Término central positivo
a2 + 2 · a · b + b2
=(a + b)2
Cuadrado del primero, más el doble producto, más el cuadrado del segundo: se factoriza como el cuadrado de la suma.
ÁLGEBRA · RECONOCER Y FACTORIZAR
Trinomio cuadrado perfecto: 18 ejemplos resueltos
Un trinomio cuadrado perfecto se puede escribir como el cuadrado de un binomio. Para reconocerlo, busca dos términos que sean cuadrados y comprueba que el tercero es el doble producto de sus bases, con signo positivo o negativo.
No necesitas conocer de antemano de qué multiplicación procede. Estos ejemplos parten del trinomio, identifican el patrón y llegan al binomio al cuadrado. Al final encontrarás tres casos parecidos que no cumplen la regla.
Cómo saber si un trinomio es cuadrado perfecto
- Reordena si hace falta. Conserva el signo de cada término.
- Identifica dos cuadrados. Por ejemplo, 9x² = (3x)² y 25 = 5².
- Comprueba el término restante. Con esas bases, el doble producto es 2 · 3x · 5 = 30x. Debe aparecer +30x o −30x, según la fórmula.
- Escribe el cuadrado y compruébalo. Usa los dos bloques completos, incluidos sus coeficientes.
Término central negativo
a2 − 2 · a · b + b2
=(a − b)2
El signo menos afecta al doble producto. El último cuadrado b² conserva signo positivo.
Las identidades valen para variables reales. Aquí se reconocen cuadrados de expresiones polinómicas; no basta con que una expresión dé un número cuadrado al sustituir un valor.
Para identificar una base cuadrada basta comprobar, por ejemplo, que (3x)² = 9x². No estamos afirmando que la raíz cuadrada principal de 9x² sea siempre 3x: esa raíz es 3|x|. Los bloques del binomio pueden tomar valores negativos.
· indica multiplicación. La copia usa * y ^ y conserva fracciones, signos y explicación.
10 ejemplos básicos y con potencias
Cada desarrollo puede leerse al revés para comprobar el resultado: elevar el binomio al cuadrado debe recuperar los tres términos iniciales.
EJEMPLO 01
Un trinomio con término central positivo
x2 +2 · x +1
=(x)2 +2 · (x) · (1) +(1)2
=(x +1)2
Los cuadrados son x² y 1². El término restante es 2 · x · 1 = 2x, así que el binomio es x + 1.
EJEMPLO 02
Dos letras en el patrón
x2 +2 · b · x +b2
=(x)2 +2 · (x) · (b) +(b)2
=(x +b)2
Los cuadrados son x² y b²; el doble producto es 2xb, igual a 2bx. Las letras pueden aparecer en otro orden sin cambiar el producto.
EJEMPLO 03
Término central negativo
x2 −6 · x +9
=(x)2 +2 · (x) · (−3) +(−3)2
=(x −3)2
x² y 9 son los cuadrados de x y 3. El término central es −2 · x · 3 = −6x: corresponde a (x − 3)². El último término sigue siendo positivo.
EJEMPLO 04
Reconocer el cuadrado de una resta
x2 −8 · x +16
=(x)2 +2 · (x) · (−4) +(−4)2
=(x −4)2
x² y 16 corresponden a x y 4. Como −8x = −2 · x · 4, se factoriza como (x − 4)².
EJEMPLO 05
Un término independiente grande
x2 +20 · x +100
=(x)2 +2 · (x) · (10) +(10)2
=(x +10)2
El término 100 es 10², no 100². El doble producto es 2 · x · 10 = 20x; por eso el segundo término del binomio es 10.
EJEMPLO 06
Un producto de variables como base
x2 · y2 +2 · x · y +1
=(x · y)2 +2 · (x · y) · (1) +(1)2
=(x · y +1)2
x²y² = (xy)². Con los bloques xy y 1 se obtiene 2xy como término central. No se toma solo x ni solo y.
