ARITMÉTICA · REGLAS Y LÍMITES DE LAS OPERACIONES
Sumar 8 + 5 da otro natural; restar 4 − 9, en cambio, nos lleva fuera del conjunto. Estos 22 ejemplos muestran qué puedes cambiar al calcular, cuándo se conserva el resultado y qué condiciones no debes olvidar.
Usaremos N = N0 = {0, 1, 2, 3, …}. Cuando importe la diferencia, N+ = {1, 2, 3, …} designará los naturales positivos. La guía se centra en las propiedades; para practicar conteo y clasificación, consulta Números naturales.
| Propiedad | Ejemplo | Qué indica |
|---|---|---|
| Cierre | 8 + 5 = 13; 4 · 6 = 24 | Suma y producto permanecen en N0. |
| Conmutativa | 7 + 12 = 12 + 7; 3 · 5 = 5 · 3 | Cambia el orden. |
| Asociativa | (4 + 6) + 9 = 4 + (6 + 9) | Cambia la agrupación, no el orden. |
| Neutros | 18 + 0 = 18; 18 · 1 = 18 | 0 en suma; 1 en producto. |
| Distributiva | 3 · (2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4 | El factor multiplica ambos sumandos. |
| Absorbente | 18 · 0 = 0 | Multiplicar por cero da cero. |
EJEMPLO 01
Compara los naturales con cero y los naturales positivos.
N0 = {0, 1, 2, 3, …}; mínimo: 0
N+ = {1, 2, 3, …}; mínimo: 1
En N+: 1 ≤ 2 y 1 ≤ 56
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Usaremos N = N0 en toda la guía. Si tu curso empieza en 1, distingue N+: allí el cero no pertenece al conjunto. Las comparaciones con 2 y 56 siguen siendo ciertas, pero no prueban por sí solas todas las propiedades del orden.
EJEMPLO 02
Propón un natural grande y encuentra otro mayor.
56 + 1 = 57
1000000 + 1 = 1000001
Para todo n de N, n + 1 pertenece a N y n + 1 > n
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Cualquier candidato a último natural tiene un sucesor mayor. Por eso no hay máximo. El dibujo muestra solo los primeros valores; las flechas no representan un final del conjunto.
EJEMPLO 03
Busca el menor elemento de dos subconjuntos.
A = {2, 56}; mínimo: 2
B = {12, 13, 14, …}; mínimo: 12
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Buen orden no significa únicamente que N tenga un primer elemento: exige un mínimo en cada subconjunto no vacío. B es infinito y aun así tiene mínimo. El conjunto vacío no tiene mínimo. Estas son ilustraciones del principio, no una demostración por muestreo.
EJEMPLO 04
Junta 8 fichas con otras 5 y considera también una caja vacía.
8 + 5 = 13
0 + 5 = 5
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Al sumar dos enteros no negativos, el resultado sigue siendo un entero no negativo. «Cierre» o «clausura» significa que la operación no sale del conjunto.
EJEMPLO 05
Cuenta las fichas de cuatro bolsas con seis fichas cada una.
4 · 6 = 24
4 · 0 = 0
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
El producto de dos naturales pertenece a N0. La segunda operación representa cuatro bolsas vacías; si restringimos los factores a N+, ambos deben ser positivos y el producto también lo es.
EJEMPLO 06
Suma primero 7 y luego 12, y después invierte el orden.
7 + 12 = 19
12 + 7 = 19
7 + 12 = 12 + 7
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Se intercambian los sumandos sin alterar el total. No se añaden ni se eliminan cantidades.
EJEMPLO 07
Compara tres grupos de cinco con cinco grupos de tres.
3 · 5 = 15
5 · 3 = 15
3 · 5 = 5 · 3
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Cambia la forma de agrupar los objetos, pero no la cantidad total. Esta propiedad corresponde a la multiplicación, no a cualquier operación.
EJEMPLO 08
Suma 4, 6 y 9 de dos maneras, manteniendo su orden.
(4 + 6) + 9 = 10 + 9 = 19
4 + (6 + 9) = 4 + 15 = 19
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Los paréntesis indican qué suma se realiza primero. La asociatividad cambia la agrupación; la conmutatividad cambia el orden.
EJEMPLO 09
Multiplica 2, 5 y 7 agrupando dos factores cada vez.
(2 · 5) · 7 = 10 · 7 = 70
2 · (5 · 7) = 2 · 35 = 70
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
El resultado no depende de qué par de factores multipliques primero. Agrupar 2 y 5 puede facilitar el cálculo mental.
EJEMPLO 10
Añade cero a una cantidad y comprueba ambos órdenes.
18 + 0 = 18
0 + 18 = 18
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Un elemento neutro deja cualquier cantidad igual al operar con ella. El 0 es neutro de la suma en N0. Si usas N+, el 0 queda fuera y la suma no tiene elemento neutro dentro de ese conjunto.
EJEMPLO 11
Distingue multiplicar por uno y multiplicar por cero.
18 · 1 = 1 · 18 = 18
18 · 0 = 0 · 18 = 0
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Multiplicar por 1 conserva la cantidad. Multiplicar por 0 produce 0: por eso el cero se llama absorbente, no neutro de la multiplicación. El neutro multiplicativo 1 pertenece tanto a N0 como a N+.
EJEMPLO 12
Hay tres filas con dos fichas azules y cuatro naranjas en cada fila. Cuenta el total.
