ARITMÉTICA · TÉRMINOS, REGLAS Y PATRONES
Una sucesión es una lista ordenada de términos, que pueden repetirse. El índice indica la posición: a1 es el primer término y an es el término de índice n cuando empezamos en 1.
Estos 26 ejemplos incluyen sucesiones finitas, aritméticas, geométricas, Fibonacci, primos y otros patrones. Cada caso declara su regla y el punto de inicio para que puedas calcular y comprobar los términos.
Una lista inicial no determina por sí sola una única regla. Para continuarla sin ambigüedad necesitas una definición o una hipótesis explícita. Una sucesión puede darse enumerando todos sus términos si es finita, con una fórmula o mediante una recurrencia con los datos iniciales necesarios.
EJEMPLO 01
Lee los primeros términos de an = 3·n.
Términos: 3, 6, 9, 12, 15, …
a1 = 3·1 = 3
a4 = 3·4 = 12
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El subíndice 4 indica la cuarta posición; el valor que ocupa esa posición es 12. No confundas a4 con 4 ni con a elevado a 4.
| Índice n | Valor de an |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
EJEMPLO 02
Toma los enteros en el orden 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … y eleva cada uno al cuadrado.
Términos: 0, 1, 1, 4, 4, 9, 9, …
a4 = 22 = 4
a5 = (−2)2 = 4
−22 = −4
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
Los términos cuarto y quinto valen 4, pero son posiciones distintas. Los paréntesis importan: (−2)2 es el cuadrado de −2; −22 es el opuesto del cuadrado de 2. Un valor repetido no determina una posición única.
EJEMPLO 03
Enumera los naturales positivos menores que 100.
Términos: 1, 2, 3, …, 98, 99
an = n
a1 = 1; a99 = 99
Condición: 1 ≤ n ≤ 99, con n entero.
La lista termina en 99 porque se han elegido los naturales positivos menores que 100. No representa a todos los reales menores que 100: también hay números como 1/2 o −7 que no aparecen aquí. No existe un término a100 dentro de esta sucesión finita.
EJEMPLO 04
Genera los pares positivos multiplicando cada índice por 2.
Términos: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …
an = 2·n
a6 = 2·6 = 12
a20 = 2·20 = 40
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
La diferencia entre términos consecutivos es 2. Esta regla permite calcular directamente el término veinte sin escribir los diecinueve anteriores.
EJEMPLO 05
Resta 1 al doble de cada índice.
Términos: 1, 3, 5, 7, 9, 11, …
an = 2·n − 1
a6 = 2·6 − 1 = 11
a12 = 2·12 − 1 = 23
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El primer índice es 1, así que el primer impar es 1. La misma fórmula empezando en n = 0 daría −1 y describiría otra lista inicial.
EJEMPLO 06
Empieza en 3 y suma 4 en cada paso.
Términos: 3, 7, 11, 15, 19, …
an = 3 + 4·(n − 1)
a10 = 3 + 4·9 = 39
a1 = 3; an = an−1 + 4 para n ≥ 2
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
Hay n − 1 saltos desde el primer término hasta el término n. La fórmula explícita usa el índice; la recurrencia usa el término anterior. Ambas describen esta misma sucesión.
| Posición | Cálculo |
|---|---|
| 1 | 3 + 4 por 0 = 3 |
| 2 | 3 + 4 por 1 = 7 |
| 5 | 3 + 4 por 4 = 19 |
| 10 | 3 + 4 por 9 = 39 |
EJEMPLO 07
Empieza en 12 y resta 3 en cada paso.
Términos: 12, 9, 6, 3, 0, −3, …
an = 12 − 3·(n − 1)
a6 = 12 − 3·5 = −3
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
La diferencia constante es −3. Una sucesión puede incluir cero y negativos; sus términos no tienen que ser positivos ni ir aumentando.
EJEMPLO 08
Repite siempre el número 5.
Términos: 5, 5, 5, 5, 5, …
an = 5
5 − 5 = 0; 5/5 = 1
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
La diferencia es 0, por lo que es aritmética. También es geométrica con razón 1, ya que el valor repetido no es cero. Las categorías no tienen por qué ser excluyentes.
