EJEMPLO 01
Suma: caso 1
2 · x +(+4 · x)
=+6 · x
Se conservan los signos de ambos coeficientes: 2 + 4 = 6. La parte literal x permanece igual.
ÁLGEBRA · UNA REGLA PARA CADA OPERACIÓN
Leyes de los signos: reglas y 52 ejemplos resueltos
Las leyes de los signos permiten operar con cantidades positivas y negativas. La regla depende de la operación: sumar dos negativos da un negativo, pero multiplicar o dividir dos negativos no nulos da un positivo.
Empieza por la tabla de multiplicación y división; después consulta los ejemplos de suma, resta, productos, cocientes y operaciones combinadas. Las letras representan números reales y cada división indica sus restricciones.
Primero identifica la operación
- Suma, mismo signo: suma los valores absolutos y conserva ese signo.
- Suma, signos distintos: resta el menor valor absoluto del mayor y conserva el signo del sumando de mayor valor absoluto. Si son opuestos, el resultado es cero.
- Resta: suma el opuesto de la cantidad que se resta. Si es un paréntesis completo, toma el opuesto de todos sus términos.
- Multiplicación o división de dos números no nulos: signos iguales dan positivo y signos distintos dan negativo.
Tabla para multiplicar y dividir
Esta tabla se aplica a números distintos de cero. No es una regla para sumar o restar.
| Signos | Resultado | Producto | Cociente |
|---|---|---|---|
| Positivo y positivo | Positivo | 3 · 4 = 12 | 12 /3 = 4 |
| Positivo y negativo | Negativo | 3 · (−4) = −12 | 12 /(−3) = −4 |
| Negativo y positivo | Negativo | (−3) · 4 = −12 | (−12) /3 = −4 |
| Negativo y negativo | Positivo | (−3) · (−4) = 12 | (−12) /(−3) = 4 |
El signo escrito y el valor de una expresión
Un + delante de una expresión la deja igual; un − indica su opuesto. Pero +x no garantiza un valor positivo: si x = −2, vale −2. Tampoco −x es siempre negativo: con x = −2, vale 2.
En los ejemplos con letras se calculan los coeficientes y las partes literales. Por ejemplo, −mn tiene coeficiente −1, pero su valor depende de m y n. Al sumar términos semejantes se conservan los exponentes; al multiplicar potencias de igual base se suman.
10 ejemplos de leyes de signos en la suma
El signo + conserva cada sumando. Reduce solo términos con las mismas letras y exponentes.
EJEMPLO 02
Suma: caso 2
3 · x +(−5 · x)
=3 · x −5 · x
=−2 · x
Sumar −5x conserva su coeficiente negativo. Se calcula 3 − 5 = −2.
EJEMPLO 03
Suma: caso 3
x +(−10 · x)
=x −10 · x
=−9 · x
x tiene coeficiente 1. La suma de coeficientes es 1 − 10 = −9.
EJEMPLO 04
Suma: caso 4
y +9 · y
=+10 · y
El coeficiente de y es 1; 1 + 9 = 10.
EJEMPLO 05
Suma: caso 5
4 · m +(−9 · m)
=4 · m −9 · m
=−5 · m
Los coeficientes tienen signos distintos: 4 − 9 = −5.
EJEMPLO 06
Suma: caso 6
4 · x · y +2 · x · y
=+6 · x · y
Como los dos términos contienen xy, se suman sus coeficientes: 4 + 2 = 6.
EJEMPLO 07
Suma: caso 7
−9 · j · k +(−5 · j · k)
=−9 · j · k −5 · j · k
=−14 · j · k
Los dos coeficientes son negativos: −9 − 5 = −14. La regla «menos por menos» no corresponde a esta suma.
EJEMPLO 08
Suma: caso 8
−3 · a · b +(−7 · a · b)
=−3 · a · b −7 · a · b
=−10 · a · b
Se suman −3 y −7: el coeficiente resultante es −10. La parte literal ab no cambia.
EJEMPLO 09
Suma: caso 9
2 · w · x · y +(−13 · w · x · y)
=2 · w · x · y −13 · w · x · y
=−11 · w · x · y
Los coeficientes dan 2 − 13 = −11; se conserva wxy.
