Ejemplos de elementos de un conjunto

A = {2, 4, 6}

4 ∈ A; 5 ∉ A

|A| = 3

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

∈ se lee pertenece a; ∉, no pertenece a. Las barras cuentan elementos distintos. No hace falta que un elemento sea indivisible para pertenecer a un conjunto.

C = {motor, volante, rueda}

motor ∈ C; florero ∉ C

|C| = 3

Condición: Se enumeran tipos de componentes, no cantidades de piezas.

Aunque un motor tenga piezas internas, aquí se cuenta como un elemento. No estamos contando las cuatro ruedas ni todas las piezas del automóvil.

D = {1, 2, 3, 6}

3 ∈ D porque 6 = 3 × 2

4 ∉ D porque 6 = 4 × 1 + 2

Condición: Solo se consideran los enteros positivos de U.

La regla decide la pertenencia. No basta decir números parecidos o importantes; hay que precisar qué se exige.

1 ∈ N

−1 ∉ N

Condición: N = {0, 1, 2, 3, …}.

El ejemplo del uno sigue siendo correcto si un libro define los naturales desde 1. Aquí declaramos la convención que incluye el cero.

1/2 ∈ Q

−3 ∈ Q porque −3 = −3/1

Condición: El denominador de a/b no puede ser cero.

El elemento es el número 1/2 completo, no el 1 y el 2 por separado. En 1/0 no hay un número que clasificar: la división entre cero no está definida.

sol ∈ P; s ∉ P

L = {s, o, l}; s ∈ L

|P| = 2; |L| = 3

Condición: Palabras y letras se tratan como etiquetas de texto.

Primero decide qué se enumera: palabras enteras o letras. Que s forme parte de la palabra sol no la convierte en un elemento de P.

L = {c, o, c, o} = {c, o}

|L| = 2

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

La palabra tiene cuatro posiciones, pero solo dos letras diferentes. Un conjunto no registra cuántas veces aparece cada una.

1/2 = 2/4 = 0,5

R = {1/2; 2/4; 0,5; 1} = {1/2; 1}

|R| = 2

Condición: Los elementos son números, no cadenas de caracteres.

Se usa punto y coma para separar miembros y evitar confundirlo con la coma decimal. Las tres primeras escrituras representan un solo valor.

7 ∈ K; |K| = 1

K = {7}; K ≠ 7

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Las llaves construyen un conjunto. El número 7 es el miembro; {7} es el conjunto que lo contiene.

E = ∅; |E| = 0

0 ∉ E; ∅ ∉ E

Condición: x debe ser entero.

El símbolo ∅ nombra un conjunto sin elementos. No representa un elemento invisible ni el número cero.

∅ ∈ F; |F| = 1

0 ∉ F; F ≠ ∅

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

F tiene un miembro: el conjunto vacío. Las llaves exteriores importan; no se eliminan porque su contenido sea ∅.

0 ∈ G; ∅ ∉ G; |G| = 1

G ≠ F aunque |G| = |F| = 1

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Tener la misma cantidad de elementos no implica tener los mismos elementos. También G es distinto del vacío.

2 ∈ A

{2} ⊆ A

{2} ∉ A

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

⊆ compara conjuntos: cada elemento de {2} está en A. ∈ pregunta si {2} es uno de los miembros enumerados en A; aquí solo hay números.

2 ∈ A, pero 5 ∉ A

B ⊈ A

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

El número 5 basta para refutar B ⊆ A. Que haya un miembro común no prueba que todo B esté incluido.

A ⊆ A

A ∉ A

∅ ⊆ A, pero ∅ ∉ A

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Todos los elementos de A están en A, por eso hay inclusión. Entre 2, 4 y 6 no aparece ni el conjunto A ni ∅. El vacío es subconjunto porque no tiene ningún miembro que incumpla la condición.

1 ∈ B; {2, 3} ∈ B

2 ∉ B; 3 ∉ B

|B| = 2

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

El segundo miembro es todo el conjunto {2, 3}. No se abren sus llaves para sumarlo al recuento exterior.

2 ∈ C; C ∈ B

2 ∉ B

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Este contraejemplo muestra que x ∈ C y C ∈ B no garantizan x ∈ B. Es distinto de encadenar inclusiones entre conjuntos.

{1} ∈ H

{1} ⊆ H porque 1 ∈ H

|H| = 2

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Las dos relaciones pueden ser verdaderas. Se comprueban por separado: {1} está en la lista y su único miembro, 1, también.

|S| = 2; |T| = 1

S ∈ T; 1 ∉ T

S ⊈ T

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

T contiene S como una unidad. S no está incluido en T porque ni 1 ni 2 son miembros directos de T.

{a, b} = {b, a}

M = {{a, b}, {a}}

|M| = 2

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

El orden no cambia el conjunto interior; los dos primeros miembros escritos son el mismo conjunto y se cuentan una vez.

∅ ∈ V; {∅} ∈ V

|V| = 2

{∅} ⊆ V

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

∅ y {∅} son distintos: uno no tiene miembros y el otro tiene uno. La inclusión de {∅} en V se cumple porque su único miembro, ∅, está en V.

A = {2, 4, 6}

4 ∈ A; 5 ∉ A; −2 ∉ A

Condición: A = {x ∈ U : x es par}.

−2 es par, pero no está en U. La regla completa exige tanto pertenecer a U como ser par.

P = {Pedro, Ana, Luis}

Pedro ∈ P; Andrés ∉ P

|P| = 3

Condición: La lista de inscripción está fijada para esta actividad.

La pertenencia se decide por la inscripción, no por si alguien nos parece valioso o buen elemento. Aquí no se afirma nada sobre sus méritos.

P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

{a} ∈ P(A) porque {a} ⊆ A

a ∉ P(A); |P(A)| = 4

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Cada elemento de P(A) es un conjunto. La etiqueta a no es el conjunto {a}. Este ejemplo conecta la pertenencia con la inclusión sin confundirlas.

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Cuenta únicamente los miembros del nivel exterior. Para ⊆, comprueba cada miembro del conjunto de la izquierda.

Condición: Los símbolos se interpretan dentro de este ejemplo.

Para convertir una escena cotidiana en un ejercicio de conjuntos, define primero qué colección se considera y qué objetos son sus miembros.