LÓGICA Y CONJUNTOS
Una tautología es una fórmula verdadera en todas las asignaciones de valores de sus letras. Si siempre es falsa, es una contradicción; si tiene casos verdaderos y falsos, es una contingencia.
Practica con 20 ejemplos explicados y ocho ejercicios resueltos. Las tablas y los razonamientos muestran qué hace siempre verdadera una fórmula y qué errores impiden demostrarlo.
Notación: V significa verdadero y F, falso. ¬ es no; ∧ es y; ∨ es o inclusiva; → se lee si… entonces; ↔ es si y solo si, y es verdadero cuando ambos lados tienen el mismo valor.
Trabajamos en lógica proposicional clásica. Una fórmula se clasifica en todas sus asignaciones; un argumento es válido cuando no puede tener todas sus premisas verdaderas y su conclusión falsa.
EJEMPLO 01
Sea p: el auto es rojo. La negación ¬p dice: el auto no es rojo.
Fórmula: p ∨ ¬p
Si p = V: V ∨ F = V
Si p = F: F ∨ V = V
Clasificación: tautología
Condición: Mismo auto, momento y criterio; marco bivalente.
No hace falta averiguar el color para evaluar esta fórmula. Debe tratarse del mismo auto, en el mismo momento y con el mismo criterio de rojo. La o es inclusiva.
| p | ¬p | p ∨ ¬p |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
EJEMPLO 02
a: voy al cine; b: voy a cenar; c: me quedo en casa. Formaliza: si voy al cine y voy a cenar, entonces voy al cine o no me quedo en casa.
Fórmula: (a ∧ b) → (a ∨ ¬c)
Si a ∧ b es V, a ya es V y hace verdadera a ∨ ¬c
Si a ∧ b es F, el condicional material es V
Resultado en las ocho asignaciones: V
Clasificación: tautología
Condición: Misma persona y periodo; no se añaden restricciones entre las letras.
La conclusión contiene a, que ya estaba en el antecedente. No hace falta suponer que ir al cine excluya quedarse en casa: el resultado vale incluso al tratar a, b y c como letras independientes. Las tablas conservan los ocho casos y todos los pasos.
| a, b, c | ¬c | a ∧ b |
|---|---|---|
| V, V, V | F | V |
| V, V, F | V | V |
| V, F, V | F | F |
| V, F, F | V | F |
| a, b, c | a ∨ ¬c | (a ∧ b) → (a ∨ ¬c) |
|---|---|---|
| V, V, V | V | V |
| V, V, F | V | V |
| V, F, V | V | V |
| V, F, F | V | V |
| a, b, c | ¬c | a ∧ b |
|---|---|---|
| F, V, V | F | F |
| F, V, F | V | F |
| F, F, V | F | F |
| F, F, F | V | F |
| a, b, c | a ∨ ¬c | (a ∧ b) → (a ∨ ¬c) |
|---|---|---|
| F, V, V | F | V |
| F, V, F | V | V |
| F, F, V | F | V |
| F, F, F | V | V |
EJEMPLO 03
p: entregué el informe; q: envié la presentación. Considera: si entregué el informe, entregué el informe o envié la presentación.
Fórmula: p → (p ∨ q)
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Para que fuera falsa, p tendría que ser V y p ∨ q, F. Eso es imposible, porque una disyunción inclusiva con p verdadera ya es verdadera. La fórmula no demuestra que q haya ocurrido.
| p, q | p ∨ q | p → (p ∨ q) |
|---|---|---|
| V, V | V | V |
| V, F | V | V |
| F, V | V | V |
| F, F | F | V |
EJEMPLO 04
p: la ventana está abierta. Evalúa: si la ventana está abierta, la ventana está abierta.
Fórmula: p → p
Con p = V: V → V = V
Con p = F: F → F = V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
El antecedente y el consecuente son exactamente la misma proposición. La verdad de esta fórmula no permite concluir que la ventana esté abierta.
EJEMPLO 05
p: tengo pase; q: tengo reserva. Evalúa: si tengo pase y reserva, tengo pase.
