Ejemplos de propiedades de los números

7 + 3 = 10

− 2 + 3 = 1

7 y 3 son naturales y su suma también. −2 y 3 son enteros y su suma es entera. La clausura exige que toda pareja del conjunto dé un resultado dentro de ese conjunto, no solo que salga un número correcto.

4 − 10 = −6

−8 − 2 = −10

8 − 5 = 3

4 − 10 da −6, que no es natural; por eso los naturales no son cerrados para la resta. En los enteros sí permanece toda resta de enteros. Los tres resultados también son racionales y reales. Que 8 − 5 dé un natural no elimina el contraejemplo.

3 · 7 = 21

(−5) · 4 = −20

(−2)·(−8) = 16

5 · 6 = 30

(−2)·(6) = −12

Todos los factores son enteros y todos los productos también. En naturales, enteros, racionales y reales, la suma y la multiplicación permanecen dentro del conjunto correspondiente.

5/2 = 2,5

(1/3)/(2/5) = (1/3)·(5/2) = 5/6

Condición: Divisor distinto de cero.

5 y 2 son enteros, pero 2,5 no lo es: la división no conserva siempre los enteros. El cociente de dos racionales es racional si el divisor no es cero; lo mismo ocurre en los reales. Esto es una afirmación con restricción, no una operación definida para toda pareja.

√2 + √2 = 2·√2

√2 + (−√2) = 0

√2·√2 = 2

√2, −√2 y 2 por √2 son irracionales, pero 0 y 2 son racionales. Las dos últimas líneas muestran que los irracionales no son cerrados ni para la suma ni para el producto. Todos estos números sí pertenecen a los reales.

5 + 7 = 7 + 5 = 12

−4 + 6 = 6 − 4 = 2

−5 − 2 = − 2 − 5 = −7

3 − 9 = −9 + 3 = −6

1 + 2 = 2 + 1 = 3

En una resta escrita como suma, el signo negativo viaja con el sumando. Por ejemplo, 3 − 9 es 3 + (−9); reordenar da (−9) + 3. La identidad general para reales es a + b = b + a.

9 · 7 = 7 · 9 = 63

(−6) · 2 = 2 · (−6) = −12

(−3)·(−4) = (−4)·(−3) = 12

(10)·(−2) = (−2)·(10) = −20

5 · 8 = 8 · 5 = 40

El orden de los factores no altera el producto: a por b = b por a para números reales. Los paréntesis permiten reconocer los factores negativos.

8 − 3 = 5

3 − 8 = −5

8 − 3 ≠ 3 − 8

12/3 = 4

3/12 = 1/4

12/3 ≠ 3/12

Condición: Las dos divisiones tienen divisor no nulo.

Estos contraejemplos bastan para descartar la conmutatividad general de la resta y de la división. Una coincidencia particular, como 3 − 3 = 0, no prueba una propiedad universal.

7 + 3 + 2 = 12

7 + (3 + 2) = 12

(7 + 3) + 2 = 12

(7 + 2) + 3 = 12

Las líneas con 7 + (3 + 2) y (7 + 3) + 2 cambian solo la agrupación. La última, (7 + 2) + 3, también intercambia 3 y 2: usa conmutatividad además de asociatividad. La regla asociativa es (a + b) + c = a + (b + c).

2 · 4 · 6 · 3 = 144

(2 · 4)·(6 · 3) = 144

2 · (4 · 6 · 3) = 144

(2 · 4 · 6) · 3 = 144

Todas las líneas mantienen el orden 2, 4, 6, 3 y solo agrupan de forma diferente. Por ejemplo, 8 por 18 = 144. La asociatividad permite decidir qué productos parciales calcular primero.

(10 − 4) − 2 = 4

10 − (4 − 2) = 8

(10 − 4) − 2 ≠ 10 − (4 − 2)

(24/6)/2 = 2

24/(6/2) = 8

(24/6)/2 ≠ 24/(6/2)

Condición: Todos los divisores, incluidos los calculados dentro de paréntesis, son distintos de cero.

Los resultados cambian al reagrupar. Por eso no puedes quitar ni mover paréntesis en una resta o división como si fuera una suma o un producto.

7 + 0 = 7

2 + 0 = 2

4 + 0 = 4

3 + 0 = 3

8 + 0 = 8

(−3/4) + 0 = 0 + (−3/4) = −3/4

El cero deja intacto cualquier sumando: a + 0 = 0 + a = a. Se llama elemento neutro o identidad aditiva. Si se usa N+ = {1, 2, 3, …}, el cero no pertenece a ese conjunto y no hay identidad aditiva dentro de N+.

7 · 1 = 7

2 · 1 = 2

4 · 1 = 4

3 · 1 = 3

8 · 1 = 8

(−3/4)·1 = 1·(−3/4) = −3/4

El uno conserva el otro factor: a por 1 = 1 por a = a. Es el elemento neutro o identidad multiplicativa. La identidad depende de la operación: para sumar es 0; para multiplicar es 1.

