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ÁLGEBRA · TRES CUADRADOS Y TRES DOBLES PRODUCTOS

Trinomio al cuadrado: 17 ejemplos paso a paso

Elevar un trinomio al cuadrado es multiplicarlo por sí mismo. El resultado se obtiene sumando los cuadrados de sus tres términos y el doble producto de cada pareja: primero con segundo, primero con tercero y segundo con tercero.

Los ejemplos muestran cómo cuidar los signos, elevar coeficientes y potencias, y reducir términos semejantes. Algunos resultados tienen seis términos; otros tienen menos porque se combinan o se cancelan.

Fórmula del trinomio al cuadrado

Identifica los tres términos completos, con coeficientes y signos. Llama a, b y c a esos bloques:

Tres cuadrados y tres dobles productos

(a + b + c)2
=a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Cuadra cada bloque y añade el doble de las tres parejas diferentes. No omitas ninguna pareja ni cuentes una de ellas dos veces.

Patrón con dos restas

(a − b − c)2
=a2 + b2 + c2 − 2 · a · b − 2 · a · c + 2 · b · c

Al tomar los bloques a, −b y −c, el producto de los dos negativos es positivo. Los cuadrados b² y c² también son positivos.

La identidad vale para todos los valores reales de las variables. Si una expresión lleva un signo negativo, inclúyelo dentro de los paréntesis al elevarla o multiplicarla. Después, reduce solo términos con la misma parte literal y los mismos exponentes.

· indica multiplicación. La copia usa * y ^. En los diez primeros ejemplos, «Ver los seis sumandos» identifica cada operación; la copia incluye también ese desglose.

10 ejemplos con letras y potencias

La fórmula organiza los sumandos, pero el orden final puede cambiar para reunir términos semejantes o presentar las potencias de mayor a menor.

EJEMPLO 01

Reducir dos términos con x²

(x2 +2 · x +1)2
=x4 +4 · x2 +1 +4 · x3 +2 · x2 +4 · x
=x4 +4 · x3 +6 · x2 +4 · x +1

La regla produce seis sumandos, pero 4x² y 2x² se reúnen en 6x². El resultado tiene cinco términos.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (x2)2 = x4
  • Cuadrado del segundo: (2 · x)2 = 4 · x2
  • Cuadrado del tercero: (1)2 = 1
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (x2) · (2 · x) = 4 · x3
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (x2) · (1) = 2 · x2
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (2 · x) · (1) = 4 · x

EJEMPLO 02

Tres letras sin términos semejantes

(x +a +b)2
=x2 +a2 +b2 +2 · a · x +2 · b · x +2 · a · b

Las seis partes literales son distintas, por lo que no se pueden reducir. El orden de los productos ax y xa no cambia su valor.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (x)2 = x2
  • Cuadrado del segundo: (a)2 = a2
  • Cuadrado del tercero: (b)2 = b2
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (x) · (a) = 2 · a · x
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (x) · (b) = 2 · b · x
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (a) · (b) = 2 · a · b

EJEMPLO 03

La identidad general

(a +b +c)2
=a2 +b2 +c2 +2 · a · b +2 · a · c +2 · b · c

Se incluyen las tres parejas diferentes: ab, ac y bc. Cada pareja aparece dos veces en la multiplicación completa.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (a)2 = a2
  • Cuadrado del segundo: (b)2 = b2
  • Cuadrado del tercero: (c)2 = c2
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (a) · (b) = 2 · a · b
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (a) · (c) = 2 · a · c
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (b) · (c) = 2 · b · c

EJEMPLO 04

Una potencia en el primer término

(x2 +y +z)2
=x4 +y2 +z2 +2 · x2 · y +2 · x2 · z +2 · y · z

Al cuadrar x² se obtiene x⁴. Los productos con y y z conservan x² porque no se está cuadrando ese factor en ellos.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (x2)2 = x4
  • Cuadrado del segundo: (y)2 = y2
  • Cuadrado del tercero: (z)2 = z2
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (x2) · (y) = 2 · x2 · y
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (x2) · (z) = 2 · x2 · z
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (y) · (z) = 2 · y · z

EJEMPLO 05

Una potencia en el segundo término

(m +n2 +o)2
=m2 +n4 +o2 +2 · m · n2 +2 · m · o +2 · n2 · o

El segundo bloque es n² completo: su cuadrado es n⁴. Los productos con m y o contienen n².

