 3450, 3550

4050, 4150, 4250, 4350, 4450, 4550

5050, 5150, 5250, 5350, 5450, 5550

Estas cinco listas contienen 30 números. En cada fila, el valor aumenta en 100. No son consecutivos: entre dos términos de la lista hay otros enteros. Son ejemplos de Z; el cero también pertenece al conjunto aunque estas listas no lo muestren.

−1, −2, −3, −4, −5, −6, −7, −8, −9, −10

−11, −12, −13, −14, −15, −16, −17, −18, −19, −20

−21, −22, −23, −24, −25, −26, −27, −28, −29, −30

−31, −32, −33, −34, −35, −36, −37, −38, −39, −40

−41, −42, −43, −44, −45, −46, −47, −48, −49, −50

Estas cinco listas contienen 50 números. En cada fila, el valor disminuye en 1. Son enteros consecutivos. Son ejemplos de Z; el cero también pertenece al conjunto aunque estas listas no lo muestren.

−51, −52, −53, −54, −55, −56, −57, −58, −59, −60

−61, −62, −63, −64, −65, −66, −67, −68, −69, −70

−71, −72, −73, −74, −75, −76, −77, −78, −79, −80

−81, −82, −83, −84, −85, −86, −87, −88, −89, −90

−91, −92, −93, −94, −95, −96, −97, −98, −99, −100

Estas cinco listas contienen 50 números. En cada fila, el valor disminuye en 1. Son enteros consecutivos. Son ejemplos de Z; el cero también pertenece al conjunto aunque estas listas no lo muestren.

−1050, −1150, −1250, −1350, −1450, −1550

−2050, −2150, −2250, −2350, −2450, −2550

−3050, −3150, −3250, −3350, −3450, −3550

−4050, −4150, −4250, −4350, −4450, −4550

−5050, −5150, −5250, −5350, −5450, −5550

Estas cinco listas contienen 30 números. En cada fila, el valor disminuye en 100. No son consecutivos: entre dos términos de la lista hay otros enteros. Son ejemplos de Z; el cero también pertenece al conjunto aunque estas listas no lo muestren.

0 = 0·1

0 = 2·0: es par

−0 = 0

Todos los enteros son múltiplos de 1, incluido el cero. Ser par significa poder escribirse como 2 por un entero. El cero no tiene signo positivo o negativo y es su propio opuesto.

n − 1 < n < n + 1

Entre −2 y −1 está −1,5, que no es entero

Condición: n es un entero.

Para cualquier entero hay otro menor y otro mayor. Por eso Z no tiene primero ni último. Entre dos enteros consecutivos no hay otro entero, aunque sí existen números no enteros en la recta.