Fórmula: (p ∧ q) → p
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Cuando el antecedente es verdadero, ambas partes lo son y en particular p. Si falta alguna, el antecedente es falso y el condicional material sigue siendo verdadero.
EJEMPLO 06
p: la lámpara está encendida. Considera que no puede estar encendida y no encendida a la vez, en el mismo sentido.
Fórmula: ¬(p ∧ ¬p)
p ∧ ¬p es F tanto si p es V como si es F
Al negarlo obtenemos V en ambas filas
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
La contradicción es p ∧ ¬p; su negación es la tautología. No son la misma fórmula. Cambiar de momento o de lámpara cambiaría las proposiciones.
EJEMPLO 07
Compara p con no es cierto que no p. El bicondicional ↔ es verdadero cuando sus dos lados tienen el mismo valor.
Fórmula: ¬¬p ↔ p
Con p = V: V ↔ V = V
Con p = F: F ↔ F = V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
La doble negación ¬¬p sola no es una tautología: tiene el mismo valor que p. Lo que es siempre verdadero es el bicondicional que expresa su equivalencia.
EJEMPLO 08
Compara no ocurre p o q con no ocurre p y tampoco q.
Fórmula: ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
Ambos lados tienen la columna F, F, F, V
El bicondicional tiene V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Los dos lados pueden ser falsos y aun así el bicondicional ser verdadero. Una equivalencia lógica no exige que sus dos miembros sean tautologías.
EJEMPLO 09
Compara un condicional con su contrapositiva: se invierte el orden y se niegan las dos partes.
Fórmula: (p → q) ↔ (¬q → ¬p)
Ambos lados tienen la columna V, F, V, V
El bicondicional tiene V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
p → q por sí solo es contingente. La tautología expresa que ambas formas coinciden en todas las asignaciones; no que cada condicional sea siempre verdadero.
EJEMPLO 10
El argumento tiene como premisas p → q y p, y como conclusión q. Une las premisas con y antes de escribir el condicional.
Fórmula asociada: ((p → q) ∧ p) → q
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Cuando las dos premisas son verdaderas, q lo es. Cuando no lo son, el condicional asociado puede ser verdadero aunque q sea falsa. La conclusión aislada q no es una tautología.
EJEMPLO 11
Las premisas son p → q y ¬q; la conclusión es ¬p.
Fórmula asociada: ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Si q es falsa y el condicional p → q es verdadero, p no puede ser verdadera. La fórmula representa esa garantía, no afirma que p sea falsa en todas las situaciones.
EJEMPLO 12
De p → q y q → r se puede concluir p → r.
Fórmula asociada: ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
Con tres letras se comprueban ocho asignaciones
Columna final: V, V, V, V, V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Si las premisas son verdaderas y p se cumple, q se cumple y después r. Si p es falsa, p → r es verdadera. Si alguna premisa es falsa, el condicional asociado no tiene antecedente verdadero.
EJEMPLO 13
p: la puerta está cerrada. Une esa afirmación con su negación, sin cambiar el momento ni el significado.
Las tres clases son excluyentes: cada fórmula pertenece a una sola.
Fórmula: p ∧ ¬p
Con p = V: V ∧ F = F
Con p = F: F ∧ V = F
Clasificación: contradicción
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
No basta que una fórmula sea falsa en un caso para llamarla contradicción: debe ser falsa en todos. La tabla compara las tres clases con las mismas asignaciones.
| p, q | p ∨ ¬p | p ∧ ¬p | p → q |
|---|---|---|---|
| V, V | V | F | V |
| V, F | V | F | F |
| F, V | V | F | V |
| F, F | V | F | V |
EJEMPLO 14
Evalúa p → q sin imponer una relación adicional entre las dos letras.
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, F, V, V
Tiene filas verdaderas y una falsa
Clasificación: contingencia
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Tres resultados verdaderos no bastan para hablar de tautología. La fila p = V, q = F es un contraejemplo; las otras filas impiden llamarla contradicción.
EJEMPLO 15
p: llevé paraguas; q: llevé impermeable. Evalúa la disyunción inclusiva.
