Reglas de inferencia: ejemplos y derivaciones paso a paso

1. Si la tarjeta es válida, el lector autoriza el acceso: p → q

2. La tarjeta es válida: p

3. Por tanto, el lector autoriza el acceso: q

Regla: modus ponens, aplicada a 1 y 2

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Necesitas el condicional y su antecedente. Conocer solo p → q no demuestra q. La tabla revisa todas las asignaciones, incluidas las que no cumplen las premisas.

1. p → q: si la tarjeta es válida, se autoriza el acceso

2. ¬q: no se autoriza el acceso

3. ¬p: la tarjeta no es válida

Regla: modus tollens, aplicada a 1 y 2

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Si p fuera verdadera, la primera premisa obligaría a que q lo fuera. Eso chocaría con ¬q. La conclusión depende de aceptar la regla completa; no se deduce solo de observar un fallo del lector.

1. p → ¬q: si se levantó tarde, no fue al trabajo

2. q: Pedro fue al trabajo

3. ¬¬q: negación de ¬q, equivalente a q

4. ¬p: Pedro no se levantó tarde, por modus tollens (1 y 3)

Condición: Mismo día; se acepta el condicional como premisa del ejercicio.

El consecuente completo es ¬q; negarlo da ¬¬q. Se usa «fue al trabajo» de forma constante: estar trabajando en casa no bastaría para negar «no fue al trabajo».

1. p ∨ q: voy a trabajar o voy de vacaciones

2. ¬q: no voy de vacaciones

3. p: por tanto, voy a trabajar

Regla: silogismo disyuntivo, también llamado modus tollendo ponens

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

No hace falta que la o sea exclusiva. Al descartar q, p debe ser verdadera para que se mantenga la primera premisa. Sin p ∨ q, no ir de vacaciones no demostraría que se va a trabajar.

1. p ∨ q: como pollo o pescado

2. ¬p: no como pollo

3. q: por tanto, como pescado

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Aquí se niega una alternativa para afirmar la otra. Afirmar que como pescado no permitiría negar el pollo si pudiera comer ambos. El ejemplo 15 muestra ese error.

1. p → q: si termina a tiempo, recibe un bono

2. q → r: si recibe un bono, cambia su teléfono

3. p → r: si termina a tiempo, cambia su teléfono

Regla: silogismo hipotético, aplicada a 1 y 2

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Si p se cumple, se obtiene q y después r. La conclusión conserva esa dirección. No afirma que p ocurra ni que cambiar el teléfono pruebe haber terminado el proyecto.

1. p ∧ q: contiene un libro y una revista

2. p: contiene un libro, por eliminación de ∧

También se puede concluir q: contiene una revista

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Una conjunción verdadera garantiza cada componente. Esta regla no permite extraer p de p ∨ q: la disyunción podría ser verdadera únicamente por q.

1. p: tengo entrada

2. q: tengo identificación

3. p ∧ q: tengo entrada e identificación

Regla: introducción de ∧, aplicada a 1 y 2

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Las dos premisas deben estar disponibles. No basta una sola ni una disyunción. Reunirlas tampoco demuestra que exista una relación causal entre ellas.

1. p: llevé un cuaderno

2. p ∨ q: llevé un cuaderno o una carpeta

Regla: introducción de ∨

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

La o es inclusiva: una parte verdadera basta. No hemos probado q ni ¬q. Por eso la conclusión permite tanto haber llevado carpeta como no haberla llevado.

1. p ∨ q

2. p → r

3. q → r

4. r, por eliminación de ∨ usando 1, 2 y 3

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Si se cumple p, se obtiene r por 2; si se cumple q, por 3. Se cubren ambas alternativas, incluso si las dos son verdaderas. No se elige una sin justificación.

1. p ∨ q: llevo pase o entrada

2. ¬p ∨ r: no llevo pase o necesito autorización

3. q ∨ r: llevo entrada o necesito autorización

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Si p es falsa, la primera premisa fuerza q. Si p es verdadera, la segunda fuerza r. En cualquiera de los dos casos q ∨ r es verdadera. No se elimina una letra arbitraria: p y ¬p son complementarias.

