Ejemplos de divisibilidad por 10

490 = 49·10

490 / 10 = 49

La cifra de las unidades es 0. El cociente 49 es entero y el producto 49·10 devuelve 490: son dos formas de comprobar la misma divisibilidad. Las 4 centenas y 9 decenas forman 49 decenas, sin unidades sueltas.

10 = 1·10; 10 / 10 = 1

20 = 2·10; 20 / 10 = 2

100 = 10·10; 100 / 10 = 10

Los tres terminan en 0. Para dividir un entero que termina en cero entre 10, quita un solo cero final: 100 pasa a 10, no a 1.

48 970 = 4 897·10

48 970 / 10 = 4 897

Solo la cifra de las unidades decide si el entero es múltiplo de 10. El espacio separa grupos de miles; no es una coma decimal.

0 = 0·10

0 / 10 = 0

Existe un entero, 0, cuyo producto por 10 es 0. Por eso 0 es múltiplo de 10. Aquí el divisor es 10; dividir entre 0 sería una operación distinta y no está definido.

−70 = (−7)·10; −70 / 10 = −7

−130 = (−13)·10; −130 / 10 = −13

Condición: Se incluyen enteros positivos, negativos y cero.

El signo no impide que el cociente sea entero. Mira la última cifra del valor absoluto: 70 y 130 terminan en cero; sus opuestos también son múltiplos de 10.

5 / 10 = 0,5

18 / 10 = 1,8

5 = 10·0 + 5

18 = 10·1 + 8

Las divisiones se pueden calcular, pero sus resultados no son enteros. En las divisiones con resto sobran 5 y 8, respectivamente. Ninguno de los dos números es divisible por 10.

104 = 10·10 + 4

140 = 14·10

10 000 002 = 10·1 000 000 + 2

10 000 020 = 1 000 002·10

104 y 10 000 002 no son divisibles por 10: sus últimas cifras son 4 y 2. En cambio, 140 y 10 000 020 sí lo son. Tener muchos ceros en otras posiciones no decide la respuesta.

−73 / 10 = −7,3

−73 = 10·(−8) + 7

Condición: En la división entera se usa 0 ≤ resto < 10.

El cociente decimal no es entero. Si escribimos la división con resto no negativo, el cociente entero es −8 y el resto es 7. No hay contradicción: el criterio sigue fallando porque el valor absoluto 73 no termina en 0.

9 007 199 254 740 990 = 900 719 925 474 099·10

9 007 199 254 740 991 = 900 719 925 474 099·10 + 1

Condición: Enteros escritos exactamente en base diez.

El primero es divisible por 10; el segundo deja resto 1. No hace falta aproximar el número ni copiar todas sus cifras en una calculadora. La última cifra basta si la escritura del entero es exacta.

250 / 10 = 25; 250 / 100 = 2,5

200 / 10 = 20; 200 / 100 = 2

250 tiene cociente entero al dividir entre 10, pero no entre 100. Para ser múltiplo de 100, un entero no nulo debe terminar en al menos dos ceros. 200 cumple ambos criterios; 0 también es múltiplo de 100.

30 / 2 = 15; 30 / 5 = 6; 30 / 10 = 3

14 / 2 = 7; 14 / 10 = 1,4

25 / 5 = 5; 25 / 10 = 2,5

Un entero es divisible por 10 exactamente cuando lo es por 2 y por 5 a la vez. Entre las terminaciones 0 y 5 de los múltiplos de 5, solo 0 es par. Ser divisible únicamente por uno de esos dos números no basta.

20,0 = 20; 20 / 10 = 2

2,0 = 2; 2 / 10 = 0,2

2,50 = 2,5; 2,5 / 10 = 0,25

Condición: Coma decimal; divisibilidad definida entre enteros.

20,0 representa el entero 20 y sí es divisible por 10. 2,0 representa el entero 2 y no lo es. 2,50 no representa un entero: queda fuera del criterio de divisibilidad usado aquí. Un cero al final de la parte decimal no equivale a una cifra de unidades igual a cero.

37□ → 370

370 = 37·10

Única cifra posible: 0

Condición: □ representa una sola cifra decimal.

La casilla ocupa las unidades. Las otras nueve cifras, del 1 al 9, producirían un resto distinto de cero al dividir entre 10.

400, 410, 420, 430, 440

450, 460, 470, 480, 490

4□0 = 400 + 10·d = 10·(40 + d)

Condición: d puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9.

Cualquiera de las diez cifras funciona porque las unidades ya son cero. Cambiar d modifica el cociente 40 + d, pero no la divisibilidad.

347 = 10·34 + 7

347 − 7 = 340

347 + 3 = 350

Se restan las 7 unidades para llegar al múltiplo inferior y se añaden 10 − 7 = 3 para llegar al superior. El más cercano es 350. Si el número ya fuera múltiplo de 10, no haría falta añadir ni quitar nada para obtener un múltiplo.

280 + 150 = 430 = 10·(28 + 15)

280 − 150 = 130 = 10·(28 − 15)

13 + 7 = 20

La suma y la diferencia de dos múltiplos de 10 vuelven a ser múltiplos de 10: se puede extraer el factor 10. La afirmación inversa falla: 13 y 7 no son múltiplos de 10, aunque su suma sí lo sea.

25·4 = 100

100 / 10 = 10

25·4 = (5·5)·(2·2)

Ni 25 ni 4 es divisible por 10. Su producto sí: un factor 2 y un factor 5 forman 10. No es necesario que uno de los factores iniciales ya termine en cero.

138 = 10·13 + 8

130 = 10·13

140 = 10·14

Condición: Piezas indivisibles y 10 piezas por caja.

Con 138 piezas se llenan 13 cajas y sobran 8. Quitar 8 deja 130; añadir 2 permite llenar 14 cajas con 140 piezas. No se necesitan cajas parciales cuando la cantidad es múltiplo de 10.

30 700 = 3·10⁴ + 7·10²

30 700 = 10·(3·10³ + 7·10)

30 704 = 10·3 070 + 4

Condición: Escritura posicional en base diez.

Cada posición a la izquierda de las unidades aporta un múltiplo de 10. Para un entero no negativo, escribir n = 10·q + r, con r entre 0 y 9, separa decenas y unidades: el resto r es su última cifra. Es divisible por 10 exactamente cuando r = 0. Para negativos, aplica el criterio a su valor absoluto y conserva el signo del cociente.