3 · (2 + 4) = 3 · 6 = 18
3 · 2 + 3 · 4 = 6 + 12 = 18
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Puedes contar las seis fichas de cada fila o separar los dos colores. El factor 3 multiplica a los dos sumandos; multiplicar solo al primero daría otro resultado.
EJEMPLO 13
Calcula 7 · 8 + 7 · 2 aprovechando el factor repetido.
7 · 8 + 7 · 2 = 56 + 14 = 70
7 · (8 + 2) = 7 · 10 = 70
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
El factor 7 aparece en los dos productos. Se conserva una sola vez fuera del paréntesis y dentro queda la suma de los otros factores.
EJEMPLO 14
Calcula cuatro veces la diferencia entre nueve y tres.
4 · (9 − 3) = 4 · 6 = 24
4 · 9 − 4 · 3 = 36 − 12 = 24
Condición: En a · (b − c), a, b y c son naturales y b ≥ c.
La identidad es válida; para realizar todos estos pasos dentro de N0 exigimos que el minuendo del paréntesis sea al menos el sustraendo. Con 3 − 9 aparecerían enteros negativos.
EJEMPLO 15
Compara tres restas con resultados de distinto tipo.
9 − 4 = 5
4 − 4 = 0
4 − 9 = −5
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
En N0, a − b es natural exactamente cuando a ≥ b. El resultado cero está permitido. En N+ se necesita a > b para que el resultado siga siendo positivo. La resta no es cerrada para todos los pares.
EJEMPLO 16
Divide cantidades naturales y observa el resultado.
12 ÷ 3 = 4
7 ÷ 2 = 7/2 = 3,5
0 ÷ 5 = 0
5 ÷ 0 no está definido
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Con divisor positivo, el cociente es natural cuando la división es exacta. Una fracción no entera queda fuera de N0. No confundas esta operación con obtener un cociente entero y un resto.
EJEMPLO 17
Cambia el orden y luego los paréntesis de unas restas.
9 − 4 = 5; 4 − 9 = −5
(9 − 4) − 2 = 5 − 2 = 3
9 − (4 − 2) = 9 − 2 = 7
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
Al invertir el orden aparece un resultado distinto y fuera de N0. En el segundo contraste todos los pasos son naturales y, aun así, los resultados 3 y 7 difieren. No se pueden mover libremente los paréntesis.
EJEMPLO 18
Compara el orden del dividendo y divisor, y dos agrupaciones.
12 ÷ 3 = 4; 3 ÷ 12 = 1/4
(24 ÷ 6) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2
24 ÷ (6 ÷ 2) = 24 ÷ 3 = 8
Condición: Todos los divisores son distintos de cero.
El primer contraste sale de N0 en uno de sus órdenes. Las dos agrupaciones posteriores sí dan naturales, pero no el mismo resultado. El orden y los paréntesis son esenciales.
EJEMPLO 19
Reparte 97 objetos en grupos de 8.
97 = 8 · 12 + 1
Cociente entero: 12; resto: 1
0 ≤ 1 < 8
97 = 8 · 11 + 9, pero 9 ≥ 8
Condición: Dividendo no negativo y divisor positivo.
Salen doce grupos completos y sobra un objeto. La última igualdad también es cierta, pero no es la división con resto normalizado: nueve objetos permiten formar otro grupo. La condición 0 ≤ r < 8 fija el cociente y el resto únicos.
EJEMPLO 20
Completa tres divisiones enteras que incluyen casos límite.
3 = 8 · 0 + 3
96 = 8 · 12 + 0
0 = 8 · 0 + 0
Condición: Divisor 8 > 0; en cada fila, 0 ≤ resto < 8.
Si el dividendo es menor que el divisor, el cociente entero es 0. Una división exacta tiene resto 0. Por eso cociente y resto se toman en N0 incluso cuando el dividendo y el divisor sean positivos.
EJEMPLO 21
¿Un conjunto que contiene 1 tiene que contener todos los naturales positivos?
A = {1}: contiene 1, pero no contiene 2
B = {0}: contiene 0, pero no contiene 1
Condición: En este artículo N = N0 = {0, 1, 2, …}.
No. Además del caso inicial, hace falta demostrar que, siempre que un número pertenece al conjunto, también pertenece su sucesor. El conjunto A falla al pasar de 1 a 2; B falla al pasar de 0 a 1. Una lista de primeros casos no reemplaza ese paso general.
EJEMPLO 22
Justifica la suma de los naturales desde 0 hasta n.
S(n) = 0 + 1 + … + n
Propuesta: S(n) = n · (n + 1)/2
Base: S(0) = 0 = 0 · 1/2
Hipótesis: S(k) = k · (k + 1)/2
S(k + 1) = S(k) + (k + 1)
S(k + 1) = k · (k + 1)/2 + (k + 1)
S(k + 1) = (k + 1) · (k + 2)/2
Condición: n y k pertenecen a N0; la hipótesis se usa solo para demostrar el paso siguiente.
La base es cierta. Suponiendo la fórmula para un k arbitrario, añadimos el siguiente sumando y obtenemos la fórmula para k + 1. La inducción permite concluir para todo n de N0. Aunque aparece una división por 2, uno de dos naturales consecutivos es par y el resultado es entero.
Estas reglas describen la estructura de los naturales; S(n) = n + 1 es el sucesor.
En una formulación que empieza en 1, ese número ocupa el lugar del elemento inicial. No se debe mezclar el inicio en 0 con la afirmación de que 1 carece de anterior: en N0, 1 es el sucesor de 0. El último axioma es el principio de inducción, ilustrado en los ejemplos 21 y 22.