Reducción al absurdo: ejemplos y demostraciones

1. Conservamos la igualdad y suponemos que a no es par; entonces a es impar.

2. a, a² y a³ son impares. La suma de tres impares es impar.

3. b + b² = b(b + 1) es par, porque uno de dos enteros consecutivos es par.

4. La igualdad exigiría que un mismo entero fuera impar y par: contradicción.

5. Se descarta que a sea impar. Por tanto, a es par.

Condición: a y b enteros; la igualdad es una hipótesis.

No negamos la igualdad dada. Negamos únicamente la conclusión, manteniendo las hipótesis. La paridad de las potencias también puede comprobarse con restos: si a deja resto 1 módulo 2, a² y a³ dejan resto 1.

1. Supongamos que los únicos primos son p₁, p₂, …, pₙ.

2. Formamos N = p₁p₂…pₙ + 1. Como la lista contiene al menos el primo 2, N > 1.

3. Para cada pᵢ, el producto es divisible por pᵢ y N deja resto 1; por tanto, pᵢ no divide N.

4. N tiene algún divisor primo q. Ese q no puede ser ninguno de los pᵢ.

5. La lista pretendía contener todos los primos, pero falta q: contradicción. Hay infinitos primos.

Condición: Primos positivos mayores que 1; lista supuesta completa.

Todo entero N > 1 tiene un divisor primo: toma su menor divisor d > 1; si d fuera compuesto, tendría un divisor entre 1 y d que también dividiría N, contradiciendo la minimalidad. No afirmamos que N sea siempre primo ni que un primo no sea divisible por sí mismo.

1. Suponemos √2 = a / b con a y b enteros positivos y la fracción reducida: mcd(a,b) = 1.

2. Al elevar al cuadrado: a² = 2b². Por tanto, a² es par y a es par.

3. Escribimos a = 2k. Entonces 4k² = 2b² y b² = 2k².

4. b² es par, por lo que b también es par.

5. a y b tienen el factor común 2, contradiciendo mcd(a,b) = 1. Así, √2 es irracional.

Condición: b ≠ 0; se elige representación reducida, con a y b positivos.

La fracción reducida es esencial: tener numerador y denominador pares no sería contradictorio sin esa condición. Que un cuadrado par procede de un entero par se justifica en el ejemplo 6; no depende de esta demostración.

1. Supongamos que M es un entero mayor o igual que todos los enteros.

2. M + 1 también es entero.

3. M + 1 > M, en contradicción con la propiedad de máximo.

4. Por tanto, no existe un entero máximo.

Condición: M pertenece al conjunto de los enteros.

La contradicción no es que M + 1 sea enorme. Es que pertenece al mismo conjunto y supera al supuesto máximo. No hace falta recorrer todos los enteros.

1. Supongamos que r es el menor racional positivo.

2. r / 2 es racional y positivo.

3. Como r > 0, se cumple 0 < r / 2 < r.

4. Hemos hallado otro elemento del conjunto menor que el mínimo: contradicción.

Condición: r racional y estrictamente mayor que 0.

La palabra positivo excluye el cero. Si habláramos de racionales no negativos, el cero sí sería su mínimo. El dominio determina si el argumento funciona.

1. Mantenemos que n² es par y suponemos que n es impar.

2. Entonces n = 2k + 1 para algún entero k.

3. n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.

4. El resultado es impar, pero n² era par: contradicción.

5. Se descarta n impar y se concluye n par.

Condición: n y k enteros; n² par.

La expresión desarrollada vale para cualquier entero k, también negativo. No basta comprobar cuadrados de unos cuantos números.

1. Supongamos que s = α + r es racional.

2. Despejamos α = s − r.

3. La diferencia de dos racionales es racional: si s = a/b y r = c/d, s − r = (ad − bc)/(bd).

4. Esto haría racional a α, contradiciendo el dato de partida.

5. Por tanto, α + r es irracional.

Condición: α real irracional; r racional; b,d enteros no nulos.

Se usa que b y d son distintos de cero, así que bd tampoco es cero. No se generaliza a la suma de dos irracionales: √2 + (−√2) = 0 es racional.

1. Hay al menos una solución: x = 5, pues 3 × 5 + 5 = 20.

2. Para probar unicidad, supongamos dos soluciones u y v con u ≠ v.

3. 3u + 5 = 20 y 3v + 5 = 20. Al restar, 3(u − v) = 0.

4. Como 3 ≠ 0, se sigue u − v = 0 y u = v.

5. Esto contradice u ≠ v. La solución existe y es única.

Condición: u y v reales; coeficiente 3 distinto de cero.

Descartar dos soluciones distintas prueba «como máximo una». La comprobación de x = 5 aporta por separado la existencia; así no se confunde unicidad con existencia.

1. Supongamos que no hay dos personas que compartan mes.

2. Cada uno de los 12 meses tendría como máximo una persona.

3. Habría como máximo 12 personas en total.

4. Pero hay 13: contradicción. Al menos dos comparten mes.

Condición: 13 personas; exactamente 12 categorías de mes; cada persona en una categoría.