EJEMPLO 07
El segundo término lleva coeficiente
y2 +4 · x · y +4 · x2
=(y)2 +2 · (y) · (2 · x) +(2 · x)2
=(y +2 · x)2
Los cuadrados son y² y (2x)² = 4x². Su doble producto es 2 · y · 2x = 4xy. El coeficiente 2 forma parte del binomio.
EJEMPLO 08
Otro cuadrado con resta
x2 −16 · x +64
=(x)2 +2 · (x) · (−8) +(−8)2
=(x −8)2
64 = 8² y −16x = −2 · x · 8. El signo menos queda dentro del binomio; el cuadrado final no es negativo.
EJEMPLO 09
La identidad con a y b
a2 +2 · a · b +b2
=(a)2 +2 · (a) · (b) +(b)2
=(a +b)2
a² y b² son los cuadrados, y 2ab es su doble producto. Esta es la identidad general leída de trinomio a binomio.
EJEMPLO 10
Potencias de grado cuatro
a4 +2 · a2 · b2 +b4
=(a2)2 +2 · (a2) · (b2) +(b2)2
=(a2 +b2)2
a⁴ = (a²)² y b⁴ = (b²)². El doble producto es 2a²b². Un trinomio cuadrado perfecto no tiene que ser de grado dos.
6 variantes de factorización
El mismo patrón admite coeficientes, fracciones, varias variables y potencias mayores. Reordenar o extraer un factor común puede ayudar a reconocerlo.
EJEMPLO 11
Coeficientes en los dos cuadrados
9 · x2 + 30 · x · y + 25 · y2
=(3 · x)2 + 2 · (3 · x) · (5 · y) + (5 · y)2
=(3 · x + 5 · y)2
Los bloques son 3x y 5y. El doble producto 2 · 3x · 5y es 30xy, exactamente el término central. Se cuadran también los coeficientes.
EJEMPLO 12
Coeficientes con término central negativo
16 · a2 − 56 · a · b + 49 · b2
=(4 · a)2 − 2 · (4 · a) · (7 · b) + (7 · b)2
=(4 · a − 7 · b)2
Los cuadrados son (4a)² y (7b)². El doble producto con signo negativo es −56ab; el binomio lleva resta. Más abajo se comprueba multiplicando los dos factores.
EJEMPLO 13
Un trinomio con fracciones
(1/4) · x2 − (2/3) · x · y + (4/9) · y2
=((1/2) · x)2 − 2 · ((1/2) · x) · ((2/3) · y) + ((2/3) · y)2
=((1/2) · x − (2/3) · y)2
Los cuadrados corresponden a x/2 y 2y/3. Su doble producto es 2xy/3; con el signo menos coincide con el término central. Numeradores y denominadores se elevan al cuadrado.
EJEMPLO 14
Reconocer el patrón con los términos desordenados
25 − 20 · t + 4 · t2
=4 · t2 − 20 · t + 25
=(2 · t)2 − 2 · (2 · t) · 5 + 52
=(2 · t − 5)2
Primero se reordena sin cambiar ningún signo. Los cuadrados que interesan son 4t² y 25, aunque no aparezcan escritos en el orden habitual. También puede escribirse (5 − 2t)².
EJEMPLO 15
Potencias altas y dos variables
4 · x6 + 12 · x3 · y2 + 9 · y4
=(2 · x3)2 + 2 · (2 · x3) · (3 · y2) + (3 · y2)2
=(2 · x3 + 3 · y2)2
Al cuadrar 2x³ resulta 4x⁶, y al cuadrar 3y² resulta 9y⁴. El producto central debe contener x³y², no x⁶y⁴.
EJEMPLO 16
Sacar un factor común que también es un cuadrado
4 · x2 + 24 · x + 36
=4 · (x2 + 6 · x + 9)
=4 · (x + 3)2
=(2 · x + 6)2
Se extrae 4 y se reconoce el trinomio interior. Como 4 = 2², puede incorporarse dentro del cuadrado. Si se deja el factor fuera, 4(x + 3)² es igualmente correcto; no debe perderse el 4.
2 ejercicios para completar un cuadrado perfecto
En estos ejercicios se pide encontrar un término que falta. El doble producto permite determinarlo.
