Ejemplos del sistema de numeración binario

0₁₀ = 0₂

1₁₀ = 1₂

2₁₀ = 10₂

3₁₀ = 11₂

4₁₀ = 100₂

5₁₀ = 101₂

6₁₀ = 110₂

7₁₀ = 111₂

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Después de 1 se escribe 10: ya hay un grupo de dos. El mismo mecanismo vuelve a actuar al pasar de 11 a 100. Las escrituras 10 y 100 se leen aquí en base dos, no como diez y cien.

111₂ = 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰

111₂ = 4 + 2 + 1 = 7₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Numera las posiciones desde cero a la derecha. Tres cifras ocupan las posiciones 2, 1 y 0; los pesos son 4, 2 y 1. Un exponente no se escribe pegado a la base: 2² vale 4, mientras que 22 vale veintidós.

101001₂ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰

101001₂ = 32 + 8 + 1 = 41₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Los ceros aportan cero, pero conservan su posición. Si los borras, obtienes 111 en base dos, que representa siete y no cuarenta y uno.

100000₂ = 2⁵ = 32₁₀

1000000₂ = 2⁶ = 64₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Un uno seguido de k ceros representa 2^k. Cuenta los ceros, no todas las cifras: 100000 tiene seis cifras y exponente cinco.

111011000111010₂ = 2¹⁴ + 2¹³ + 2¹² + 2¹⁰ + 2⁹ + 2⁵ + 2⁴ + 2³ + 2¹

111011000111010₂ = 16384 + 8192 + 4096 + 1024 + 512 + 32 + 16 + 8 + 2

111011000111010₂ = 30266₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

La cifra de la izquierda ocupa la posición 14, porque la derecha empieza en 0. Se suman solo las potencias de las posiciones con un 1; las posiciones 11, 8, 7, 6, 2 y 0 contienen ceros.

101201₂: inválido; contiene un 2

101101₂ = 45₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

En base dos solo se permiten 0 y 1. No debes evaluar una cadena con un 2 como si fuera una escritura binaria válida.

13 = 2·6 + 1

6 = 2·3 + 0

3 = 2·1 + 1

1 = 2·0 + 1

13₁₀ = 1101₂

1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

El proceso termina cuando el cociente llega a cero. Lee los restos del último al primero: 1, 1, 0, 1. La última línea verifica la conversión de vuelta.

30266 = 2·15133 + 0

15133 = 2·7566 + 1

7566 = 2·3783 + 0

3783 = 2·1891 + 1

1891 = 2·945 + 1

945 = 2·472 + 1

472 = 2·236 + 0

236 = 2·118 + 0

118 = 2·59 + 0

59 = 2·29 + 1

29 = 2·14 + 1

14 = 2·7 + 0

7 = 2·3 + 1

3 = 2·1 + 1

1 = 2·0 + 1

30266₁₀ = 111011000111010₂

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

En cada igualdad, el número anterior es dos veces el cociente más el resto. Lee los quince restos desde la última línea de división hacia la primera. Así obtienes el mismo número binario del ejemplo 5.

0₁₀ = 0₂

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

El cero se escribe directamente como 0. La regla de dividir hasta que el cociente sea cero necesita este caso inicial para no producir una escritura vacía.

00101₂ = 101₂ = 5₁₀

10001₂ = 17₁₀

Condición: Interpretación de enteros sin signo; no son códigos ni cadenas de longitud obligatoria.

Agregar ceros a la izquierda no cambia el valor de un entero sin signo. Los ceros interiores sí guardan posiciones: 10001 representa diecisiete, no cinco.

0000₂ = 0₁₀

1111₂ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15₁₀

2⁴ = 16

10000₂ = 16₁₀

Condición: Cuatro bits, entero sin signo; se permite completar con ceros iniciales.

Cuatro bits dan dieciséis combinaciones, que representan de 0 a 15. La cantidad 16 necesita cinco bits. El rango cambia si se adopta una codificación con signo.

0₂ + 1₂ = 1₂

1₂ + 1₂ = 10₂

10₂ + 1₂ = 11₂

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Uno más uno sigue siendo dos; en binario se escribe 10. En una columna se escribe 0 y se lleva 1 a la siguiente. No es una nueva aritmética, sino otra escritura de los resultados.

111₂ + 100₂ = 1011₂

7₁₀ + 4₁₀ = 11₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Desde la derecha: las dos primeras columnas dejan un 1 cada una. En la tercera, 1 más 1 produce 10 en binario: queda un 0 en esa columna y un 1 nuevo a su izquierda.

1111₂ + 1₂ = 10000₂

15₁₀ + 1₁₀ = 16₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Alinea 0001 debajo de 1111. Cada columna encuentra un 1 y el acarreo de la anterior: deja 0 y lleva 1. El último acarreo crea la quinta cifra.