Es el principio del palomar. No identifica qué mes se repite ni exige que las personas compartan día o año. La negación correcta es «ningún mes recibe dos o más».

1. Negamos «alguno es ≥ 5»: suponemos que los cuatro son < 5.

2. Al sumar las cuatro desigualdades estrictas: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ < 20.

3. La suma era exactamente 20: contradicción.

4. Al menos uno de los cuatro valores es ≥ 5.

Condición: Cuatro números reales; suma 20; media 5.

No se concluye que alguno sea estrictamente mayor que 5: los cuatro podrían valer 5. Negar «≥» requiere «<», no «≤».

1. Mantenemos A ⊆ B y A ∩ B = ∅. Suponemos A ≠ ∅.

2. Existe un elemento x de A. Por A ⊆ B, también pertenece a B.

3. Entonces x pertenece a A ∩ B.

4. Esto contradice que A ∩ B = ∅. Se concluye A = ∅.

Condición: A y B conjuntos en un mismo universo.

B puede ser vacío o no vacío; no necesitamos elegir elementos de B por adelantado. El elemento x se obtiene exclusivamente del supuesto provisional de que A no está vacío.

1. p → q [premisa]

2. ¬q [premisa]

3. Supongamos p [supuesto provisional]

4. q [modus ponens, líneas 1 y 3]

5. q y ¬q [contradicción, líneas 4 y 2]

6. ¬p [introducción de la negación; se cierra el supuesto 3]

Condición: p y q proposiciones; se mantienen las dos premisas.

Aquí suponemos p y obtenemos contradicción para probar ¬p. No se niegan las premisas 1 y 2. La línea 3 deja de ser una afirmación disponible después de cerrar la subprueba.

1. p ∨ q [premisa: al menos una es verdadera]

2. ¬p [premisa]

3. Supongamos ¬q [supuesto provisional]

4. ¬p y ¬q implican ¬(p ∨ q) [ley de De Morgan]

5. p ∨ q y ¬(p ∨ q) se contradicen.

6. Se descarta ¬q y, en lógica clásica, se concluye q.

Condición: Lógica proposicional clásica; ∨ inclusiva.

Suponer ¬q y llegar a contradicción establece ¬¬q; la eliminación de la doble negación permite concluir q en lógica clásica. La regla que introduce ¬p en el ejemplo anterior y esta reducción clásica no deben confundirse sin explicar ese paso.

Por contradicción: conservamos n² impar y suponemos n par.

Si n = 2k, n² = 4k² = 2(2k²) es par. Contradice n² impar; por tanto, n es impar.

Por contraposición: probamos directamente «si n es par, n² es par».

Ese enunciado es la contraposición del objetivo y es lógicamente equivalente a él.

Condición: n y k enteros; par e impar son alternativas exhaustivas.

En la contraposición se demuestra ¬Q → ¬P; en la contradicción de P → Q se mantienen P y ¬Q hasta encontrar una incompatibilidad. Ambas funcionan aquí, pero no son la misma secuencia de supuestos.

a² = ab; restando b²: a² − b² = ab − b².

Factorizamos: (a − b)(a + b) = b(a − b).

Paso inválido: cancelar a − b para afirmar a + b = b.

Como a − b = 0, se ha dividido por cero. El supuesto 1 = 2 no se obtiene mediante reglas válidas.

Conclusión: hay un error en la transformación; no una prueba por contradicción válida.

Condición: a = b = 1; nunca dividir por un factor nulo.

Una contradicción solo permite cerrar el argumento si todos los pasos que llevan a ella son legítimos. No podemos usar una operación prohibida para refutar una hipótesis.

De x > 2 y x < 1 resulta 2 < x < 1, imposible.

La contradicción aparece antes de utilizar R.

Por tanto, este procedimiento no permite señalar R como el origen del problema.

Hay que revisar las premisas iniciales y asegurar que describen un caso posible.

Condición: El mismo x real y el mismo sentido de las desigualdades.

En lógica clásica, de premisas incompatibles se puede derivar cualquier conclusión formalmente. Eso no demuestra una afirmación informativa sobre un caso real. Al evaluar una prueba, localiza qué supuestos intervienen efectivamente y conserva los datos justificados.

Condición: Lógica clásica y dominio indicado en el enunciado.

En cada respuesta importa la negación exacta, la pertenencia al dominio y la incompatibilidad concreta. Una aproximación decimal o una sorpresa no sustituyen esos pasos.

1. Escribe el objetivo y fija el dominio.

2. Mantén las hipótesis y añade la negación exacta del objetivo.

3. Deduce consecuencias válidas, indicando condiciones como denominadores no nulos.

4. Nombra la contradicción: R y ¬R, restos incompatibles o una desigualdad imposible.

5. Cierra el supuesto provisional y recupera la conclusión que corresponde.

6. Comprueba que no confundiste existencia con unicidad ni un ejemplo con una prueba general.

Condición: Lógica clásica y dominio indicado en el enunciado.

No toda proposición necesita este método: una prueba directa puede ser más breve. Si no llegas a contradicción, tampoco has probado que el supuesto sea verdadero; puede faltar un argumento.