EJEMPLO 01
Un número cualquiera
Representa un número cualquiera.
Traducción: x
Comprobación: Con x = 7, el número representado es 7.
La letra puede tomar los valores permitidos por el problema. No hace falta añadir una operación.
ÁLGEBRA · DE LAS PALABRAS A LOS SÍMBOLOS
30 ejemplos de lenguaje algebraico explicados
El lenguaje algebraico permite expresar con letras, números y signos lo que un enunciado dice con palabras. «El doble de la suma de un número y 5» se escribe 2(x + 5): los paréntesis conservan la suma que se duplica.
Traducir bien exige identificar las cantidades, el orden de las operaciones y las condiciones. Una palabra aislada no basta: «la mitad del cuadrado» y «el cuadrado de la mitad» producen expresiones distintas.
Cómo pasar de palabras a lenguaje algebraico
- Define las letras: por ejemplo, x es un número; b es una base y h la altura correspondiente.
- Localiza la operación principal: suma, diferencia, producto, cociente o potencia.
- Agrupa las cantidades completas: «la suma de x y 5» se convierte en el bloque (x + 5) cuando otra operación actúa sobre ella.
- Añade las condiciones: denominadores distintos de cero, números enteros o medidas positivas, según el caso.
- Lee la expresión de vuelta y prueba valores: la lectura comprueba el sentido; los valores ayudan a detectar cambios de orden o agrupación.
Las letras no tienen significados universales. En ciencias puedes definir b como base, H como entalpía, c como una concentración especificada y T como temperatura. Indica las unidades y qué representa cada una; el símbolo por sí solo no proporciona la fórmula ni convierte todas las cantidades en incógnitas.
Palabras que orientan la traducción
Suma: suma de, adición, más.
Resta: menos, diferencia de, restar una cantidad de otra. Revisa el orden.
Producto: por, producto de, doble (multiplicar por 2), triple (multiplicar por 3).
Cociente: entre, dividido entre, cociente de. Mitad, tercio y cuarta parte indican división entre 2, 3 y 4.
Estas palabras son pistas, no sustituciones automáticas. Si una frase admite dos lecturas, aclárala antes de traducir. «Es igual a» añade una ecuación; «al menos» o «a lo sumo» pueden añadir una desigualdad.
15 ejemplos básicos y combinados
EJEMPLO 02
Suma de dos números distintos
Suma dos números distintos, x e y.
Traducción: x + y
Comprobación: Con x = 3 e y = 5: 3 + 5 = 8.
Condición: x ≠ y.
La condición «distintos» se escribe x ≠ y. Dos letras diferentes, por sí solas, no impiden que sus valores coincidan.
EJEMPLO 03
Producto de dos números
Multiplica x por y.
Traducción: x·y
Comprobación: Con x = − 2 e y = 4: ( − 2)·4 = − 8.
El producto puede escribirse x·y o xy. Aquí no se exige que los valores sean distintos.
EJEMPLO 04
El doble de un producto de tres números
Multiplica por 2 el producto de x, y y z.
Traducción: 2·(x·y·z)
Comprobación: Con x = 2, y = 3, z = 4: 2·(2·3·4) = 48.
El doble afecta al producto completo. La redacción explicita el sentido del «doble producto» del original.
EJEMPLO 05
El triple de un producto de dos números
Multiplica por 3 el producto de x e y.
Traducción: 3·(x·y)
Comprobación: Con x = − 1 e y = 5: 3·(( − 1)·5) = − 15.
Primero identifica qué producto se triplica. Por asociatividad también puede escribirse 3xy.
EJEMPLO 06
Diferencia de dos números distintos
Resta y de x, siendo números distintos.
Traducción: x − y
Comprobación: Con x = 3 e y = 8: 3 − 8 = − 5.
Condición: x ≠ y.
La diferencia se toma en el orden indicado: primero x y después y. No se supone que x sea el mayor.
EJEMPLO 07
Producto de una diferencia y una suma
Multiplica la diferencia de x e y por la suma de a y b.
Traducción: (x − y)·(a + b)
Comprobación: Con x = 7, y = 2, a = 3, b = 1: (7 − 2)(3 + 1) = 20.
Cada paréntesis conserva un bloque del enunciado. No se exige que las cuatro cantidades sean diferentes.
EJEMPLO 08
Producto de dos cuadrados
Multiplica el cuadrado de x por el cuadrado de y.
Traducción: x2·y2
Comprobación: Con x = − 2 e y = 3: ( − 2)2·32 = 4·9 = 36.
Cada exponente corresponde a su propia base. Las bases negativas se sustituyen con paréntesis.
EJEMPLO 09
Un triple con dos potencias
Triplica el producto del cuadrado de x por la cuarta potencia de y.