EJEMPLO 10
Suma: caso 10
4 · b · c +6 · b · c
=+10 · b · c
Ambos sumandos tienen la parte literal bc y los coeficientes suman 10.
10 ejemplos de leyes de signos en la resta
Restar equivale a sumar el opuesto del segundo término. El primero conserva sus signos.
EJEMPLO 11
Resta: caso 1
2 · x −(+4 · x)
=2 · x −4 · x
=−2 · x
Restar +4x equivale a sumar −4x: 2 − 4 = −2.
EJEMPLO 12
Resta: caso 2
x · y −(−3 · x · y)
=x · y +3 · x · y
=+4 · x · y
El opuesto de −3xy es +3xy. Con el coeficiente 1 del primer término, 1 + 3 = 4.
EJEMPLO 13
Resta: caso 3
m · n −(+4 · m · n)
=m · n −4 · m · n
=−3 · m · n
Restar +4mn deja el coeficiente 1 − 4 = −3.
EJEMPLO 14
Resta: caso 4
f −(−6 · f)
=f +6 · f
=+7 · f
Restar −6f equivale a sumar 6f: 1 + 6 = 7.
EJEMPLO 15
Resta: caso 5
a −(+3 · a)
=a −3 · a
=−2 · a
Se toma el opuesto de +3a; el coeficiente final es 1 − 3 = −2.
EJEMPLO 16
Resta: caso 6
3 · p · q −(−9 · p · q)
=3 · p · q +9 · p · q
=+12 · p · q
Al restar −9pq se suma 9pq: 3 + 9 = 12.
EJEMPLO 17
Resta: caso 7
4 · b −(+6 · b)
=4 · b −6 · b
=−2 · b
El término restado tiene coeficiente +6. Se calcula 4 − 6 = −2.
EJEMPLO 18
Resta: caso 8
f · g −(+4 · f · g)
=f · g −4 · f · g
=−3 · f · g
fg tiene coeficiente 1. Al restar 4fg se obtiene (1 − 4)fg.
EJEMPLO 19
Resta: caso 9
6 · q · r −(−7 · q · r)
=6 · q · r +7 · q · r
=+13 · q · r
Restar el término de coeficiente −7 equivale a sumar el de coeficiente +7: 6 + 7 = 13.
EJEMPLO 20
Resta: caso 10
3 · g · h −(+5 · g · h)
=3 · g · h −5 · g · h
=−2 · g · h
Se resta el segundo coeficiente al primero: 3 − 5 = −2.
10 ejemplos de leyes de signos en la multiplicación
Multiplica primero los coeficientes con sus signos. Después multiplica las partes literales, sumando exponentes de letras iguales.
EJEMPLO 21
Multiplicación: caso 1
(+x) · (+2 · x)
=+2 · x2
Los coeficientes 1 y 2 dan +2. Al multiplicar x por x se obtiene x².
EJEMPLO 22
Multiplicación: caso 2
(+m · n) · (−4 · m · n)
=−4 · m2 · n2
El producto de coeficientes es 1 · (−4) = −4. Las potencias de m y n se suman por separado.
EJEMPLO 23
Multiplicación: caso 3
(−x · y) · (+5 · x · y)
=−5 · x2 · y2
El producto de coeficientes es (−1) · 5 = −5; xy por xy da x²y².
EJEMPLO 24
Multiplicación: caso 4
(−f) · (−9 · f)
=+9 · f2
Los coeficientes −1 y −9 dan +9. El producto f · f es f².
EJEMPLO 25
Multiplicación: caso 5
(+f · g) · (+g · h)
=+f · g2 · h
Los coeficientes implícitos dan +1; g aparece dos veces y forma g².
EJEMPLO 26
Multiplicación: caso 6
(+a · b) · (−a · b)
=−a2 · b2
Los coeficientes +1 y −1 dan −1. Se elevan al cuadrado a y b al multiplicar cada letra por sí misma.
EJEMPLO 27
Multiplicación: caso 7
(−x · y) · (+x · y · z)
=−x2 · y2 · z
El coeficiente es −1. x e y aparecen dos veces; z aparece una sola vez.
