ARITMÉTICA · BASES Y FORMAS DE ESCRIBIR NÚMEROS
Un sistema de numeración utiliza símbolos y reglas para escribir números. Decimal, binario, octal, hexadecimal y romano son ejemplos de sistemas distintos.
Estos 25 ejemplos comparan el valor de las posiciones, desarrollan conversiones y muestran cómo funcionan varias numeraciones históricas. También distinguen la escritura de un número del conjunto al que pertenece.
Cómo leer las bases: 1012 significa «101 en base dos». El subíndice indica la base; los exponentes, como 23, indican potencias. En una base entera b ≥ 2, las posiciones de un entero valen 1, b, b²… de derecha a izquierda. Los cálculos sin subíndice se expresan en decimal.
EJEMPLO 01
Compara el valor que aporta la cifra 1 en el sistema decimal.
1 = 1·100
10 = 1·101 + 0
100 = 1·102 + 0 + 0
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
La cifra sigue siendo 1; su aporte es una unidad, una decena o una centena. Lo que cambia es el valor de la posición.
EJEMPLO 02
Descompón 507 según sus posiciones.
507 = 5·102 + 0·101 + 7·100
507 = 500 + 0 + 7
57 = 5·101 + 7 = 50 + 7
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
El cero guarda el lugar de las decenas. Quitar ese cero desplaza el 5 y cambia el número.
| Cifra | Posición | Aporte |
|---|---|---|
| 5 | Centenas | 500 |
| 0 | Decenas | 0 |
| 7 | Unidades | 7 |
EJEMPLO 03
Lee 10 en cuatro sistemas posicionales.
102 = 210
105 = 510
108 = 810
1016 = 1610
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
En base b, 10 representa una unidad de la segunda posición: 1 por b y 0 unidades. El subíndice indica la base, no una potencia.
EJEMPLO 04
Compara estas dos escrituras binarias y comprueba sus valores.
102 = 1·21 + 0·20 = 210
012 = 0·21 + 1·20 = 110
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Los únicos dígitos binarios son 0 y 1. El cero a la izquierda de 01 no cambia el valor; el cero a la derecha de 10 sí cambia la posición del 1.
EJEMPLO 05
Convierte 11010 en base 2.
110102 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 1·21 + 0·20
110102 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 2610
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Asigna las potencias desde la derecha, empezando en 20 = 1. Cada 1 activa su valor de posición; cada 0 aporta cero.
EJEMPLO 06
Convierte 26 dividiendo sucesivamente entre 2.
26 = 2·13 + 0
13 = 2·6 + 1
6 = 2·3 + 0
3 = 2·1 + 1
1 = 2·0 + 1
2610 = 110102
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Continúa hasta obtener cociente 0. Lee los restos de abajo hacia arriba: 1, 1, 0, 1, 0. La descomposición del ejemplo anterior permite comprobar el resultado.
EJEMPLO 07
Distingue la cantidad representada del ancho de su escritura.
010 = 02
001012 = 1012 = 510
10102 = 1010
Condición: Interpretación numérica sin signo; no se trata de códigos ni formatos de longitud fija.
Los ceros iniciales no cambian un entero sin signo. Para convertir el cero se escribe 0 directamente. Añadir un cero a la derecha multiplica por la base.
EJEMPLO 08
Lee 157 en base 8.
1578 = 1·82 + 5·81 + 7·80
1578 = 64 + 40 + 7 = 11110
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
En octal se usan los dígitos del 0 al 7. El 5 de esta escritura representa cinco grupos de ocho, no cinco decenas.
EJEMPLO 09
Convierte 83 en base 8.
83 = 8·10 + 3
10 = 8·1 + 2
1 = 8·0 + 1
8310 = 1238
1·64 + 2·8 + 3 = 83
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Lee los restos en sentido inverso al de las divisiones: 1, 2, 3. La última línea comprueba la vuelta a decimal.
EJEMPLO 10
Convierte 2F en base 16, donde F vale quince.
2F16 = 2·16 + 15 = 4710
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Los valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se escriben A, B, C, D, E y F. Así cada posición usa un solo dígito; F no significa dieciséis.
| Dígito | Valor decimal |
|---|---|
| A | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | 15 |
EJEMPLO 11
Convierte 254 en base 16.
254 = 16·15 + 14
15 = 16·0 + 15
25410 = FE16
15·16 + 14 = 254
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Los restos, leídos al revés, son 15 y 14. Sustituye esos valores por F y E, respectivamente; no escribas 1514 como si fueran dos dígitos.
EJEMPLO 12
Agrupa 11101011 desde la derecha.
1110 1011 → E B
111010112 = EB16
14·16 + 11 = 235
128 + 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 235
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Cada grupo de cuatro bits representa un dígito hexadecimal porque 24 = 16. Aquí 1110 vale 14 y 1011 vale 11. Los espacios solo separan grupos.
EJEMPLO 13
Agrupa 1101011 desde la derecha y completa a la izquierda.
001 101 011 → 1 5 3
11010112 = 1538
1·64 + 5·8 + 3 = 107
64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
Como 23 = 8, cada terna corresponde a un dígito octal. Los dos ceros añadidos a la izquierda no cambian el valor del entero.
EJEMPLO 14
Convierte 304 en base 5.