9 + 0 = 9

9·0 = 0·9 = 0

(−4)·0 = 0

0·0 = 0

En la suma, el cero es neutro porque conserva cualquier número. En el producto, es absorbente porque fuerza el resultado a cero. El caso 0 por 0 no cambia esta diferencia: la definición se comprueba para todos los números.

7 + (− 7) = 0

4 + (− 4) = 0

2 + (− 2) = 0

15 + (− 15) = 0

10 + (− 10) = 0

(−6) + 6 = 0

0 + 0 = 0

El inverso aditivo de a es −a: se suma al número para obtener la identidad aditiva 0. El opuesto de −6 es 6; el opuesto de 0 es 0. No se obtiene multiplicando dos opuestos.

7 · (1/7) = 1

9 · (1/9) = 1

123 · (1/123) = 1

52 · (1/52) = 1

64 · (1/64) = 1

(−2/3)·(−3/2) = 1

Condición: El número del que se toma el recíproco no es cero.

Para a distinto de cero, su recíproco es 1/a. Se multiplica para obtener la identidad multiplicativa 1. En una fracción no nula se intercambian numerador y denominador conservando el signo.

2/3 + (−2/3) = 0

(2/3)·(3/2) = 1

Condición: La fracción 2/3 es distinta de cero.

El opuesto es −2/3 y sirve para la suma. El recíproco es 3/2 y sirve para la multiplicación. Cambiar el signo no equivale a invertir una fracción.

5 + (−5) = 0

0 + 0 = 0

−5 no pertenece a N = {0, 1, 2, …}; por tanto no todos los naturales tienen opuesto dentro de N. Hay una excepción: 0 es su propio opuesto. En enteros, racionales y reales sí existe el opuesto de cada elemento dentro del mismo conjunto. Esto no vale para cualquier subconjunto imaginable.

2·(1/2) = 1

1·1 = 1

(−1)·(−1) = 1

El recíproco de 2 sale de los enteros; los de 1 y −1 permanecen. Son los únicos enteros con recíproco entero, porque un producto de enteros de valor absoluto 1 exige que ambos tengan valor absoluto 1. En naturales, solo 1 tiene recíproco natural. En racionales y reales lo tiene todo elemento no nulo.

0·7 = 0

0·(−3) = 0

0·x = 0 para todo número real x

Ningún valor de x consigue que 0 por x sea 1; por eso cero no tiene inverso multiplicativo. La expresión 7/0 no tiene resultado real: exigiría 0 por x = 7. Tampoco se define 0/0: 0 por x = 0 admite cualquier x y no determina un cociente único.

6·(5 + 2) = 6·(5) + 6·(2) = 30 + 12 = 42

(9 + 2)·3 = 9·(3) + 2·(3) = 27 + 6 = 33

En 6 por (5 + 2), el 6 multiplica tanto al 5 como al 2. Con el factor a la derecha ocurre lo mismo. Para reales: a por (b + c) = a por b + a por c.

1·(2 + 4) = 1·(2) + 1·(4) = 6

(3 + 6)·8 = 3·(8) + 6·(8) = 72

3·(11 + 2) = 3·(11) + 3·(2) = 39

En cada desarrollo se conserva un producto por cada sumando. Puedes verificar los resultados calculando primero el paréntesis: 1 por 6, 9 por 8 y 3 por 13.

7·(20 − 3) = 7·20 − 7·3 = 140 − 21 = 119

7·17 = 119

La resta se puede interpretar como suma del opuesto. El signo menos se conserva entre los dos productos; no debes multiplicar solo el primer término.

(−3)·(4 − 6) = (−3)·4 − (−3)·6

−12 − (−18) = −12 + 18 = 6

(−3)·(−2) = 6

Cada producto conserva sus signos. Al restar el producto −18, sumas 18. La comprobación calcula primero 4 − 6 = −2.

8·13 + 8·7 = 8·(13 + 7) = 8·20 = 160

Los dos sumandos contienen el factor 8. Sacarlo como factor común es leer la distributividad de derecha a izquierda. No desaparece ningún término.

(12 + 6)/3 = 12/3 + 6/3 = 6

12/(2 + 4) = 2

12/2 + 12/4 = 9

12/(2 + 4) ≠ 12/2 + 12/4

Condición: El divisor común y cada denominador utilizado son distintos de cero.

Dividir todos los términos del numerador entre 3 equivale a multiplicarlos por 1/3. En cambio, una suma en el denominador no se separa de esa forma.

25·7·4 + 25·3·4 = (25·4)·7 + (25·4)·3

100·7 + 100·3 = 100·(7 + 3) = 1 000

Primero conmutamos y asociamos para juntar 25 y 4. Después usamos la distributividad inversa y calculamos 100 por 10. Cada transformación tiene una propiedad concreta que la justifica.

2 + 3 = 5

2 < 5

2 + 3 < 5 + 3

2·(−2) > 5·(−2)

−4 > −10

Condición: Las comparaciones se hacen con números reales.

Que 2 + 3 siga siendo natural ilustra clausura. La monotonía se refiere al orden: sumar la misma cantidad conserva una desigualdad, pero multiplicar por un número negativo invierte su sentido. Son cuestiones distintas.