EJEMPLO 28
Multiplicación: caso 8
(−g · h) · (−g · h)
=+g2 · h2
Los coeficientes −1 y −1 dan +1. Se obtiene g²h².
EJEMPLO 29
Multiplicación: caso 9
(+j · k) · (+k · l · m)
=+j · k2 · l · m
El coeficiente es +1. Solo k aparece en los dos factores, de modo que su exponente pasa a 2.
EJEMPLO 30
Multiplicación: caso 10
(−u · v) · (−u · v · w)
=+u2 · v2 · w
Los dos coeficientes negativos dan +1. Se obtiene u²v²w; w conserva exponente 1.
10 ejemplos de leyes de signos en la división
Divide los coeficientes y simplifica los factores comunes. Las letras del divisor original deben cumplir las condiciones indicadas, aunque después desaparezcan.
EJEMPLO 31
División: caso 1
(+4 · x2) /(+2 · x)
=+2 · x
Condición: x ≠ 0.
Los coeficientes dan 4/2 = 2 y x²/x = x. La expresión inicial exige x distinto de cero.
EJEMPLO 32
División: caso 2
(+4 · m2 · n2) /(−4 · m · n)
=−m · n
Condición: m ≠ 0, n ≠ 0.
Los coeficientes dan 4/(−4) = −1. Se cancela un factor m y otro n, ambos no nulos.
EJEMPLO 33
División: caso 3
(−6 · x2 · y2) /(+3 · x · y)
=−2 · x · y
Condición: x ≠ 0, y ≠ 0.
Los coeficientes dan −6/3 = −2. Quedan x e y después de cancelar un factor de cada letra.
EJEMPLO 34
División: caso 4
(−12 · f3) /(−3 · f)
=+4 · f2
Condición: f ≠ 0.
Los coeficientes dan (−12)/(−3) = 4. f³/f = f² exige f distinto de cero.
EJEMPLO 35
División: caso 5
(+a2 · x3) /(+a · x)
=+a · x2
Condición: a ≠ 0, x ≠ 0.
Los coeficientes implícitos dan +1; se cancela a y un factor x. Las restricciones originales se mantienen.
EJEMPLO 36
División: caso 6
(+m · n) /(−n · p)
=−m /p
Condición: n ≠ 0, p ≠ 0.
El coeficiente es −1 y se cancela n. Aunque desaparece del resultado, n sigue sin poder valer cero; p tampoco.
EJEMPLO 37
División: caso 7
(−x · y) /(+y · z)
=−x /z
Condición: y ≠ 0, z ≠ 0.
El coeficiente es −1 y se cancela y. Se mantienen y ≠ 0 y z ≠ 0.
EJEMPLO 38
División: caso 8
(−g3 · h2) /(−f · g · h)
=+g2 · h /f
Condición: f ≠ 0, g ≠ 0, h ≠ 0.
Los coeficientes −1 y −1 dan +1. Se cancela un factor g y otro h, con f, g y h distintos de cero.
EJEMPLO 39
División: caso 9
(+a · b2 · c · d) /(+c · d)
=+a · b2
Condición: c ≠ 0, d ≠ 0.
Se cancelan c y d, que deben ser no nulos. a y b sí pueden valer cero.
EJEMPLO 40
División: caso 10
(−p2 · q3 · r · s2) /(−p · q · r · s)
=+p · q2 · s
Condición: p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0.
Los coeficientes −1 y −1 dan +1. Tras cancelar pqrs queda pq²s; todas las letras del divisor original deben ser no nulas.
12 ejemplos con números, potencias y operaciones combinadas
En un producto de factores no nulos, un número par de factores negativos da positivo y uno impar da negativo. Para una base negativa y un exponente entero positivo se aplica la misma idea.
EJEMPLO 41
Dos negativos sumados
(−3) + (−5)
=−(3 + 5)
=−8
Se suman los valores absolutos y se conserva el signo negativo. No se aplica la regla del producto de dos negativos.