3045 = 3·52 + 0·51 + 4·50
3045 = 75 + 0 + 4 = 7910
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
La regla posicional no depende de usar las bases más conocidas. En base 5 son válidos 0, 1, 2, 3 y 4; la cantidad cinco ya exige escribir 105.
EJEMPLO 15
Comprueba los dígitos antes de intentar una conversión.
1022: inválido; contiene 2
788: inválido; contiene 8
3G16: inválido; G no es un dígito hexadecimal
3045: válido; todos sus dígitos son menores que 5
Condición: Las bases se indican en subíndice; los cálculos sin subíndice están en decimal.
En la notación posicional usual, cada dígito tiene un valor entre 0 y b − 1. Una escritura inválida no se arregla evaluándola como un polinomio.
EJEMPLO 16
Convierte 10,101 en base 2; la coma separa la parte fraccionaria.
10,1012 = 2 + 1/2 + 0/4 + 1/8
10,1012 = 21/8 = 2,62510
Condición: La coma es separador fraccionario en ambas bases; el resultado es exacto.
A la derecha de la coma, las posiciones valen 1/2, 1/4, 1/8… El primer 1 tras la coma representa una mitad, no una décima.
EJEMPLO 17
Convierte 0,625 multiplicando la parte fraccionaria por 2.
0,625·2 = 1,25 → dígito 1
0,25·2 = 0,5 → dígito 0
0,5·2 = 1 → dígito 1
0,62510 = 0,1012 = 5/8
Condición: Fracción exacta 5/8; no todas las fracciones decimales tienen expansión binaria finita.
En cada paso guarda la parte entera y continúa solo con la fracción restante. Aquí los dígitos se leen en el orden de obtención, 1, 0, 1; se termina cuando la fracción es cero.
EJEMPLO 18
Escribe menos cinco en binario con el signo delante.
−510 = −1012
1012 = 1·4 + 0·2 + 1 = 510
Condición: Signo menos explícito; no es una codificación en complemento a dos.
Convierte el valor absoluto y conserva el signo menos. Esta escritura matemática no especifica cómo guarda un ordenador los negativos.
EJEMPLO 19
Suma 1011 y 110 en binario.
10112 + 1102 = 100012
1110 + 610 = 1710
100012 = 16 + 1 = 1710
Condición: Los resultados de las columnas del procedimiento se escriben en binario; la comprobación decimal lleva subíndice 10.
Alinea 0110 bajo 1011. De derecha a izquierda: 1+0 da 1; 1+1 da 10, escribes 0 y llevas 1; 0+1+1 vuelve a dar 10; 1+0+1 da 10 y deja un 1 nuevo a la izquierda.
EJEMPLO 20
Compara dos escrituras con los mismos símbolos.
I = 1; II = 2; X = 10
IX = 10 − 1 = 9
XI = 10 + 1 = 11
Condición: Convención romana escolar con reglas de suma y resta.
X conserva su valor básico de diez. Aun sin posiciones de unidades y decenas, el orden importa: I delante de X resta; detrás suma. II es la repetición de I, no un símbolo básico distinto.
EJEMPLO 21
Lee XLIX separando los pares.
XLIX = XL + IX
XL = 50 − 10 = 40
IX = 10 − 1 = 9
XLIX = 40 + 9 = 49
Condición: Convención romana escolar; no se estudian variantes epigráficas.
Se suma el valor de los dos pares, XL e IX. No se resta cualquier letra de cualquier otra: las parejas sustractivas usuales son IV, IX, XL, XC, CD y CM.
EJEMPLO 22
Representa veintitrés en el esquema aditivo de la numeración jeroglífica egipcia.
Dos signos de diez y tres signos de uno
10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23
Condición: Numeración jeroglífica aditiva; no confundirla con la escritura hierática.
Cada signo conserva su valor. El esquema describe los signos por su cantidad para que pueda leerse y copiarse; no reproduce una inscripción. Usar agrupaciones de diez no convierte por sí solo un sistema en posicional.
EJEMPLO 23
Lee dos puntos en el nivel de veintenas y dos puntos en el de unidades.
Nivel superior: 2·20 = 40
Nivel inferior: 2·1 = 2
Total: 40 + 2 = 42
Condición: Ejemplo de dos niveles (20 y 1); no se extrapola a las posiciones de la Cuenta Larga calendárica.
Un punto vale una unidad dentro de cada nivel; una barra vale cinco y hay un signo para cero. El nivel multiplica ese valor. Por eso la numeración maya es posicional, aunque dentro del nivel se sumen puntos y barras.
EJEMPLO 24
Interpreta dos banderas de veinte y tres puntos de uno.
2·20 + 3·1 = 43
Condición: Esquema descriptivo de los valores de los signos; no transcripción de un códice.
En este ejemplo aditivo mexica, también llamado azteca, se suman los valores de los signos. Compartir agrupaciones de veinte con los mayas no significa usar el mismo mecanismo de posición.
EJEMPLO 25
Representa la cantidad cinco en tres sistemas.
510 = 1012
En números romanos: V
Las tres escrituras representan el mismo número natural
Condición: Se compara el valor representado; no se identifican alfabetos de símbolos con conjuntos numéricos.
Un sistema de numeración indica cómo escribir una cantidad. Un conjunto numérico clasifica números por sus propiedades. Escribir cinco en binario no lo convierte en otra clase de número.