Fórmula: p ∨ q
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, V, F
Clasificación: contingencia
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Si llevé ambos, la fórmula es verdadera. Si no llevé ninguno, es falsa. Un solo ejemplo favorable no permite clasificarla como tautología.
EJEMPLO 16
El argumento propone concluir p a partir de p → q y q. Esa es la afirmación del consecuente.
Fórmula asociada: ((p → q) ∧ q) → p
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, F, V
Con p = F y q = V: premisas verdaderas y conclusión falsa
Clasificación: contingencia; argumento inválido
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Que una fórmula tenga aspecto parecido a la del modus ponens no basta. El contraejemplo muestra exactamente dónde falla la garantía lógica.
EJEMPLO 17
La igualdad 2 + 2 = 4 es verdadera por el significado aritmético de sus símbolos. Si la representamos como una sola letra p, ¿qué dice la lógica proposicional?
La fórmula p tiene columna V, F
Como forma proposicional, p es contingente
La igualdad concreta se justifica mediante aritmética
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
La clasificación proposicional considera la forma y todas las asignaciones de sus letras. No sustituye la verdad matemática de una igualdad concreta ni convierte su falsedad en una posibilidad aritmética real.
EJEMPLO 18
En p ∨ ¬p, reemplaza todas las apariciones de p por (q ∧ r).
Resultado: (q ∧ r) ∨ ¬(q ∧ r)
Columna final en VV, VF, FV, FF: V, V, V, V
Clasificación: tautología
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Una misma fórmula completa ocupa los dos lugares de p. Si se sustituyera solo una aparición, no se conservaría ese esquema. Los paréntesis aseguran que ¬ niega toda la conjunción.
EJEMPLO 19
Compara la negación de una tautología, una contradicción y una contingencia.
¬(p ∨ ¬p): contradicción; columna F, F
¬(p ∧ ¬p): tautología; columna V, V
¬(p → q): contingencia; columna F, V, F, F
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
La negación intercambia V y F en cada fila. Por eso una columna mezclada sigue mezclada, mientras que una columna uniforme cambia a la otra clase.
EJEMPLO 20
De p ∧ q se sigue p. Ahora considera la asignación p = F, q = V.
Premisa p ∧ q = F; conclusión p = F
La fórmula (p ∧ q) → p = V
El argumento es válido, pero p aislada es contingente
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Un argumento válido excluye premisas todas verdaderas con conclusión falsa. No exige conclusión verdadera cuando alguna premisa es falsa. Para garantizar una conclusión verdadera al aplicarlo, también necesitamos premisas verdaderas.
CONSULTA
Calcula toda la columna final antes de consultar las respuestas.
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Una fila falsa descarta la tautología, pero no basta para probar contradicción. Para probar contingencia, identifica al menos una fila V y otra F.
| Fórmula | Clasificación y columna final |
|---|---|
| p ∨ ¬p | Tautología: V, V. |
| p ∧ ¬p | Contradicción: F, F. |
| p → q | Contingencia: V, F, V, V. |
| ¬(p ∧ ¬p) | Tautología: V, V. |
| Fórmula | Clasificación y columna final |
|---|---|
| p ∧ q | Contingencia: V, F, F, F. |
| (p ∧ q) → q | Tautología: V, V, V, V. |
| ¬(p ∨ ¬p) | Contradicción: F, F. |
| (p → q) ∧ p | Contingencia: V, F, F, F. |
CONSULTA
La cantidad de filas depende del número de letras distintas, no de cuántas veces aparece cada una.
1. Identifica las letras: una da 2 filas; dos, 4; tres, 8
2. Escribe todas las asignaciones sin repetir ni omitir
3. Calcula las subfórmulas respetando paréntesis
4. Toda V: tautología; toda F: contradicción; mezcla: contingencia
5. Si analizas un argumento, une sus premisas y forma el condicional hacia la conclusión
Condición: Lógica proposicional clásica; letras y contexto constantes.
Una tabla incompleta no acredita una tautología. Otra vía es una demostración general que cubra todos los casos, como las explicaciones que acompañan a los ejemplos.