ARITMÉTICA · BASE OCHO Y CONVERSIONES
El sistema octal representa los números con ocho dígitos: del 0 al 7. En la parte entera, cada posición vale ocho veces la situada a su derecha.
Estos 23 ejemplos recorren el valor posicional, la conversión desde decimal, el paso entre binario y octal, las fracciones y las operaciones básicas. Cada conversión conserva la cantidad; cambia la forma de escribirla.
Cómo leer la notación: 178 está en octal y equivale a 1510 en decimal. El subíndice 2 indica binario. Los cálculos sin subíndice están en decimal y la coma separa la parte fraccionaria.
Como 8 = 23, cada cifra octal puede sustituirse por tres bits. Esto permite representar una cadena binaria larga con menos cifras y recuperar después todos sus bits. Para convertir, se agrupa desde la coma hacia fuera: a la izquierda en la parte entera y a la derecha en la fraccionaria.
EJEMPLO 01
Revisa las cifras antes de hacer una conversión.
578 = 4710
788: inválido; contiene un 8
198: inválido; contiene un 9
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
En base ocho se usan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. El ocho y el nueve existen como cantidades, pero se escriben 10 y 11 en octal.
EJEMPLO 02
Compara escrituras iguales y cantidades equivalentes.
12 = 18 = 110
112 = 38 = 310
118 = 910
1110 = 138
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
La cifra 1 representa una unidad en las tres bases. En cambio, 11 no tiene el mismo valor en todas: el subíndice indica qué peso tiene la posición de la izquierda.
EJEMPLO 03
Observa el momento en que hace falta una segunda cifra.
68 = 610
78 = 710
108 = 810
118 = 910
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Después de 7 no escribes 8: reúnes ocho unidades y formas un grupo de ocho. Por eso el siguiente número es 10 en octal.
EJEMPLO 04
Descompón el número usando potencias de ocho.
5078 = 5·82 + 0·81 + 7·80
5078 = 320 + 0 + 7 = 32710
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Desde la derecha, los pesos son 1, 8 y 64. El cero señala que no hay grupos de ocho en esa posición; no elimina la posición.
| Posición | Cifra | Peso | Aporte |
|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 64 | 320 |
| 1 | 0 | 8 | 0 |
| 0 | 7 | 1 | 7 |
EJEMPLO 05
Comprueba cuáles puedes quitar sin cambiar el valor.
00718 = 718 = 5710
7018 = 7·64 + 0·8 + 1 = 44910
Condición: Enteros sin signo; no se exige una longitud fija.
Los ceros a la izquierda de la parte entera no cambian el valor. Quitar el cero interior de 701 lo transforma en 71: cuatrocientos cuarenta y nueve y cincuenta y siete son cantidades distintas.
EJEMPLO 06
Interpreta 1000 como una potencia de la base.
10008 = 83 = 51210
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Tres ceros indican tres desplazamientos a la izquierda: 1, 8, 64 y 512. No leas 1000 en octal como mil en decimal.
EJEMPLO 07
Divide entre ocho y conserva cada resto.
255 = 8·31 + 7
31 = 8·3 + 7
3 = 8·0 + 3
25510 = 3778
3778 = 3·64 + 7·8 + 7 = 25510
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Detente cuando el cociente llegue a cero y lee los restos de abajo hacia arriba: 3, 7, 7. Cada resto debe estar entre 0 y 7. La última igualdad comprueba el resultado.
EJEMPLO 08
Resuelve el caso que no necesita divisiones.
010 = 08 = 02
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
El cero se escribe directamente como 0. Si no se inicia ninguna división, el resultado no puede quedar como una cadena vacía.
EJEMPLO 09
Forma grupos de tres desde la derecha.
11112 = 0011112
0011112 = 178 = 1510
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Los grupos son 001 y 111: corresponden a 1 y 7. Solo el grupo situado más a la izquierda necesita dos ceros para completar sus tres bits. La regla funciona porque ocho es dos elevado a tres.
| Octal | Binario |
|---|---|
| 0 | 000 |
| 1 | 001 |
| 2 | 010 |
| 3 | 011 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
EJEMPLO 10
Agrupa sin perder el bloque de ceros.
10001110112 = 0010001110112
0010001110112 = 10738
10738 = 1·512 + 0·64 + 7·8 + 3 = 57110
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Desde la derecha aparecen 011, 111, 000 y 1. Completa el último grupo a la izquierda como 001; después lee los grupos en el orden habitual: 001 | 000 | 111 | 011. El grupo 000 produce un dígito octal 0 que debes conservar.
| Grupo binario | Dígito octal |
|---|---|
| 001 | 1 |
| 000 | 0 |
| 111 | 7 |
| 011 | 3 |
EJEMPLO 11
Resuelve una conversión con cinco grupos.