Traducción: 3·x2·y4
Comprobación: Con x = 2 e y = − 1: 3·22·( − 1)4 = 12.
El 3 es un factor, no un exponente. Solo x se eleva al cuadrado y solo y a la cuarta potencia.
EJEMPLO 10
Semidiferencia de dos números
Calcula la mitad de la diferencia de x e y.
Traducción: (x − y)/2
Comprobación: Con x = 3 e y = 8: (3 − 8)/2 = − 5/2.
«Semi» significa mitad: se divide entre 2 la diferencia completa. No es x − y/2.
EJEMPLO 11
Tercera parte de una suma
Divide entre 3 la suma de a, b y c.
Traducción: (a + b + c)/3
Comprobación: Con a = 3, b = 6, c = 9: (3 + 6 + 9)/3 = 6.
El numerador agrupa los tres sumandos. Dividir solo c entre 3 cambiaría el enunciado.
EJEMPLO 12
Mitad del cuadrado
Toma el cuadrado de x y divídelo entre 2.
Traducción: x2/2
Comprobación: Con x = 6: 62/2 = 36/2 = 18.
Se eleva x al cuadrado antes de dividir. En el ejemplo 19 se compara con el cuadrado de la mitad.
EJEMPLO 13
Cociente de dos potencias
Divide el cuadrado de x entre el cubo de y.
Traducción: x2/y3
Comprobación: Con x = 4 e y = 2: 42/23 = 16/8 = 2.
Condición: y ≠ 0.
y³ es todo el denominador. Para evitar una división entre cero, y debe ser distinto de cero.
EJEMPLO 14
Cuadrado de una suma de tres números
Eleva al cuadrado la suma de x, y y z.
Traducción: (x + y + z)2
Comprobación: Con x = 1, y = 2, z = 3: (1 + 2 + 3)2 = 36.
Se suma primero y se eleva el resultado. No es la suma de los tres cuadrados.
EJEMPLO 15
Cociente entre suma y diferencia
Divide la suma de x e y entre la diferencia de x e y, en ese orden.
Traducción: (x + y)/(x − y)
Comprobación: Con x = 5 e y = 3: (5 + 3)/(5 − 3) = 8/2 = 4.
Condición: x ≠ y.
Los paréntesis agrupan numerador y denominador. Si x = y, la diferencia es cero y el cociente no existe.
Fórmulas, paréntesis y frases que se parecen
EJEMPLO 16
Del enunciado geométrico a una fórmula
El área de un triángulo es el producto de la base por su altura, dividido entre 2.
A = (b·h)/2
Con b = 6 cm y h = 4 cm: A = (6·4)/2 cm2 = 12 cm2
Condición: b > 0 y h > 0; altura perpendicular a la base.
A representa área, b base y h la altura perpendicular a esa base. Las dos longitudes deben usar unidades compatibles; el área se expresa en unidades cuadradas.
EJEMPLO 17
El doble de una suma o una suma después del doble
Compara «el doble de la suma de x y 5» con «el doble de x, más 5».
Doble de la suma: 2(x + 5)
Doble de x, más 5: 2x + 5
Con x = 3: 2(3 + 5) = 16; 2·3 + 5 = 11
En la primera frase, todo x + 5 se duplica. En la segunda solo se duplica x.
EJEMPLO 18
Cuadrado de la suma o suma de cuadrados
Compara «el cuadrado de la suma de x e y» con «la suma de sus cuadrados».
Cuadrado de la suma: (x + y)2
Suma de cuadrados: x2 + y2
Con x = 2 e y = 3: (2 + 3)2 = 25; 22 + 32 = 13
Los paréntesis indican si el exponente afecta a la suma completa. No se reparte un cuadrado sobre una suma.
EJEMPLO 19
Cuadrado de la mitad o mitad del cuadrado
Compara ambas frases usando x = 6.
Cuadrado de la mitad: (x/2)2
Mitad del cuadrado: x2/2
Con x = 6: (6/2)2 = 9; 62/2 = 18
En la primera se divide antes de elevar. En la segunda se eleva antes de dividir. El orden verbal determina los paréntesis.
EJEMPLO 20
«5 menos un número» y «5 menos que un número»
Compara «5 menos x» con «5 menos que x».
5 menos x: 5 − x
5 menos que x: x − 5
Con x = 8: 5 − 8 = − 3; 8 − 5 = 3
«5 menos que x» indica una cantidad cinco unidades inferior a x. Si la frase es ambigua, reformúlala como «a x le restamos 5» antes de escribirla.
EJEMPLO 21
Mitad de una suma o suma de una mitad
Compara «la mitad de la suma de x y 3» con «x más la mitad de 3».
