ÁLGEBRA · POTENCIAS Y SUS CONDICIONES
En una potencia, la base es la cantidad que se eleva y el exponente indica cómo se aplica la operación. Con un exponente entero positivo, cuenta los factores iguales a la base: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
Los ejemplos recorren expresiones algebraicas, potencias de diez y operaciones resueltas. Después encontrarás exponentes cero, negativos y fraccionarios, junto con las leyes de las potencias y los errores más frecuentes.
En 5³, la base es 5, el exponente es 3 y el valor de la potencia es 125. Se lee «cinco al cubo» o «cinco elevado a tres». El exponente 2 se lee «al cuadrado». Para un entero positivo n, 2ⁿ, 5ⁿ y 10ⁿ indican n factores iguales a 2, 5 y 10, respectivamente.
No confundas el exponente con el coeficiente: en 4x³, el 4 multiplica y el 3 eleva a x. Una letra sin exponente escrito tiene exponente 1. Las letras pueden representar números; una expresión puede simplificarse sin conocerlos y evaluarse cuando se les asignan valores.
La multiplicación repetida explica los exponentes enteros positivos. Los casos cero, negativos y racionales se definen con otras reglas y restricciones, que se muestran más abajo. Trabajaremos con números reales.
EJEMPLO 01
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
x2 + y2 − z3
x → 2; y → 2; z → 3.
Con x = 2, y = 3, z = 2: 22 + 32 − 23 = 4 + 9 − 8 = 5
Cada exponente afecta a su base. El signo menos pertenece al término que contiene z³.
EJEMPLO 02
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
a4 + b3 + c2 − d
a → 4; b → 3; c → 2; d → 1.
En −d, el exponente de d es 1 aunque no se escriba. El signo no convierte ese exponente en negativo.
EJEMPLO 03
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
x3 − ax2
Primer término: x → 3. Segundo término: a → 1; x → 2.
En ax², el 2 afecta a x; a es un factor con exponente implícito 1.
EJEMPLO 04
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
x4 + 2x3 + x2
Exponentes de x, por término: 4, 3 y 2.
El 2 delante de x³ es un coeficiente, no otro exponente.
EJEMPLO 05
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
f3g2 + f2g + fg2
Primer término: f → 3, g → 2. Segundo: f → 2, g → 1. Tercero: f → 1, g → 2.
Cada factor tiene su exponente. Las letras sin número elevado tienen exponente 1; no hay que confundir exponentes individuales con grado total.
EJEMPLO 06
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
x3 − y3
x → 3; y → 3.
La resta separa dos cubos. No representa el cubo de una diferencia.
EJEMPLO 07
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
m2 · n2
m → 2; n → 2.
Son bases distintas. No se suman sus exponentes como si fueran una sola base.
EJEMPLO 08
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
j3 − k2
j → 3; k → 2.
Se calcula el cubo de j y se resta el cuadrado de k.
EJEMPLO 09
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
a5 − b4 + c3
a → 5; b → 4; c → 3.
El exponente no cambia porque el término esté precedido por una resta.
EJEMPLO 10
Identifica la base y el exponente de cada factor literal.
f4 + g3 − h2
f → 4; g → 3; h → 2.
Las letras representan cantidades. Si se les asignan valores, estas potencias pueden evaluarse.
Cada exponente indica cuántos factores 10 aparecen. Separamos los millares con espacios para no confundirlos con decimales.
EJEMPLO 11
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
102 = 100
1 · 102 = 1 · (10 · 10)
Hay 2 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 2 ceros es 10 elevado a 2.
EJEMPLO 12
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
103 = 1 000
1 · 103 = 1 · (10 · 10 · 10)
Hay 3 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 3 ceros es 10 elevado a 3.
EJEMPLO 13
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
104 = 10 000
1 · 104 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10)
Hay 4 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 4 ceros es 10 elevado a 4.
EJEMPLO 14
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
105 = 100 000
1 · 105 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 5 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 5 ceros es 10 elevado a 5.
EJEMPLO 15
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
106 = 1 000 000
1 · 106 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 6 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 6 ceros es 10 elevado a 6.
EJEMPLO 16
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
107 = 10 000 000
1 · 107 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 7 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 7 ceros es 10 elevado a 7.
EJEMPLO 17
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
108 = 100 000 000
1 · 108 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 8 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 8 ceros es 10 elevado a 8.
EJEMPLO 18
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
109 = 1 000 000 000
1 · 109 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 9 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 9 ceros es 10 elevado a 9.