EJEMPLO 09
Empieza en 1/2 y añade 1/4 en cada paso.
Términos: 1/2, 3/4, 1, 5/4, 3/2, …
an = 1/2 + (n − 1)/4
a5 = 1/2 + 4/4 = 3/2
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
Una diferencia constante puede ser fraccionaria. Al sumar 1/4 conviene expresar 1/2 como 2/4 para generar el segundo término.
EJEMPLO 10
Empieza en 3 y duplica cada término.
Términos: 3, 6, 12, 24, 48, …
an = 3·2n−1
a5 = 3·24 = 48
a1 = 3; an = 2·an−1 para n ≥ 2
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
La razón es 2: se multiplica por el mismo número en cada paso. En una geométrica, an = a1·rn−1; aquí el exponente del primer término es 0.
EJEMPLO 11
Empieza en 80 y toma la mitad en cada paso.
Términos: 80, 40, 20, 10, 5, 5/2, …
an = 80·(1/2)n−1
a8 = 80·(1/2)7 = 5/8
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
Los términos son positivos y cada vez menores. Ninguno de los términos definidos por esta regla es cero: dividir por 2 repetidamente no lo alcanza en un número finito de pasos.
EJEMPLO 12
Empieza en 2 y multiplica por −3.
Términos: 2, −6, 18, −54, 162, …
an = 2·(−3)n−1
a4 = 2·(−3)3 = −54
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El signo alterna porque la razón es negativa. El valor absoluto se triplica en cada paso, pero la sucesión no es creciente ni decreciente de forma sostenida.
EJEMPLO 13
Eleva cada índice positivo al cuadrado.
Términos: 1, 4, 9, 16, 25, 36, …
an = n2
a6 = 62 = 36
Diferencias: 3, 5, 7, 9, 11
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
Tiene una fórmula explícita, pero no es aritmética: la diferencia no es constante. Tampoco es geométrica: los cocientes 4/1 y 9/4 ya son diferentes.
EJEMPLO 14
Suma los primeros n naturales positivos.
Términos: 1, 3, 6, 10, 15, …
an = n·(n + 1)/2
a5 = 5·6/2 = 15
a1 = 1; an = an−1 + n para n ≥ 2
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
Cada paso añade el índice nuevo: para pasar de a4 = 10 a a5, sumas 5. La fórmula explícita y la suma acumulada dan el mismo resultado.
EJEMPLO 15
Empieza con 1 y 1; después suma los dos términos anteriores.
Términos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
a1 = 1; a2 = 1
an = an−1 + an−2 para n ≥ 3
a8 = a7 + a6 = 13 + 8 = 21
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
La recurrencia necesita dos valores iniciales. Aquí usamos la convención que comienza con 1 y 1; también existe la indexación F0 = 0, F1 = 1. Declarar la convención evita desplazar las posiciones.
EJEMPLO 16
Enumera los enteros mayores que 1 que tienen exactamente dos divisores positivos.
Términos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
a1 = 2; a10 = 29
27 = 3·9
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El 1 no es primo, porque solo tiene un divisor positivo. El 2 sí es primo y debe iniciar la lista. El 27 es compuesto; después de 23, el siguiente primo es 29. La regla «tomar el n-ésimo primo» define la sucesión aunque aquí no usemos una fórmula algebraica sencilla.
EJEMPLO 17
Ordena los nombres españoles de estos diez números.
Términos: 0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1
Nombres: cero, cinco, cuatro, dos, nueve, ocho, seis, siete, tres, uno
a1 = 0; a10 = 1
Condición: 1 ≤ n ≤ 10, nombres en español.
Es una sucesión finita de diez términos ordenados por sus nombres, no por su tamaño. La lista no lleva puntos suspensivos porque se limita expresamente a los números del 0 al 9.
EJEMPLO 18
Toma el inverso multiplicativo de cada índice positivo.
Términos: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …
an = 1/n
a20 = 1/20
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
No es aritmética ni geométrica: las diferencias y las razones cambian. Es decreciente y positiva. El inicio en n = 1 también evita la división entre cero.
