EJEMPLO 01
Restar términos con coeficiente positivo
x −4 · x
=−3 · x
El coeficiente de x es 1. Calcula 1 − 4 = −3 y conserva x: no se restan ni se eliminan las letras.
ÁLGEBRA · OPUESTOS Y PARÉNTESIS
Resta algebraica: 20 ejemplos resueltos paso a paso
Restar una cantidad o una expresión equivale a sumar su opuesto. Si se resta un paréntesis completo, cambia el signo de todos sus términos; después se reducen los términos semejantes.
Los ejemplos incluyen monomios, números negativos, fracciones, polinomios con términos ausentes y paréntesis anidados. Trabajamos con números reales y expresiones polinómicas.
Cómo se hace una resta algebraica
a − b
=a + (−b)
a es el minuendo: la cantidad de la que se resta. b es el sustraendo: la cantidad que se resta. Solo se toma el opuesto de b.
- Identifica la expresión que se resta. Si está entre paréntesis, el signo menos afecta a todo el grupo.
- Toma su opuesto. Cambia el signo de cada término de ese grupo, conservando los del minuendo.
- Agrupa términos semejantes. Deben coincidir las letras y los exponentes.
- Opera con los coeficientes. Mantén la parte literal y conserva los términos sin semejante.
Restar términos semejantes
4 · x2 · y · z − 3 · x2 · y · z
=(4 − 3) · x2 · y · z
=x2 · y · z
Los coeficientes 4 y 3 se restan. La parte literal x²yz no cambia.
3 · x2 · y · z − (−x2 · y · z)
=3 · x2 · y · z + x2 · y · z
=4 · x2 · y · z
El opuesto de −x²yz es +x²yz. El coeficiente implícito de ese término es 1, así que se calcula 3 + 1.
Un ejemplo paso a paso
3 · x2 − (−4 · x2)
=3 · x2 + 4 · x2
=7 · x2
El coeficiente del término restado es −4. Su opuesto tiene coeficiente +4; al sumarlo a 3x² se obtiene 7x². Es la aplicación de a − b = a + (−b).
Un coeficiente negativo no determina siempre el signo del valor. Por ejemplo, −8m tiene coeficiente −8, pero si m = −1 su valor es 8. Hablar de tomar el opuesto evita confundir estos dos sentidos del signo.
No hace falta que los términos sean semejantes para restarlos. Esa condición permite reducirlos a un solo término; el ejemplo 14 muestra una resta que queda indicada.
10 ejemplos de resta de monomios
Al quitar los paréntesis, conserva el signo del primer término y toma el opuesto del segundo.
EJEMPLO 02
Restar un término con coeficiente negativo
4 · m −(−8 · m)
=4 · m +8 · m
=12 · m
El opuesto de −8m es 8m. La resta se convierte en 4m + 8m y los coeficientes suman 12. Se invierte el signo del coeficiente del término restado.
EJEMPLO 03
Dos letras en la misma parte literal
5 · f · g −(−4 · f · g)
=5 · f · g +4 · f · g
=9 · f · g
Ambos términos tienen la parte literal fg. Al restar −4fg se suma 4fg; los coeficientes dan 5 + 4 = 9.
EJEMPLO 04
Un coeficiente implícito de −1
−x · y · z −(−5 · x · y · z)
=−x · y · z +5 · x · y · z
=4 · x · y · z
−xyz tiene coeficiente −1. El opuesto de −5xyz es 5xyz, de modo que los coeficientes dan −1 + 5 = 4.
EJEMPLO 05
El resultado puede conservar un coeficiente negativo
−9 · a · b · c −(−4 · a · b · c)
=−9 · a · b · c +4 · a · b · c
=−5 · a · b · c
Restar −4abc equivale a sumar 4abc. Los coeficientes dan −9 + 4 = −5; restar un término con coeficiente negativo no garantiza un coeficiente final positivo.
EJEMPLO 06
Restar términos al cuadrado
2 · x2 −(−6 · x2)
=2 · x2 +6 · x2
=8 · x2
La parte literal x² permanece igual. Tras tomar el opuesto de −6x², se suman los coeficientes 2 + 6 = 8. El exponente no cambia.
EJEMPLO 07
Partir de un coeficiente negativo y restar uno positivo
−2 · x −3 · x
=−5 · x
Restar 3x equivale a sumar −3x. Los coeficientes dan −2 − 3 = −5, por lo que queda −5x.
EJEMPLO 08
Restar no significa que el coeficiente final sea positivo
−9 · w · x −(−2 · w · x)
=−9 · w · x +2 · w · x
=−7 · w · x
El opuesto de −2wx es 2wx. Luego −9 + 2 = −7. Se conserva la parte literal wx, sin confundir el signo del coeficiente con el valor del producto.