EJEMPLO 19
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
1010 = 10 000 000 000
1 · 1010 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 10 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 10 ceros es 10 elevado a 10.
EJEMPLO 20
Escribe la cantidad como potencia de 10 y como producto de factores.
1011 = 100 000 000 000
1 · 1011 = 1 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10)
Hay 11 factores iguales a 10. El número 1 seguido de 11 ceros es 10 elevado a 11.
EJEMPLO 21
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
22+54 = (2·2)+(5·5·5·5)
4+625 = 629
Calcula cada potencia antes de sumar: 2² vale 4 y 5⁴ vale 625.
EJEMPLO 22
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
32+24 = (3·3)+(2·2·2·2)
9+16 = 25
El exponente 4 indica cuatro factores iguales a 2, no multiplicar 2 por 4.
EJEMPLO 23
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
23+62 = (2·2·2)+(6·6)
8+36 = 44
Las bases y los exponentes son distintos; evalúa cada potencia por separado.
EJEMPLO 24
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
42+34 = (4·4)+(3·3·3·3)
16+81 = 97
No sumes las bases ni los exponentes: hay dos potencias separadas por una suma.
EJEMPLO 25
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
33+53 = (3·3·3)+(5·5·5)
27+125 = 152
Compartir exponente no permite sumar primero las bases.
EJEMPLO 26
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
25+42 = (2·2·2·2·2)+(4·4)
32+16 = 48
La potencia 2⁵ vale 32; después se añade 4².
EJEMPLO 27
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
62−24 = (6·6)−(2·2·2·2)
36−16 = 20
Conserva la resta al desarrollar los factores.
EJEMPLO 28
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
82−33 = (8·8)−(3·3·3)
64−27 = 37
La operación es una resta en todos los pasos: 64 menos 27 es 37.
EJEMPLO 29
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
92−34 = (9·9)−(3·3·3·3)
81−81 = 0
Dos potencias de bases distintas pueden valer lo mismo. La diferencia es cero.
EJEMPLO 30
Resuelve respetando la prioridad de las potencias.
25−32 = (2·2·2·2·2)−(3·3)
32−9 = 23
Primero se calculan 2⁵ y 3²; al final se resta.
EJEMPLO 31
Desarrolla 2 elevado a 3.
23 = 2 · 2 · 2 = 8
Hay tres factores, pero dos signos de multiplicación. Un exponente natural positivo cuenta factores iguales a la base, no sumandos.
EJEMPLO 32
Compara dos potencias de base 7.
71 = 7
70 = 1
Condición: La regla del exponente cero exige base distinta de cero.
El exponente 1 deja la base igual. Para una base no nula, el exponente 0 da 1: el cociente de una potencia entre sí vale 1.
EJEMPLO 33
Compara cero elevado a un entero positivo con otros exponentes.
04 = 0 · 0 · 0 · 0 = 0
00: no definido en este tratamiento elemental
0(−1): no definido, pues exigiría 1/0
Condición: Para base cero, aquí solo se admiten exponentes enteros positivos.
No extiendas la regla a⁰ = 1 a la base cero. Tampoco existe el inverso multiplicativo de cero.
EJEMPLO 34
Eleva la base −2 a dos exponentes distintos.
(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16
(−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8
Condición: Base negativa y exponente entero positivo.
Los factores negativos se agrupan por parejas. Con exponente par el resultado es positivo; con impar, negativo.
EJEMPLO 35
Compara una base negativa entre paréntesis con un signo menos exterior.
(−2)4 = 16
−24 = −(24) = −16
Sin paréntesis, la potencia se calcula antes de aplicar el signo menos. Copiar los paréntesis es esencial.
EJEMPLO 36
Calcula 2 elevado a −3.
2(−3) = 1/23 = 1/8
Condición: La base debe ser distinta de cero.
El exponente negativo indica el recíproco de la potencia positiva. No convierte automáticamente el resultado en un número negativo.
EJEMPLO 37
Calcula la potencia conservando la base completa.
(−2)(−3) = 1/((−2)3) = 1/(−8) = −1/8
Condición: La base debe ser distinta de cero.
Primero se toma el recíproco; el cubo de la base negativa conserva signo negativo. No confundas el signo de la base con el del exponente.
EJEMPLO 38
Eleva dos tercios al cubo.
(2/3)3 = (2/3) · (2/3) · (2/3)
(2/3)3 = 23/33 = 8/27
Condición: El denominador debe ser distinto de cero.
