Cuadrado de una suma
(a + b)2
=a2 + 2 · a · b + b2
Cuadrado del primer término, más el doble producto, más el cuadrado del segundo.
ÁLGEBRA · EL DOBLE PRODUCTO
Binomios al cuadrado: 18 ejemplos paso a paso
Elevar un binomio al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo. El desarrollo incluye los cuadrados de sus dos términos y su doble producto: (a + b)² = a² + 2ab + b².
Los ejemplos siguientes cubren sumas, restas, coeficientes, fracciones y varias variables. Al final verás una aplicación numérica y cómo usar la identidad con expresiones compuestas.
Las dos fórmulas
Estas identidades valen para todos los valores reales de a y b. Identifica los dos términos completos antes de sustituir: un término puede ser 3x, xy o x², no necesariamente una sola letra.
Cuadrado de una resta
(a − b)2
=a2 − 2 · a · b + b2
La resta cambia el signo del doble producto. El último término es +b².
También puedes tratar una resta como suma de un término negativo: en (a − b)², el segundo término es −b. Usa ese signo en el doble producto y conserva los paréntesis al elevarlo al cuadrado.
· significa multiplicación. Al copiar, se usa * para multiplicar y ^ para las potencias; cada bloque incluye su explicación.
De dónde sale el doble producto
Al multiplicar (x + a) por sí mismo aparecen dos productos cruzados, xa y ax. Como son iguales, se suman en 2ax:
Comprobación por multiplicación
(x + a)2
=(x + a) · (x + a)
=x · x + x · a + a · x + a · a
=x · x + 2 · a · x + a · a
=x2 + 2 · a · x + a2
La distributiva produce cuatro productos; los dos cruzados se reúnen. Esta comprobación explica la fórmula y ayuda a detectar un término central omitido.
En el patrón con dos monomios no semejantes y no nulos, el resultado es un trinomio cuadrado perfecto. Si a o b representan bloques compuestos, aún hay que desarrollar y reducir, como en el ejemplo 18.
10 ejemplos con letras, productos y potencias
Cada desarrollo muestra la sustitución en la fórmula antes del resultado. Las restas conservan el signo del segundo término dentro de los paréntesis.
EJEMPLO 01
Una suma con término independiente 1
(x +1)2
=(x)2 +2 · (x) · (1) +(1)2
=x2 +2 · x +1
El doble producto es 2 · x · 1 = 2x. No se omite aunque uno de los términos sea 1.
EJEMPLO 02
Dos letras en una suma
(x +a)2
=(x)2 +2 · (x) · (a) +(a)2
=x2 +2 · a · x +a2
El término central es 2xa, que también se puede escribir 2ax. Cambiar el orden de los factores no cambia el resultado.
EJEMPLO 03
Una potencia dentro del binomio
(x2 +y)2
=(x2)2 +2 · (x2) · (y) +(y)2
=x4 +2 · x2 · y +y2
El primer término completo es x². Su cuadrado es x⁴ y su doble producto con y es 2x²y.
EJEMPLO 04
El patrón con a y b
(a +b)2
=(a)2 +2 · (a) · (b) +(b)2
=a2 +2 · a · b +b2
Los productos ab y ba son iguales y se reúnen como 2ab. La fórmula vale para todos los valores reales de a y b.
EJEMPLO 05
Una resta con término independiente 3
(y −3)2
=(y)2 +2 · (y) · ( −3) +( −3)2
=y2 −6 · y +9
Se toma el segundo término con su signo: −3. El doble producto es −6y y (−3)² = 9.
EJEMPLO 06
Un coeficiente en el segundo término
(b +2 · c)2
=(b)2 +2 · (b) · (2 · c) +(2 · c)2
=b2 +4 · b · c +4 · c2
El segundo término es 2c: su cuadrado es 4c² y el doble producto es 4bc.
EJEMPLO 07
Una resta con término independiente 7
(x −7)2
=(x)2 +2 · (x) · ( −7) +( −7)2
=x2 −14 · x +49
El término central es 2 · x · (−7) = −14x. El último término sigue siendo positivo: (−7)² = 49.
EJEMPLO 08
El primer término es un producto
(x · y +2)2
=(x · y)2 +2 · (x · y) · (2) +(2)2
=x2 · y2 +4 · x · y +4
Se eleva al cuadrado todo el producto xy: (xy)² = x²y². El doble producto con 2 es 4xy.
EJEMPLO 09
Dos productos con una resta
(w · x −y · z)2
=(w · x)2 +2 · (w · x) · ( −y · z) +( −y · z)2
=w2 · x2 −2 · w · x · y · z +y2 · z2
El primer término es wx y el segundo es −yz. Al cuadrar, se elevan todas las variables; el doble producto es −2wxyz.