EJEMPLO 42
Signos distintos y suma positiva
8 + (−3)
=8 − 3
=5
Se restan los valores absolutos. El mayor es 8 y corresponde al sumando positivo, por eso queda +5.
EJEMPLO 43
Signos distintos y suma negativa
4 + (−9)
=−(9 − 4)
=−5
El mayor valor absoluto es 9 y pertenece al sumando negativo. El resultado es −5.
EJEMPLO 44
Una suma que da cero
7 + (−7)
=0
Los sumandos son opuestos y se cancelan. Cero no es positivo ni negativo.
EJEMPLO 45
Restar un número negativo
(−6) − (−2)
=−6 + 2
=−4
Se suma el opuesto de −2. La resta se convierte en −6 + 2 y el resultado sigue siendo negativo.
EJEMPLO 46
Dos factores negativos en un producto
(−2) · 3 · (−4)
=(−6) · (−4)
=24
Hay dos factores negativos, una cantidad par. Como ningún factor es cero, el producto es positivo.
EJEMPLO 47
Tres factores negativos en un producto
(−2) · (−3) · (−4)
=6 · (−4)
=−24
Hay tres factores negativos, una cantidad impar. El producto es negativo.
EJEMPLO 48
Dividir dos fracciones negativas
((−2) /3) /((−4) /5)
=((−2) /3) · ((−5) /4)
=10 /12
=5 /6
El divisor −4/5 es distinto de cero. Se multiplica por su recíproco −5/4 y se simplifica; el cociente de dos negativos es positivo.
EJEMPLO 49
Base negativa entre paréntesis: exponente par
(−3)2
=(−3) · (−3)
=9
El cuadrado afecta a toda la base −3. Los dos factores negativos producen un resultado positivo.
EJEMPLO 50
Signo menos fuera de la potencia
−32
=−(3 · 3)
=−9
Sin paréntesis alrededor de −3, primero se calcula 3² y después se toma su opuesto. Por eso −3² no es lo mismo que (−3)².
EJEMPLO 51
Base negativa y exponente impar
(−2)3
=(−2) · (−2) · (−2)
=−8
La base −2 aparece tres veces como factor. El número impar de factores negativos da un resultado negativo.
EJEMPLO 52
Combinar potencias, productos, cocientes y restas
6 − 2 · (−3)2 + (−8) /(−4)
=6 − 2 · 9 + 2
=6 − 18 + 2
=−10
Primero se calcula la potencia. Después, multiplicación y división; por último, suma y resta de izquierda a derecha. El divisor es −4, distinto de cero.
Qué cambia cuando aparece el cero
El cero no es positivo ni negativo. Un factor cero hace que el producto sea cero; el numerador puede ser cero si el divisor no lo es.
0 · (−5)
=0
Cualquier número real multiplicado por cero da cero; aquí no corresponde asignar signo positivo ni negativo al resultado.
0 /(−5)
=0
El divisor −5 es distinto de cero, por lo que la división está definida y da cero.
No se puede dividir entre cero
5/0 y 0/0 no están definidos en la aritmética real. No se obtiene ni cero ni infinito como resultado de estas divisiones.
Para 5/0 no hay un número que multiplicado por 0 dé 5. En 0/0 cualquier número multiplicado por 0 da 0, de modo que no se determina un cociente único.
Potencia de exponente cero
(−5)0
=1
Una base distinta de cero elevada a cero vale 1. Esta regla no permite asignar un valor a 0⁰; ese caso queda fuera de esta explicación.
Errores frecuentes
- Usar «menos por menos» al sumar: el ejemplo 41 da −8, no +8.
- Dar por positivo todo lo que comienza con +: con letras, el valor depende de la sustitución.
- Eliminar restricciones al cancelar: en mn/(−np), n y p deben ser no nulos incluso después de obtener −m/p.
- Ignorar los paréntesis de una potencia: compara los ejemplos 49 y 50.
- Resolver todo de izquierda a derecha sin prioridad: primero van los paréntesis y potencias; después multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha; finalmente sumas y restas, también de izquierda a derecha.
Referencias
OpenStax: multiplicación y división de enteros. OpenStax: notación y orden de las operaciones.