EJEMPLO 17
Completar el término central: dos soluciones
x2 + 14 · x + 49
=x2 + 2 · x · 7 + 72
=(x + 7)2
En x² + kx + 49, ¿qué valores de k producen un cuadrado perfecto? Los bloques x y 7 dan 2 · x · 7 = 14x. Esta es la solución k = 14; k = −14 también sirve y se muestra a continuación.
x2 − 14 · x + 49
=x2 − 2 · x · 7 + 72
=(x − 7)2
El mismo ejercicio x² + kx + 49 tiene también la solución k = −14. Las dos posibilidades son k = 14 y k = −14; cambian el signo del binomio.
EJEMPLO 18
Completar el término independiente
x2 − 10 · x + 25
=x2 − 2 · x · 5 + 52
=(x − 5)2
En x² − 10x + c, el término central obliga a que el segundo bloque sea −5: −10/2 = −5. Por tanto, c = (−5)² = 25. Añadir 25 resuelve el ejercicio; no convierte en idéntica la expresión inicial x² − 10x sin compensar ese cambio.
3 casos que no son trinomios cuadrados perfectos
Dos extremos cuadrados no bastan, y poder factorizar no significa que los factores sean iguales. Comprueba siempre la expresión completa.
1. El término central no es el doble producto
4 · x2 + 6 · x + 9
=(2 · x + 3)2 − 6 · x
Las bases 2x y 3 exigirían 12x, no 6x. Por eso queda la corrección −6x fuera del cuadrado: el trinomio inicial no es (2x + 3)² ni (2x − 3)².
2. Se factoriza, pero los factores son distintos
x2 + 5 · x + 4
=(x + 1) · (x + 4)
Los extremos x² y 4 exigirían +4x o −4x, no 5x. Se puede factorizar como (x + 1)(x + 4), pero no como el cuadrado de un binomio polinómico.
3. El término independiente es negativo
x2 − 6 · x − 9
=(x − 3)2 − 18
(x − 3)² termina en +9, no en −9. Además, al sustituir x = 0 el trinomio vale −9: no puede ser el cuadrado de una expresión real para todos los valores de x.
Comprobar la factorización multiplicando
Volvamos al ejemplo 12. Multiplica los dos factores completos para comprobar tanto los cuadrados como el término central:
Verificación de (4a − 7b)²
(4 · a − 7 · b)2
=(4 · a − 7 · b) · (4 · a − 7 · b)
=16 · a2 − 28 · a · b − 28 · a · b + 49 · b2
=16 · a2 − 56 · a · b + 49 · b2
Los dos productos cruzados son −28ab. Al sumarlos se obtiene −56ab; el último producto (−7b)(−7b) da +49b². Se recupera exactamente el trinomio inicial.
Una sustitución numérica puede encontrar un error; una coincidencia aislada no prueba una identidad. La multiplicación comprueba la factorización para todos los valores de las variables.
Trinomio cuadrado perfecto y trinomio al cuadrado
Trinomio cuadrado perfecto describe una expresión que puede escribirse como el cuadrado de un binomio, por ejemplo x² + 2x + 1 = (x + 1)². Trinomio al cuadrado es la operación de elevar una expresión de tres términos, como (x + y + 1)². Son conceptos distintos.
Otros trinomios pueden resultar de productos de binomios diferentes. Su procedencia no decide por sí sola si son cuadrados perfectos: se comprueba el patrón en la expresión.
Errores que conviene evitar
- Ignorar el término central: debe coincidir exactamente con ±2ab, también en coeficientes y exponentes.
- Elegir mal las bases: 4x² es el cuadrado de 2x, y x⁴ es el cuadrado de x².
- Cambiar el signo del último término: (a − b)² contiene +b².
- Perder un factor común: 4(x + 3)² no es (x + 3)².
- Completar cambiando la expresión sin avisar: añadir un término es válido si el ejercicio lo pide; para una identidad hay que compensarlo.
Referencia
OpenStax: factorización de trinomios cuadrados perfectos y comprobación del doble producto.