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (m)2 = m2
  • Cuadrado del segundo: (n2)2 = n4
  • Cuadrado del tercero: (o)2 = o2
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (m) · (n2) = 2 · m · n2
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (m) · (o) = 2 · m · o
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (n2) · (o) = 2 · n2 · o

EJEMPLO 06

Un término cúbico y dos términos más

(x3 +2 · x +3)2
=x6 +4 · x2 +9 +4 · x4 +6 · x3 +12 · x
=x6 +4 · x4 +6 · x3 +4 · x2 +12 · x +9

Los tres cuadrados son x⁶, 4x² y 9. Los tres dobles productos son 4x⁴, 6x³ y 12x. Se ordenan por potencias sin cambiar qué operación produce cada uno.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (x3)2 = x6
  • Cuadrado del segundo: (2 · x)2 = 4 · x2
  • Cuadrado del tercero: (3)2 = 9
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (x3) · (2 · x) = 4 · x4
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (x3) · (3) = 6 · x3
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (2 · x) · (3) = 12 · x

EJEMPLO 07

Tres términos que ya son cuadrados

(a2 +b2 +c2)2
=a4 +b4 +c4 +2 · a2 · b2 +2 · a2 · c2 +2 · b2 · c2

Se cuadran a², b² y c² para obtener las cuartas potencias. En las parejas se multiplican dos cuadrados distintos.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (a2)2 = a4
  • Cuadrado del segundo: (b2)2 = b4
  • Cuadrado del tercero: (c2)2 = c4
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (a2) · (b2) = 2 · a2 · b2
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (a2) · (c2) = 2 · a2 · c2
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (b2) · (c2) = 2 · b2 · c2

EJEMPLO 08

Una resta al final

(f +g −h)2
=f2 +g2 +h2 +2 · f · g −2 · g · h −2 · f · h

Los bloques son f, g y −h. El cuadrado de −h es h²; los productos con f y con g son −2fh y −2gh, respectivamente.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (f)2 = f2
  • Cuadrado del segundo: (g)2 = g2
  • Cuadrado del tercero: (−h)2 = h2
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (f) · (g) = 2 · f · g
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (f) · (−h) = −2 · f · h
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (g) · (−h) = −2 · g · h

EJEMPLO 09

Una resta en el segundo término

(c −d +4)2
=c2 +d2 +16 −2 · c · d +8 · c −8 · d
=c2 +d2 −2 · c · d +8 · c −8 · d +16

Los bloques son c, −d y 4. El cuadrado del tercero es 16; los productos cruzados son −2cd, +8c y −8d.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (c)2 = c2
  • Cuadrado del segundo: (−d)2 = d2
  • Cuadrado del tercero: (4)2 = 16
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (c) · (−d) = −2 · c · d
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (c) · (4) = 8 · c
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (−d) · (4) = −8 · d

EJEMPLO 10

Un producto de variables como primer término

(x · y +a +1)2
=x2 · y2 +a2 +1 +2 · a · x · y +2 · x · y +2 · a
=x2 · y2 +a2 +2 · a · x · y +2 · x · y +2 · a +1

El primer bloque es xy completo. El tercer cuadrado es 1; los productos cruzados son 2axy, 2xy y 2a.

Ver los seis sumandos
  • Cuadrado del primero: (x · y)2 = x2 · y2
  • Cuadrado del segundo: (a)2 = a2
  • Cuadrado del tercero: (1)2 = 1
  • Doble del primero por el segundo: 2 · (x · y) · (a) = 2 · a · x · y
  • Doble del primero por el tercero: 2 · (x · y) · (1) = 2 · x · y
  • Doble del segundo por el tercero: 2 · (a) · (1) = 2 · a

7 variantes y aplicaciones

Ahora intervienen varios signos, coeficientes fraccionarios, cancelaciones, cálculo numérico y un factor común.

EJEMPLO 11

Coeficientes en los tres términos

(2 · x − 3 · y + 4 · z)2
=(2 · x)2 + (−3 · y)2 + (4 · z)2 + 2 · (2 · x) · (−3 · y) + 2 · (2 · x) · (4 · z) + 2 · (−3 · y) · (4 · z)
=4 · x2 + 9 · y2 + 16 · z2 − 12 · x · y + 16 · x · z − 24 · y · z

Los cuadrados son positivos. Los dobles productos que incluyen −3y son negativos; el producto entre 2x y 4z es positivo.

EJEMPLO 12

Dos términos negativos

(a − 2 · b − 3 · c)2
=a2 + (−2 · b)2 + (−3 · c)2 + 2 · a · (−2 · b) + 2 · a · (−3 · c) + 2 · (−2 · b) · (−3 · c)
=a2 + 4 · b2 + 9 · c2 − 4 · a · b − 6 · a · c + 12 · b · c

El último producto es positivo: 2 · (−2b) · (−3c) = 12bc. No todos los dobles productos llevan el mismo signo.

EJEMPLO 13

Los tres términos son negativos

(−x − y − 1)2
=(−(x + y + 1))2
=(x + y + 1)2
=x2 + y2 + 1 + 2 · x · y + 2 · x + 2 · y

Cambiar el signo de toda la base no cambia su cuadrado. Los tres cuadrados y los tres dobles productos tienen coeficientes positivos en este caso.

