ÁLGEBRA · FILAS, COEFICIENTES Y DIAGONALES
El triángulo de Pascal organiza números en filas: cada una empieza y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene justo encima. Sus filas dan los coeficientes para desarrollar potencias de un binomio.
También se conoce como triángulo de Tartaglia. Aquí aprenderás a construirlo, elegir la fila correcta, aplicar los coeficientes y encontrar la relación con Fibonacci mediante diagonales concretas.
La punta es la fila n = 0. En cada fila las posiciones se numeran k = 0, 1, …, n; por eso la fila n contiene n + 1 números.
Fila 4 · 5 casillas · suma 16
El dibujo superior muestra hasta la fila 7; el selector permite consultar hasta la 10.
Fila 0: 1
Fila 1: 1, 1
Fila 2: 1, 2, 1
Fila 3: 1, 3, 3, 1
Fila 4: 1, 4, 6, 4, 1
Fila 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1
Fila 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
Fila 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Fila 8: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
Fila 9: 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1
Fila 10: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1
La fila 0 contiene solo 1 y la fila 1 contiene 1, 1. En aritmética, una base distinta de cero elevada a 0 vale 1; esa regla no resuelve por sí sola 0⁰. Como polinomio formal, la potencia de exponente cero se define como el polinomio constante 1.
Con base x + 1, la correspondencia inicial es:
EJEMPLO 01
Fila 3: 1, 3, 3, 1
Extremos: 1 y 1
Interiores: 1 + 3 = 4; 3 + 3 = 6; 3 + 1 = 4
Fila 4: 1, 4, 6, 4, 1
Se suman vecinos de una misma fila y se coloca cada suma entre ellos, en la fila siguiente. Los extremos se mantienen en 1.
EJEMPLO 02
Fila 4: 1, 4, 6, 4, 1
Interiores: 1 + 4 = 5; 4 + 6 = 10; 6 + 4 = 10; 4 + 1 = 5
Fila 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1
La fila 5 tiene seis números. La cantidad de casillas es siempre n + 1 cuando la fila se numera desde cero.
EJEMPLO 03
En la fila n = 7, la posición k = 2 contiene 21: es la tercera casilla desde la izquierda. Se escribe C(7,2). El cálculo 7 · 6 / (2 · 1) confirma ese valor; n y k empiezan en cero.
Para (a + b)ⁿ, usa la fila n. Empieza con aⁿ y baja su exponente de uno en uno; el de b sube de 0 a n. Multiplica cada término por el número correspondiente de la fila.
En la posición k, el término es C(n,k) · an−k · bk. C(n,k) se lee «n sobre k». n es un entero no negativo y k va de 0 a n. Cuando aparecen coeficientes dentro del binomio, también se elevan a la potencia indicada.
EJEMPLO 04
La fila 2 es 1, 2, 1. La potencia de x baja de 2 a 0 y la de a sube de 0 a 2. Los coeficientes 1 de los extremos se omiten al escribir el resultado.
EJEMPLO 05
La fila 3 es 1, 3, 3, 1. Es la cuarta fila si cuentas físicamente desde la punta, pero su índice y el exponente son 3.
EJEMPLO 06
Se usa la fila 4: 1, 4, 6, 4, 1. En cada sumando, los exponentes de x e y suman 4; el término central lleva x²y².
EJEMPLO 07
La fila conserva sus números positivos. Los signos alternos proceden de las potencias de −2; no se cambian los números del triángulo.
EJEMPLO 08
La fila 1, 3, 3, 1 es el patrón previo a sustituir 2x y 3. Los coeficientes finales son 8, 36, 54 y 27; no tienen por qué coincidir con la fila.
EJEMPLO 09
Se aplica la fila 3 a los bloques x/2 y −y. El cuadrado y el cubo de 1/2 producen 1/4 y 1/8; los signos vienen de −y.
EJEMPLO 10
Busca el coeficiente de x³y² en (2x + y)⁵. En la fila 5, k = 2 da 10 y corresponde a (2x)³y². Al elevar 2 al cubo, el coeficiente completo es 10 · 8 = 80.
La simetría y la suma de sus casillas ayudan a revisar el resultado. Son controles útiles, aunque cumplirlos no sustituye comprobar cada casilla.
EJEMPLO 11
Fila 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
k = 0 y k = 7: 1
k = 1 y k = 6: 7
k = 2 y k = 5: 21
k = 3 y k = 4: 35
Las posiciones k y n − k contienen el mismo número. Leer la fila al revés no cambia sus valores.
EJEMPLO 12
La suma de la fila n es 2ⁿ. En el desarrollo de (1 + 1)ⁿ, cada producto de potencias vale 1 y quedan sumados todos los coeficientes. Aquí n = 6.
La sucesión empieza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. En Pascal aparece al sumar diagonales poco inclinadas. La simple suma de dos vecinos usada para construir una fila no es, por sí sola, esa sucesión.
En esta vista las filas están alineadas por la posición k. Las casillas marcadas con A suman 8 y las marcadas con B suman 13; las coordenadas se detallan en los ejemplos.
A: 1 + 4 + 3 = 8. B: 1 + 5 + 6 + 1 = 13. El color acompaña las letras; no es necesario distinguir colores para seguir las sumas.
EJEMPLO 13
Suma las casillas (n,k) = (5,0), (4,1) y (3,2). Sus valores son 1, 4 y 3. Se obtiene F₆ = 8, usando F₀ = 0 y F₁ = 1. No se está sumando una fila completa.
EJEMPLO 14
La siguiente diagonal usa (6,0), (5,1), (4,2) y (3,3). Sus valores suman F₇ = 13. Son casillas de varias filas, no dos números cualesquiera situados uno junto a otro.
OpenStax: coeficientes y teorema del binomio. Wolfram MathWorld: triángulo de Pascal y diagonales de Fibonacci.