Ejemplos de números primos

7 / 1 = 7

7 / 7 = 1

7 / 2 = 3,5

7 / 3 = 2,333… ≈ 2,3333

Divisores positivos de 7: 1 y 7

Condición: Divisores enteros positivos; división exacta significa resto cero.

Entre 2 y 6, ninguno divide exactamente a 7. En la división entre 3, el 3 decimal se repite sin terminar: escribir solo cuatro treses exige usar ≈. Para decidir divisibilidad es más seguro observar el resto: 7 = 3·2 + 1.

Divisores positivos de 2: 1 y 2

4 = 2·2; 6 = 2·3; 8 = 2·4

2 tiene exactamente dos divisores positivos distintos. Cualquier par mayor que 2 tiene además el divisor 2, distinto de 1 y del propio número; por eso es compuesto.

Divisores positivos de 1: solo 1

1 tiene un divisor, no dos

Decir «1 y él mismo» no da dos divisores diferentes cuando el número es 1. Tampoco es compuesto: esta clasificación se aplica a enteros mayores que 1.

0 = 1·0 = 2·0 = 3·0

0: ni primo ni compuesto

−7 y 2,5: fuera del dominio de la definición

Condición: Primalidad definida para enteros positivos mayores que 1.

Todo entero positivo divide a 0, de modo que no tiene exactamente dos divisores positivos. Los negativos y los números no enteros no se clasifican como primos o compuestos en este artículo.

12 = 1·12 = 2·6 = 3·4

Divisores positivos: 1, 2, 3, 4, 6 y 12

Tiene más de dos divisores. Para demostrar que es compuesto bastaba encontrar 12 = 2·6, con ambos factores mayores que 1; listar los demás ayuda a comprender la diferencia.

9 = 3·3; 15 = 3·5

21 = 3·7; 25 = 5·5

Los cuatro son impares y compuestos. «Todo primo mayor que 2 es impar» no significa que todos los impares sean primos.

5² = 25 < 29 < 36 = 6²

29 = 2·14 + 1

29 = 3·9 + 2

29 = 5·5 + 4

29 es primo

Condición: n entero mayor que 1; probar todos los primos p con p² ≤ n.

La raíz está entre 5 y 6: prueba los primos 2, 3 y 5. Ninguno deja resto cero. Si n = a·b fuera compuesto y ambos factores fueran mayores que √n, su producto sería mayor que n. Por tanto, un compuesto siempre tiene un divisor primo menor o igual que √n.

7² = 49

49 = 7·7

Divisores positivos: 1, 7 y 49

Hay que incluir el primo que coincide con √n. Detenerse antes de 7 clasificaría mal este cuadrado. 49 es compuesto; el divisor 7 se cuenta una sola vez.

9² = 81 < 91 < 100 = 10²

91 = 2·45 + 1

91 = 3·30 + 1

91 = 5·18 + 1

91 = 7·13

Aunque 2, 3 y 5 no lo dividen, todavía hay que probar 7. Ese divisor demuestra que 91 es compuesto; no hacen falta más pruebas.

9² = 81 < 97 < 100 = 10²

97 = 2·48 + 1

97 = 3·32 + 1

97 = 5·19 + 2

97 = 7·13 + 6

97 es primo

Los únicos primos menores o iguales que √97 son 2, 3, 5 y 7. Todos los restos son distintos de cero. El siguiente primo, 11, supera el límite.

11² = 121

121 = 11·11

Divisores positivos: 1, 11 y 121

El límite es exactamente 11 y hay que probarlo. 121 no es primo, aunque termine en 1 y no tenga divisores entre los cuatro primeros primos.

14² = 196 < 221 < 225 = 15²

221 = 2·110 + 1; 221 = 3·73 + 2

221 = 5·44 + 1; 221 = 7·31 + 4

221 = 11·20 + 1

221 = 13·17

El límite obliga a revisar 2, 3, 5, 7, 11 y 13. El último da una división exacta. Basta este producto para concluir que 221 es compuesto.

15² = 225 < 229 < 256 = 16²

229 = 2·114 + 1; 229 = 3·76 + 1

229 = 5·45 + 4; 229 = 7·32 + 5

229 = 11·20 + 9; 229 = 13·17 + 8

229 es primo

Se prueban 2, 3, 5, 7, 11 y 13; el siguiente primo es 17 y ya supera √229. Ningún resto es cero. No hay que probar 15 porque es compuesto: un factor primo suyo ya se ha comprobado.