1011₂ + 111₂ = 10010₂

11₁₀ + 7₁₀ = 18₁₀

1₂ + 1₂ + 1₂ = 11₂

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

En la columna de las unidades, 1 más 1 deja 0 y lleva 1. En la siguiente hay dos unos y ese acarreo: tres se escribe 11 en binario, así que queda 1 y se lleva 1. Las columnas restantes dejan 0 y 0, con un 1 final a la izquierda.

1101₂ − 101₂ = 1000₂

13₁₀ − 5₁₀ = 8₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

Alinea 0101 debajo de 1101 y resta de derecha a izquierda: 1−1, 0−0, 1−1 y 1−0. No hace falta pedir prestado en ninguna columna.

10000₂ − 1₂ = 1111₂

16₁₀ − 1₁₀ = 15₁₀

1111₂ + 1₂ = 10000₂

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

La unidad de valor 16 se descompone sucesivamente en dos de 8, dos de 4, dos de 2 y dos de 1. Tras prestar hacia la derecha, quedan unos en las columnas de 8, 4 y 2; en unidades, dos menos uno deja otro uno. La suma inversa confirma el resultado.

101₂·11₂ = 101₂ + 1010₂

101₂ + 1010₂ = 1111₂

5₁₀·3₁₀ = 15₁₀

Condición: Subíndice 2: binario; subíndice 10 y cálculos sin subíndice: decimal.

El 1 de las unidades del multiplicador aporta 101. El 1 de su segunda posición aporta el doble, 1010. Suma ambos productos parciales; el desplazamiento representa multiplicar por dos.

11010₂ / 10₂ = 1101₂

26₁₀ / 2₁₀ = 13₁₀

1101₂·10₂ = 11010₂

Condición: Divisor distinto de cero; división exacta de enteros positivos.

Dividir entre 10 en binario es dividir entre dos. Aquí el entero termina en cero, por lo que puede quitarse ese cero sin dejar resto. La multiplicación recupera el dividendo.

1101₂ = 10₂·110₂ + 1₂

13₁₀ = 2₁₀·6₁₀ + 1₁₀

1101₂ / 10₂ = 110,1₂ = 6,5₁₀

Condición: La coma separa la parte fraccionaria; cociente entero y cociente exacto se distinguen.

La división entera tiene cociente 110 y resto 1, ambos en binario; el resto es menor que el divisor 10. Si se admite una fracción, ese resto aporta una mitad y el resultado exacto es 110,1.

−13₁₀ = −1101₂

1101₂ = 13₁₀

Condición: Notación matemática con signo explícito; no es complemento a dos.

Convierte el valor absoluto y coloca el signo menos delante. No basta con cambiar un bit: las codificaciones informáticas de negativos exigen declarar un formato y una longitud.

101,011₂ = 4 + 1 + 0/2 + 1/4 + 1/8

101,011₂ = 43/8 = 5,375₁₀

Condición: Coma fraccionaria y resultado exacto.

Las posiciones después de la coma valen 1/2, 1/4 y 1/8. El cero inmediatamente después de la coma guarda el lugar de las mitades. No se elimina como un cero inicial de la parte entera.

0,375·2 = 0,75 → dígito 0

0,75·2 = 1,5 → dígito 1

0,5·2 = 1 → dígito 1

0,375₁₀ = 0,011₂ = 3/8

Condición: Fracción exacta 3/8; las multiplicaciones se muestran en decimal.

En cada paso escribe la parte entera y sigue con la fracción restante. Los dígitos se leen en el orden de obtención: 0, 1, 1. El proceso termina porque ya no queda parte fraccionaria.

0,1·2 = 0,2 → dígito 0

0,2·2 = 0,4 → dígito 0

0,4·2 = 0,8 → dígito 0

0,8·2 = 1,6 → dígito 1

0,6·2 = 1,2 → dígito 1

0,1₁₀ = 0,0001100110011…₂

0,0001₂ = 1/16 = 0,0625₁₀

Condición: Los puntos suspensivos indican la repetición del bloque 0011 después del primer 0 fraccionario; la última línea es un truncamiento a cuatro bits.

Después de obtener el segundo 1, la fracción restante vuelve a ser 0,2 y se repite el ciclo. Una décima necesita infinitos bits para ser exacta: 1/10 está reducida y su denominador tiene un factor 5, por lo que no puede escribirse como un entero dividido entre una potencia de dos. Cortar tras cuatro bits da 0,0625, no 0,1.

101₂ = 101,0₂ = 5₁₀

1010₂ = 10₁₀

10,1₂ = 2,5₁₀

Condición: La coma es fraccionaria; se comparan valores exactos.

Añadir un cero a la derecha de un entero multiplica por dos. Añadirlo al final de su parte fraccionaria no cambia el valor. Mover la coma una posición a la izquierda divide por dos.