110000110100102 = 0110000110100102
0110000110100102 = 303228
303228 = 3·4096 + 0·512 + 3·64 + 2·8 + 2
303228 = 1249810
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Completa únicamente el grupo inicial 11 con un cero a su izquierda. La separación queda 011 | 000 | 011 | 010 | 010. Cada bloque se convierte por separado, y los cinco dígitos se escriben en el mismo orden.
| Grupo binario | Dígito octal |
|---|---|
| 011 | 3 |
| 000 | 0 |
| 011 | 3 |
| 010 | 2 |
| 010 | 2 |
EJEMPLO 12
Sustituye cada cifra octal por exactamente tres bits.
10738 = 0010001110112
0010001110112 = 10001110112
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Usa 1 → 001, 0 → 000, 7 → 111 y 3 → 011. Al final puedes quitar los dos ceros iniciales del número completo. Conserva los ceros de los bloques interiores: mantienen los pesos de las posiciones.
EJEMPLO 13
Desarrolla también los dígitos que aportan cero.
3058 = 0110001012
0110001012 = 110001012 = 19710
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Los bloques son 011 | 000 | 101. Se quita solo el primer cero del número completo. Si eliminas el bloque 000, cambiarás el número; no es un espacio de separación.
EJEMPLO 14
Convierte 11010 y contrasta un procedimiento incorrecto.
110102 = 0110102 = 328 = 2610
628 = 5010
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
La separación correcta es 011 | 010. Si empiezas por la izquierda y separas 110 | 10, podrías obtener erróneamente 62 en octal. Ese número es válido en base ocho, pero representa cincuenta, no veintiséis.
EJEMPLO 15
A la derecha de la coma, forma los grupos hacia la derecha.
0,10112 = 0,1011002
0,1011002 = 0,548
0,548 = 5/8 + 4/64 = 11/16 = 0,687510
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Los grupos fraccionarios son 101 | 100. Los dos ceros que faltaban se añaden al extremo derecho de la fracción; así no cambia el valor. No se añaden entre la coma y el primer 1.
EJEMPLO 16
Convierte cada lado de la coma por separado.
12,348 = 001010,0111002
001010,0111002 = 1010,01112
12,348 = 1·8 + 2 + 3/8 + 4/64 = 10,437510
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
La parte entera produce 001 | 010 y la fraccionaria, 011 | 100. Puedes quitar ceros al inicio del entero y al final de la fracción. No se quita el cero inmediatamente después de la coma.
EJEMPLO 17
Lee el peso de la primera posición fraccionaria octal.
0,48 = 4/8 = 1/2 = 0,510
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
La primera posición después de la coma vale un octavo. No confundas 0,4 en octal con cuatro décimas: aquí son cuatro octavos.
EJEMPLO 18
Multiplica la parte fraccionaria por ocho.
0,625·8 = 5
0,62510 = 0,58
5/8 = 0,62510
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
La parte entera del producto da el primer dígito: 5. Como no queda fracción, el proceso termina. Si quedara fracción, se multiplicaría de nuevo por ocho y se leerían los dígitos en orden de obtención.
EJEMPLO 19
Convierte una décima y detecta la repetición del resto.
0,1·8 = 0,8
0,8·8 = 6,4
0,4·8 = 3,2
0,2·8 = 1,6
0,6·8 = 4,8
0,110 = 0,0631463146314…8
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
La primera cifra es 0; después se repite 6314. El resto 0,8 vuelve a aparecer, por eso los siguientes pasos se repiten indefinidamente. Los puntos suspensivos indican que continúa el patrón: una escritura cortada no sería exactamente una décima.
EJEMPLO 20
Convierte la magnitud y conserva el signo.
2510 = 3·8 + 1 = 318
−2510 = −318
Condición: Signo menos explícito; no se usa complemento ni una cantidad fija de bits.
El signo menos indica el opuesto del valor convertido. Esta escritura matemática no fija cómo se almacena un número negativo en un equipo.
EJEMPLO 21
Pasa un grupo a la columna siguiente cuando llegues a ocho.
78 + 18 = 108
578 + 258 = 1048
4710 + 2110 = 6810
1048 = 6810
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
En 57 más 25, las unidades suman doce en decimal: escribe 4 y lleva 1. En la siguiente columna, 5 más 2 más el acarreo da ocho: escribe 0 y lleva 1 a una nueva columna. El resultado es 104 en octal.
EJEMPLO 22
Calcula 100 menos 1 en base ocho.
1008 − 18 = 778
6410 − 110 = 6310
778 + 18 = 1008
Condición: Subíndices 8, 2 y 10: octal, binario y decimal; cálculos sin subíndice: decimal.
Un grupo de sesenta y cuatro se cambia por ocho grupos de ocho. De ellos, uno se cambia por ocho unidades: quedan siete grupos de ocho y ocho unidades. Al restar una unidad, quedan siete y siete. La suma inversa comprueba el préstamo.
EJEMPLO 23
Compara el número de combinaciones con el valor máximo.
83 = 512
0008 = 010
7778 = 7·64 + 7·8 + 7 = 51110
10008 = 51210
Condición: Enteros sin signo, tres cifras; se permiten ceros iniciales.
Tres cifras admiten 512 combinaciones, desde 0 hasta 511. No alcanzan para escribir el valor 512: ese necesita cuatro cifras octales. Cada cifra equivale a tres bits, así que tres cifras octales corresponden a nueve bits.