1. p → r

2. q → s

3. p ∨ q

4. r ∨ s: obtengo justificante digital o recibo en papel

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

De cada alternativa se sigue su resultado correspondiente. La conclusión es una disyunción; sin más datos no se puede asegurar r ni s por separado. Tampoco se exige que solo una alternativa ocurra.

1. p ↔ q

2. q

3. q → p, por eliminación de ↔ en 1

4. p, por modus ponens con 3 y 2

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Un bicondicional aporta las dos direcciones. Por eso aquí sí podemos pasar de q a p. Con solo p → q y q, esa conclusión sería inválida.

1. ¬¬p

2. p → q

3. p, por eliminación de doble negación en 1

4. q, por modus ponens con 2 y 3

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Primero se recupera p; después se aplica la regla del condicional. La doble negación se interpreta en lógica clásica y afecta a la misma proposición completa.

Premisas propuestas: p ∨ q; q

Conclusión propuesta: ¬p

Contraejemplo: p = V, q = V

Las premisas son V; ¬p es F: inferencia inválida

Con la premisa adicional ¬(p ∧ q), sí se sigue ¬p

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Comer ambos hace verdaderas las premisas y falsa la conclusión. Si el menú impone exclusividad, hay que declararla: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q). Esa condición no se puede añadir en silencio.

Premisas: p → q; q → r

Conclusión válida: p → r

Conclusión no justificada: r → p

Contraejemplo: p = F, q = F, r = V

Los dos condicionales iniciales son V; r → p es F

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Pedro podría cambiar el teléfono sin bono y sin haber terminado a tiempo. Incluso añadiendo r como premisa no se obtiene p. Hace falta una relación inversa explícita; las premisas originales no la dan.

Premisas: p → q; ¬p

Conclusión propuesta: ¬q

Contraejemplo: p = F, q = V

Premisas V y conclusión F: inferencia inválida

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Podría permitirse entrar mediante otra credencial. Modus tollens niega el consecuente q, no el antecedente p. «Si p, entonces q» no dice que p sea la única vía para q.

1. p ∧ q — premisa

2. p → r — premisa

3. r → s — premisa

4. p — eliminación de ∧ en 1

5. r — modus ponens con 2 y 4

6. s — modus ponens con 3 y 5

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Cada línea nueva cita una regla y líneas anteriores. q sigue siendo verdadera por la primera premisa, pero no hace falta usarla para obtener s. No se introduce ninguna condición adicional.

1. p → q — premisa

2. q → r — premisa

3. [Supuesto temporal: p]

4. Dentro del supuesto: q, por modus ponens con 1 y 3

5. Dentro del supuesto: r, por modus ponens con 2 y 4

6. Fuera del supuesto: p → r, por introducción de → (3–5)

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Al cerrar el supuesto se obtiene p → r, no r sola. Por ejemplo, p = F, q = F, r = F satisface las premisas iniciales y no r. Las líneas dependientes del supuesto no quedan disponibles como hechos independientes.

Con p = F y q = F: p → q es V y q es F

Por tanto, p → q no basta para deducir q

Con las dos premisas p → q y p, sí se deduce q

Una aplicación válida garantiza verdad de la conclusión si todas sus premisas son verdaderas

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

La validez evalúa la forma del paso. Aceptar que la forma es válida no verifica por sí solo que las premisas describan la realidad. Hay que comprobarlas al usar el argumento fuera del ejercicio.

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Una inferencia inválida se refuta con un solo contraejemplo que mantenga verdaderas todas sus premisas. Para validar una forma mediante tabla hay que revisar todas las asignaciones.

1. Escribe por separado las premisas y la conclusión

2. Fija qué significa cada letra y el alcance de las negaciones

3. Justifica cada línea con una regla y líneas previas disponibles

4. Mantén los supuestos temporales dentro de su subdemostración

5. Para refutar, busca premisas todas V y conclusión F

6. Para verificar por tabla, examina las 2^n asignaciones de n letras distintas

Condición: Lógica proposicional clásica; significado y contexto constantes.

Una tabla verifica la consecuencia lógica; la revisión de líneas comprueba que esa derivación concreta está bien construida. Son dos controles complementarios. Las reglas presentadas no forman una lista exhaustiva de todos los sistemas de prueba.