El exponente afecta al numerador y al denominador, porque la fracción completa está entre paréntesis.
En los siguientes productos y potencias anidadas los exponentes son enteros positivos. Los cocientes excluyen denominadores cero. Con exponentes enteros negativos también hay que excluir las bases cero; con fraccionarios, revisar además las raíces.
EJEMPLO 39
Simplifica el producto.
x3 · x4 = (x·x·x) · (x·x·x·x)
x3 · x4 = x(3+4) = x7
Condición: x real; en este ejemplo también se admite x = 0.
Al reunir tres factores x y cuatro factores x hay siete en total. Se suman los exponentes solo porque la base es la misma.
EJEMPLO 40
Simplifica el cociente.
x5/x2 = (x·x·x·x·x)/(x·x)
x5/x2 = x(5−2) = x3
Condición: x ≠ 0.
Se cancelan dos factores iguales no nulos y quedan tres. La restricción original se conserva aunque el resultado simplificado admita cero.
EJEMPLO 41
Simplifica cuando sobran factores en el denominador.
x2/x5 = x(2−5) = x(−3)
x2/x5 = 1/x3
Condición: x ≠ 0.
Después de cancelar dos factores, quedan tres factores x debajo. Esto explica el exponente negativo.
EJEMPLO 42
Eleva x³ al cuadrado.
(x3)2 = x3 · x3
(x3)2 = x(3·2) = x6
Condición: x real.
Cada uno de los dos factores aporta tres factores x. Aquí se multiplican los exponentes, no se suman.
EJEMPLO 43
Eleva el producto completo al cubo.
(2xy)3 = (2xy) · (2xy) · (2xy)
(2xy)3 = 23 · x3 · y3 = 8x3y3
Condición: x e y reales.
Se eleva cada factor, incluido el coeficiente 2. Dejar el 2 sin elevar produciría un resultado incorrecto.
EJEMPLO 44
Eleva todo el cociente al cuadrado.
(2x/(3y))2 = (2x)2/(3y)2
(2x/(3y))2 = 4x2/(9y2)
Condición: y ≠ 0.
Los paréntesis mantienen unidos numerador y denominador. Se elevan tanto los coeficientes como las letras.
EJEMPLO 45
Comprueba si elevar una suma equivale a sumar potencias.
(2 + 3)2 = 52 = 25
22 + 32 = 4 + 9 = 13
25 ≠ 13
Las propiedades del producto no valen para una suma. Al desarrollar (a + b)² aparece también el término 2ab.
EJEMPLO 46
Calcula una potencia fraccionaria de base positiva.
9(1/2) = √9 = 3
Comprobación: 32 = 9
Condición: Para a^(1/2) en los reales, a ≥ 0.
La raíz cuadrada principal es no negativa. √9 vale 3; en cambio, la ecuación x² = 9 tiene soluciones 3 y −3.
EJEMPLO 47
Calcula 27 elevado a dos tercios.
27(2/3) = (∛27)2 = 32 = 9
Condición: Base positiva en este ejemplo.
El denominador 3 señala la raíz cúbica; el numerador 2 señala el cuadrado. No se calcula 27² dividido entre 3.
EJEMPLO 48
Calcula la raíz cúbica real de −8.
(−8)(1/3) = ∛(−8) = −2
Comprobación: (−2)3 = −8
Condición: Interpretación real del exponente racional reducido; no extender sin revisar las condiciones las reglas de potencias anidadas.
Una raíz de índice impar admite radicandos negativos. Para interpretar a^(p/q) con a negativo, usa p/q reducido y q impar. Una raíz de índice par de un número negativo no es real.
Para un número distinto de cero, la forma es c · 10ⁿ, con n entero y 1 ≤ |c| < 10. Sirve para cantidades grandes y pequeñas; el coeficiente no tiene que ser 1.
EJEMPLO 49
Escribe tres millones y medio en notación científica.
3 500 000 = 3,5 · 106
3,5 · 1 000 000 = 3 500 000
El coeficiente 3,5 está entre 1 y 10. La notación científica no se limita a números que sean potencias exactas de diez.
EJEMPLO 50
Escribe 0,00042 en notación científica.
0,00042 = 4,2 · 10(−4)
4,2 · (1/10 000) = 0,00042
El exponente negativo expresa un factor menor que uno; el número sigue siendo positivo. En estas líneas la coma separa la parte decimal.