Mitad de la suma: (x + 3)/2
x más la mitad de 3: x + 3/2
Con x = 5: (5 + 3)/2 = 4; 5 + 3/2 = 13/2
La barra de fracción o los paréntesis deben mostrar qué cantidad completa se divide.
EJEMPLO 22
Inverso de una suma o suma de inversos
Compara «el inverso de la suma de x e y» con «la suma de sus inversos».
Inverso de la suma: 1/(x + y)
Suma de inversos: 1/x + 1/y
Con x = 2 e y = 3: 1/(2 + 3) = 1/5; 1/2 + 1/3 = 5/6
Condición: Para 1/(x + y): x + y ≠ 0. Para 1/x + 1/y: x ≠ 0 e y ≠ 0.
El inverso de una cantidad no nula es 1 dividido entre ella. Las expresiones son distintas y sus restricciones también.
Consecutivos y aplicaciones del lenguaje algebraico
EJEMPLO 23
Tres enteros consecutivos
Representa tres números enteros consecutivos en orden creciente.
n, n + 1, n + 2
Con n = − 2: − 2, − 1, 0
Condición: n es un número entero.
Cada entero se obtiene sumando 1 al anterior. n, n + 2 y n + 4 no representan tres enteros consecutivos.
EJEMPLO 24
Tres enteros pares consecutivos
Representa tres números pares consecutivos.
2n, 2n + 2, 2n + 4
Con n = 3: 6, 8, 10
Condición: n es un número entero.
Entre pares consecutivos hay una diferencia de 2. El factor 2 asegura que todos sean pares cuando n es entero.
EJEMPLO 25
Tres enteros impares consecutivos
Representa tres números impares consecutivos.
2n + 1, 2n + 3, 2n + 5
Con n = 2: 5, 7, 9
Condición: n es un número entero.
Un número par más 1 es impar. Los otros dos se obtienen sumando 2 sucesivamente.
EJEMPLO 26
Porcentaje y precio con descuento
Un producto cuesta x euros y se aplica un descuento del 20 %.
Descuento: (20/100)x = x/5
Precio final: x − x/5 = 4x/5
Con x = 80 €: descuento de 16 €; precio final de 64 €
Condición: x ≥ 0.
La cantidad descontada y el precio final son diferentes. El porcentaje se aplica al precio original.
EJEMPLO 27
Una frase que pide una ecuación
El triple de un número, menos 4, es igual a 11.
3x − 4 = 11
3x = 15 → x = 5
Comprobación: 3·5 − 4 = 11
«Es igual a» introduce una igualdad. 3x − 4, sin = 11, traduce solo una parte del enunciado.
EJEMPLO 28
«Al menos» incluye el límite
Representa «la cantidad a es al menos 18» y compárala con «a es mayor que 18».
Al menos 18: a ≥ 18
Mayor que 18: a > 18
a = 18 cumple la primera, pero no la segunda
Condición: a es real; si cuenta objetos, a debe ser un entero no negativo.
«Al menos» incluye la igualdad. De manera análoga, «a lo sumo 18» se escribe a ≤ 18.
EJEMPLO 29
Un coste fijo más un coste variable
Un servicio cobra 3 € fijos más 2 € por cada kilómetro recorrido.
C = 3 + 2k
Para 4 km (k = 4): C = 3 € + (2 €/km)·4 km = 11 €
Condición: k ≥ 0; el modelo supone una tarifa proporcional sin redondeos.
k es el número de kilómetros y C el coste en euros. La parte fija se suma una sola vez; 3·2k describiría otra tarifa.
EJEMPLO 30
Edad futura y edad pasada
Una persona tiene ahora x años. Expresa su edad dentro de 5 años y hace 3 años.
Dentro de 5 años: x + 5
Hace 3 años: x − 3
Con x = 12: tendrá 17 años y tenía 9 años
Condición: Para hablar de su edad hace 3 años, x ≥ 3; cantidades expresadas en años.
Fija qué representa x: la edad actual. Cambiar el momento de referencia sin decirlo altera la traducción.
Errores frecuentes al traducir
- Invertir una resta o un cociente: «restar y de x» significa x − y, no y − x.
- Olvidar paréntesis: la mitad de una suma divide toda la suma.
- Repartir mal una potencia: el cuadrado de una suma no es la suma de cuadrados.
- Dar por hecho que dos letras son dos valores diferentes: si el enunciado lo exige, añade la condición.
- Omitir restricciones: un denominador cero deja la expresión sin definir.
- Confundir comprobación con demostración: que una sustitución coincida ayuda a revisar, pero no prueba por sí sola que dos expresiones sean equivalentes siempre.