EJEMPLO 19
Alterna 1 y −1, empezando en 1.
Términos: 1, −1, 1, −1, 1, −1, …
an = (−1)n−1
a7 = 1; a8 = −1
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El patrón se repite cada dos posiciones. Es periódica de período 2 y también geométrica de razón −1. No es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente.
EJEMPLO 20
Alterna los naturales positivos con sus múltiplos de diez.
Términos: 1, 10, 2, 20, 3, 30, 4, 40, …
a2k−1 = k
a2k = 10·k
a7 = 4; a8 = 40
Condición: k es entero positivo; los índices de la sucesión empiezan en 1.
Las posiciones impares contienen 1, 2, 3, 4, …; las pares contienen 10, 20, 30, 40, …. No hay una única diferencia constante entre todos los términos consecutivos.
EJEMPLO 21
Compara dos maneras de indexar la misma lista de potencias.
Términos: 1, 2, 4, 8, 16, …
an = 2n para n ≥ 0
a0 = 1; a3 = 8
bn = 2n−1 para n ≥ 1
b1 = 1; b4 = 8
Condición: a empieza en n = 0 y b en n = 1.
La misma lista de valores usa etiquetas distintas. En la primera, el cuarto valor es a3; en la segunda, es b4. Comprueba siempre el índice inicial antes de sustituir.
EJEMPLO 22
Construye dos reglas que empiezan con 2, 4 y 6.
an = 2·n
bn = 2·n + (n − 1)·(n − 2)·(n − 3)
a: 2, 4, 6, 8, 10, …
b: 2, 4, 6, 14, 34, …
a4 = 8; b4 = 8 + 3·2·1 = 14
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El producto añadido vale cero para n = 1, 2 y 3; después puede ser distinto de cero. Las dos reglas encajan con los tres datos, pero dan continuaciones diferentes. Elegir «sumar 2» requiere declararlo como regla o como hipótesis, no deducir que sea la única posibilidad.
| n | an | bn |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 4 |
| 3 | 6 | 6 |
| 4 | 8 | 14 |
| 5 | 10 | 34 |
EJEMPLO 23
En an = 5 + 3·(n − 1), encuentra dónde aparece 50.
5 + 3·(n − 1) = 50
n = 1 + (50 − 5)/3 = 16
a16 = 5 + 3·15 = 50
1 + (51 − 5)/3 = 49/3
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
El 50 ocupa la posición 16. El 51 no aparece: su supuesto índice sería 49/3, que no es entero. Para este patrón creciente, cada valor que aparece tiene una sola posición; eso no vale para todas las sucesiones.
EJEMPLO 24
Compara dos sucesiones que suman 2 al término anterior.
Regla: an = an−1 + 2 para n ≥ 2
Con a1 = 1: 1, 3, 5, 7, …
Con a1 = 10: 10, 12, 14, 16, …
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
La misma relación entre términos produce listas distintas si cambia el valor inicial. Para especificar estas sucesiones necesitas la recurrencia y el primer término.
EJEMPLO 25
Distingue la lista de pares de la suma de sus tres primeros términos.
Sucesión: 2, 4, 6, 8, …
a3 = 6
S3 = 2 + 4 + 6 = 12
Condición: El índice n es entero y empieza en 1.
a3 es un solo término y vale 6. S3 es una suma parcial y vale 12. Una serie se construye sumando términos de una sucesión; aquí solo se calcula una suma finita, sin estudiar convergencia.
EJEMPLO 26
Un salón tiene diez filas: la primera tiene 12 asientos y cada fila siguiente añade 4.
Términos: 12, 16, 20, 24, 28, …, 48
an = 12 + 4·(n − 1)
a10 = 12 + 4·9 = 48
Condición: 1 ≤ n ≤ 10; cada fila añade exactamente 4 asientos.
El término an cuenta los asientos de la fila n, no los asientos acumulados. La décima fila tiene 48 asientos. Aunque la fórmula admita otros índices, el problema solo describe diez filas.
OpenStax, College Algebra 2e: sucesiones y notación, sucesiones aritméticas, sucesiones geométricas.