EJEMPLO 14

Fracciones y una resta

((1/2) · x − (1/3) · y + (1/4))2
=((1/2) · x)2 + (−(1/3) · y)2 + (1/4)2 + 2 · ((1/2) · x) · (−(1/3) · y) + 2 · ((1/2) · x) · (1/4) + 2 · (−(1/3) · y) · (1/4)
=(1/4) · x2 + (1/9) · y2 + (1/16) − (1/3) · x · y + (1/4) · x − (1/6) · y

Los cuadrados de los coeficientes son 1/4, 1/9 y 1/16. Los dobles productos dan −xy/3, +x/4 y −y/6. Se conservan los denominadores y los signos al simplificar.

EJEMPLO 15

Cancelación de términos semejantes

(x2 + x − (1/2))2
=x4 + x2 + (1/4) + 2 · x3 − x2 − x
=x4 + 2 · x3 − x + (1/4)

El cuadrado de x aporta +x², pero el doble producto de x² y −1/2 aporta −x². Se cancelan y quedan cuatro términos. La regla de seis sumandos no garantiza seis términos al final.

EJEMPLO 16

Aplicación numérica: 98 al cuadrado

982
=(100 − 3 + 1)2
=10000 + 9 + 1 − 600 + 200 − 6
=9604

Se descompone 98 en 100 − 3 + 1. Los tres dobles productos son −600, +200 y −6. Es una aplicación numérica de la identidad; el resultado se comprueba también multiplicando 98 por 98.

EJEMPLO 17

Extraer un factor común antes de elevar

(2 · x2 − 4 · x + 6)2
=(2 · (x2 − 2 · x + 3))2
=4 · (x2 − 2 · x + 3)2
=4 · (x4 + 4 · x2 + 9 − 4 · x3 + 6 · x2 − 12 · x)
=4 · x4 − 16 · x3 + 40 · x2 − 48 · x + 36

El factor 2 de la base también se eleva al cuadrado y se convierte en 4. Dentro se reúnen 4x² y 6x²; después se multiplica cada término por 4.

Por qué nueve productos se reúnen en seis sumandos

La multiplicación de tres términos por otros tres genera nueve productos. Al elevar al cuadrado, los productos cruzados coinciden por parejas. Los tres cuadrados aparecen una vez y cada pareja distinta aparece dos veces.

Veámoslo con (x² + x + a)², repartiendo la multiplicación por filas:

Fila 1: multiplicar por x²

(x2) · (x2) +(x2) · (x) +(x2) · (a)
=x4 +x3 +a · x2

x² multiplica a cada uno de los tres términos.

Fila 2: multiplicar por x

(x) · (x2) +(x) · (x) +(x) · (a)
=x3 +x2 +a · x

x multiplica a los mismos tres términos.

Fila 3: multiplicar por a

(a) · (x2) +(a) · (x) +(a) · (a)
=a · x2 +a · x +a2

a multiplica a los mismos tres términos.

Sumar los nueve productos y agrupar

(x2 +x +a)2
=(x2 +x +a) · (x2 +x +a)
=x4 +x3 +a · x2 +x3 +x2 +a · x +a · x2 +a · x +a2
=x4 +2 · x3 +x2 +2 · a · x2 +2 · a · x +a2
=x4 +x2 +a2 +2 · x3 +2 · a · x2 +2 · a · x

x³ aparece dos veces, ax² dos veces y ax dos veces. Se reúnen esas parejas; la última línea muestra los tres cuadrados seguidos de los tres dobles productos.

Comprobar agrupando dos términos

También puedes agrupar los dos primeros términos como un bloque y aplicar dos veces el cuadrado de un binomio. Así se comprueba el ejemplo 8 por otra organización del cálculo:

Verificar (f + g − h)²

(f + g − h)2
=((f + g) − h)2
=(f + g)2 − 2 · (f + g) · h + h2
=f2 + 2 · f · g + g2 − 2 · f · h − 2 · g · h + h2
=f2 + g2 + h2 + 2 · f · g − 2 · f · h − 2 · g · h

Primero se trata f + g como un bloque. Después se desarrolla su cuadrado y se distribuye −2h entre f y g. El resultado coincide con el obtenido usando las tres parejas.

Una sustitución numérica puede revelar un fallo, pero una sola coincidencia no demuestra la identidad. Para comprobar todos los valores, desarrolla los productos y compara los términos.

Errores frecuentes

No es lo mismo que un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio al cuadrado es una operación: se eleva una expresión de tres términos, como (x² + x + 1)². Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión que puede escribirse como el cuadrado de un binomio: x² + 2x + 1 = (x + 1)².

Si ese trinomio cuadrado perfecto vuelve a elevarse al cuadrado, se obtiene (x² + 2x + 1)² = (x + 1)⁴. Es el primer ejemplo de esta página; su resultado tiene cinco términos.

Referencia

OpenStax: multiplicación de polinomios por la propiedad distributiva.