EJEMPLO 10
Una resta con término independiente 1
(a −1)2
=(a)2 +2 · (a) · ( −1) +( −1)2
=a2 −2 · a +1
El doble producto es −2a y el cuadrado de −1 es 1. Un signo menos dentro del binomio no vuelve negativo el último cuadrado.
8 variantes y aplicaciones
Estos casos amplían la práctica con coeficientes, fracciones y signos, y muestran dos aplicaciones de la identidad más allá del binomio escrito con letras.
EJEMPLO 11
Un coeficiente que también se eleva al cuadrado
(3 · x + 5)2
=(3 · x)2 + 2 · (3 · x) · 5 + 52
=9 · x2 + 30 · x + 25
(3x)² = 9x², no 3x². En el término central intervienen los tres factores: 2 · 3x · 5 = 30x.
EJEMPLO 12
Coeficientes en los dos términos de una resta
(2 · a − 3 · b)2
=(2 · a)2 − 2 · (2 · a) · (3 · b) + (3 · b)2
=4 · a2 − 12 · a · b + 9 · b2
Se cuadran 2 y 3 junto con sus variables. El doble producto tiene coeficiente −2 · 2 · 3 = −12.
EJEMPLO 13
Una suma con dos fracciones
((1/2) · x + (1/3))2
=((1/2) · x)2 + 2 · ((1/2) · x) · (1/3) + (1/3)2
=(1/4) · x2 + (1/3) · x + (1/9)
Se cuadran numerador y denominador. El doble producto es 2 · (x/2) · (1/3) = x/3.
EJEMPLO 14
Una resta con fracciones y dos variables
((3/4) · x − (2/5) · y)2
=((3/4) · x)2 − 2 · ((3/4) · x) · ((2/5) · y) + ((2/5) · y)2
=(9/16) · x2 − (3/5) · x · y + (4/25) · y2
El coeficiente central es −2 · 3/4 · 2/5 = −12/20 = −3/5. Se conservan las dos variables, xy.
EJEMPLO 15
Los dos términos tienen signo negativo
( −2 · x − 3)2
=( −2 · x)2 + 2 · ( −2 · x) · ( −3) + ( −3)2
=4 · x2 + 12 · x + 9
El producto de los dos términos negativos es positivo: 2 · (−2x) · (−3) = 12x. También puede verse que (−2x − 3)² = (2x + 3)².
EJEMPLO 16
Distintas potencias de una misma variable
(x2 − 2 · x)2
=(x2)2 − 2 · x2 · (2 · x) + (2 · x)2
=x4 − 4 · x3 + 4 · x2
En el término central se multiplican x² y x, por lo que aparece x³. El cuadrado del binomio no se obtiene cuadrando cada término por separado.
EJEMPLO 17
Aplicación numérica: calcular 98²
982
=(100 − 2)2
=1002 − 2 · 100 · 2 + 22
=10000 − 400 + 4
=9604
Se escribe 98 como 100 − 2. El doble producto resta 400 y el último cuadrado suma 4. Es una aplicación aritmética de la identidad, no un polinomio con dos términos distintos.
EJEMPLO 18
La misma identidad aplicada a dos bloques
((x + 1) + 2 · y)2
=(x + 1)2 + 2 · (x + 1) · (2 · y) + (2 · y)2
=x2 + 2 · x + 1 + 4 · x · y + 4 · y + 4 · y2
Aquí se toma x + 1 como primer bloque y 2y como segundo. Al desarrollar aparecen seis términos. La expresión interior, x + 1 + 2y, es un trinomio: este caso amplía el uso de la identidad a bloques compuestos y no cambia la definición de binomio.
Errores frecuentes al cuadrar un binomio
- Omitir el término central: (x + 1)² = x² + 2x + 1, no x² + 1.
- Restar el último cuadrado: (y − 3)² termina en +9, no en −9.
- Olvidar el coeficiente: (3x)² = 9x², no 3x².
- Confundir cuadrado y conjugados: (x − 7)² da x² − 14x + 49; (x + 7)(x − 7) da x² − 49.
- Perder paréntesis: (−3)² = 9, mientras que −3² = −9.
Comprueba el caso más delicado multiplicando
Para el ejemplo con fracciones y resta, la distributiva recupera el mismo resultado:
Comprobación de la resta con fracciones
((3/4) · x − (2/5) · y) · ((3/4) · x − (2/5) · y)
=(9/16) · x2 − (3/10) · x · y − (3/10) · x · y + (4/25) · y2
=(9/16) · x2 − (3/5) · x · y + (4/25) · y2
Los dos productos cruzados son −(3/10)xy. Juntos dan −(6/10)xy = −(3/5)xy. Comprobar solo el primer y el último cuadrado no basta.
Al comprobar, deben coincidir todos los coeficientes y exponentes. Probar un único valor de la variable puede revelar un error, pero no demuestra una identidad.
Referencia
OpenStax: cuadrados de binomios y productos especiales, para los patrones de suma y resta y la comprobación por distributiva.