Descarta 1

Conserva 2; tacha sus múltiplos desde 4

Conserva 3; tacha sus múltiplos desde 9

Conserva 5; tacha sus múltiplos desde 25

Conserva 7; tacha su múltiplo 49

Quedan: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Se tachan múltiplos mayores que el propio primo, no el primo. Empezar en p² evita repetir trabajo: los múltiplos anteriores ya tienen factores primos menores. Como 8² > 50, basta trabajar con 2, 3, 5 y 7. La cuadrícula muestra el resultado final.

2, 3, 5, 7, 11

13, 17, 19, 23, 29

31, 37, 41, 43, 47

53, 59, 61, 67, 71

73, 79, 83, 89, 97

Hay 25 números. 2 es el único par; 1 no aparece. La lista está completa: al cribar hasta 99, los compuestos se eliminan con 2, 3, 5 o 7.

101, 103, 107, 109, 113

127, 131, 137, 139, 149

151, 157, 163, 167, 173

179, 181, 191, 193, 197

199, 211, 223, 227, 229

Son los 25 primos siguientes, no todos los enteros impares del intervalo. El 50.º primo es 229. Para comprobar cualquier candidato de este tramo basta probar los primos hasta 13.

2·3 = 6

3·5·7 = 105

2·3·5 = 30

Los factores 2, 3, 5 y 7 son primos. Los resultados son compuestos porque cada producto incluye al menos dos factores mayores que 1. Todo entero mayor que 1 admite una descomposición en factores primos.

72 / 2 = 36; 36 / 2 = 18

18 / 2 = 9; 9 / 3 = 3

3 / 3 = 1

72 = 2·2·2·3·3 = 2³·3²

Un factor primo puede repetirse. La lista de factores es 2, 2, 2, 3, 3; los divisores primos distintos son solo 2 y 3. Multiplica los cinco factores para recuperar 72.

13 = 13

13 / 13 = 1

Cuando el número ya es primo, su descomposición tiene un único factor: él mismo. No se añade 1 a la lista de factores primos porque 1 no es primo.

Divisores de 8: 1, 2, 4, 8

Divisores de 9: 1, 3, 9

Único divisor positivo común: 1

8 = 2³; 9 = 3²

Dos enteros positivos son primos entre sí o coprimos cuando su máximo común divisor es 1. Eso no exige que cada uno sea primo: 8 y 9 son compuestos.

13 − 11 = 2: 11 y 13 son gemelos

19 − 17 = 2: 17 y 19 son gemelos

23 − 19 = 4

29 − 23 = 6

Dos primos que difieren en 2 se llaman gemelos. Las distancias entre primos consecutivos no son constantes; no basta sumar siempre 2, 4 o 6 para obtener el siguiente primo.

2·3·5 + 1 = 31

31 deja resto 1 entre 2, 3 y 5

2·3·5·7·11·13 + 1 = 30 031

30 031 = 59·509

Dada cualquier lista finita de primos, su producto más 1 deja resto 1 al dividirlo entre cada primo de la lista. Tiene algún divisor primo que no estaba en ella: así ninguna lista finita contiene todos los primos. El número construido no tiene por qué ser primo; 30 031 es compuesto. Lo nuevo puede ser un factor primo, como 59 o 509.

21 = 3·7; 33 = 3·11

77 = 7·11; 99 = 9·11

En base diez, todo primo mayor que 5 termina en 1, 3, 7 o 9: las demás terminaciones lo harían múltiplo de 2 o 5. La condición es necesaria, pero no suficiente; estos cuatro números la cumplen y son compuestos.

17 = 1·17: solo 1 grupo de 17 o 17 de 1

18 = 1·18 = 2·9 = 3·6

Condición: Fichas indivisibles; grupos de tamaño entero positivo.

17 es primo: no admite grupos con más de una ficha y menos de 17 fichas por grupo. 18 sí admite, por ejemplo, 3 grupos de 6. Las parejas también permiten intercambiar el número de grupos y el tamaño de cada grupo.