EJEMPLO 09
Conservar todos los exponentes
5 · x3 · y −(−4 · x3 · y)
=5 · x3 · y +4 · x3 · y
=9 · x3 · y
Los dos términos tienen exactamente x³y. Se suman 5 y 4, conservando el exponente 3 de x y el exponente 1 de y.
EJEMPLO 10
El coeficiente 1 no se escribe, pero se calcula
x −(−2 · x)
=x +2 · x
=3 · x
x significa 1·x. Al restar −2x se suma 2x, y 1 + 2 = 3.
4 ejemplos con números, fracciones y términos diferentes
La regla de sumar el opuesto también funciona con números y coeficientes fraccionarios.
EJEMPLO 11
Restar un número negativo
9 − (−4)
=9 + 4
=13
El opuesto de −4 es 4. Se cambia la resta por una suma del opuesto; el primer número, 9, no cambia.
EJEMPLO 12
Restar una fracción negativa
(3/4) − (−1/6)
=(3/4) + (1/6)
=(9/12) + (2/12)
=11/12
Primero se toma el opuesto de −1/6. Luego se usa el denominador común 12 para sumar 9/12 y 2/12.
EJEMPLO 13
Restar coeficientes fraccionarios
(2/3) · x − (−1/4) · x
=((2/3) + (1/4)) · x
=((8/12) + (3/12)) · x
=(11/12) · x
La parte literal es x en ambos términos. La resta de coeficientes se transforma en 2/3 + 1/4; solo después se suman las fracciones.
EJEMPLO 14
Términos que no son semejantes
3 · x2 · y · z − x · y · z3
La resta ya está expresada y no se reduce a un solo término. En el primero, x tiene exponente 2 y z exponente 1; en el segundo ocurre x¹ y z³. Tener las mismas letras no basta.
6 ejemplos con expresiones completas y agrupaciones
Antes de reducir términos, comprueba hasta dónde llega cada signo menos. Los paréntesis delimitan la expresión afectada.
EJEMPLO 15
Restar un polinomio completo
(5 · x2 + 2 · x − 3) − (2 · x2 − 4 · x + 1)
=5 · x2 + 2 · x − 3 − 2 · x2 + 4 · x − 1
=(5 − 2) · x2 + (2 + 4) · x + (−3 − 1)
=3 · x2 + 6 · x − 4
Cambia el signo de todos los términos del segundo paréntesis: 2x² pasa a −2x², −4x pasa a +4x y +1 pasa a −1. El primer paréntesis conserva sus signos.
EJEMPLO 16
Polinomios de distinto grado y términos ausentes
(2 · x3 + 5) − (x2 − 3 · x + 2)
=2 · x3 + 5 − x2 + 3 · x − 2
=2 · x3 − x2 + 3 · x + 3
El primer polinomio no tiene términos en x² ni en x: sus coeficientes son cero. Por eso quedan −x² y +3x; las constantes dan 5 − 2 = 3.
EJEMPLO 17
Restar una expresión de sí misma
(4 · x − 7) − (4 · x − 7)
=4 · x − 7 − 4 · x + 7
=0
Se anulan tanto los términos en x como las constantes. Restar una expresión de sí misma da cero para cualquier valor de x.
EJEMPLO 18
Restar una expresión a cero
0 − (2 · x − 5)
=−2 · x + 5
El resultado es el opuesto de toda la expresión: ambos signos cambian. En cambio, (2x − 5) − 0 conserva 2x − 5; importa qué cantidad se resta de cuál.
EJEMPLO 19
Paréntesis dentro de otros paréntesis
5 · x − (2 · x − (x − 3))
=5 · x − (2 · x − x + 3)
=5 · x − (x + 3)
=5 · x − x − 3
=4 · x − 3
Empieza por el paréntesis interior: −(x − 3) = −x + 3. Al reducir dentro del paréntesis exterior queda x + 3; restarlo cambia los dos signos.
EJEMPLO 20
Varias restas seguidas: de izquierda a derecha
10 − 6 − 3
=4 − 3
=1
Sin paréntesis, las restas se resuelven de izquierda a derecha. No es lo mismo que 10 − (6 − 3), cuyo resultado es 7. La resta no es asociativa.
Errores frecuentes al restar
- Cambiar solo el primer signo del paréntesis: el opuesto de (2x² − 4x + 1) es −2x² + 4x − 1.
- Cambiar también el minuendo: el signo menos situado entre las expresiones afecta a la segunda.
- Reducir términos con exponentes distintos: la parte literal debe coincidir por completo.
- Restar exponentes: en términos semejantes se restan coeficientes y se conservan los exponentes.
- Intercambiar el orden: 2 − 5 = −3, mientras que 5 − 2 = 3. La resta no es conmutativa.
- Agrupar varias restas libremente: los paréntesis pueden cambiar el resultado, como muestra el ejemplo 20.
Referencias
OpenStax: resta de enteros y opuestos. OpenStax: resta de polinomios.