EJEMPLO 01
Agrupar cuadrados y conservar otro término
x2 +x · y +4 · x2
=x2 +4 · x2 +x · y
=5 · x2 +x · y
Los términos x² y 4x² tienen la misma parte literal; 1 + 4 = 5. El término xy se conserva porque no es semejante a x².
ÁLGEBRA · SIGNOS Y TÉRMINOS SEMEJANTES
Suma algebraica: 20 ejemplos resueltos paso a paso
La suma algebraica consiste en sumar números o expresiones respetando el signo de cada sumando. Cuando hay letras, se reducen los términos semejantes sumando sus coeficientes y conservando su parte literal.
Encontrarás ejemplos con varias letras, resultados negativos, fracciones, términos que se cancelan y sumas de expresiones completas. Trabajamos con números reales y expresiones polinómicas con coeficientes enteros o fraccionarios.
Cómo se hace una suma algebraica
- Lee cada término con su signo. Por ejemplo, + (−2xy) se puede escribir −2xy.
- Agrupa los términos semejantes. Deben tener las mismas letras con los mismos exponentes.
- Suma sus coeficientes. La parte literal no cambia.
- Conserva los términos sin semejante. La suma sigue siendo válida aunque no se pueda reducir más.
Así se suman tres términos semejantes:
x · y + 2 · x · y + 4 · x · y
=(1 + 2 + 4) · x · y
=7 · x · y
El coeficiente de xy es 1. Se suman 1, 2 y 4; las letras xy permanecen iguales.
Con coeficientes negativos se procede del mismo modo:
x · y + (−2 · x · y) + (−4 · x · y)
=x · y − 2 · x · y − 4 · x · y
=(1 − 2 − 4) · x · y
=−5 · x · y
El primer término es 1·xy, no el número 1 aislado. Al sumar los coeficientes, 1 − 2 − 4 = −5, se conserva el factor xy.
Qué términos se pueden reducir
Sí: 3x² y −x²
Tienen la misma letra y el mismo exponente.
No: x² y x
El exponente de x es distinto: 2 frente a 1.
No: x²y y xy²
Contienen las mismas letras, pero los exponentes no coinciden en cada letra.
Sí: xy y yx
El orden de los factores no cambia el producto.
Si ninguno es semejante a otro, una suma como xy + 2m − 4h ya está reducida. No hay que inventar una sola letra o multiplicar los sumandos.
Regla de signos para sumar números
- Mismo signo: suma sus valores absolutos y conserva ese signo. Por ejemplo, 3 + 5 = 8; el caso de dos negativos aparece en el ejemplo 12.
- Signos distintos: resta el menor valor absoluto del mayor y usa el signo del sumando de mayor valor absoluto.
- Opuestos: si los valores absolutos son iguales y los signos distintos, la suma es cero.
10 ejemplos de suma algebraica con letras
Agrupa por parte literal, no solo por una letra compartida. En cada desarrollo se mantiene el signo de los términos que se cambian de posición.
EJEMPLO 02
Dos grupos con signos diferentes
w · x2 · y +3 · x2 +(−7 · w · x2 · y) +4 · x2
=w · x2 · y +(−7 · w · x2 · y) +3 · x2 +4 · x2
=w · x2 · y −7 · w · x2 · y +3 · x2 +4 · x2
=−6 · w · x2 · y +7 · x2
Para wx²y, los coeficientes son 1 y −7: suman −6. Para x², 3 + 4 = 7. La presencia de w e y distingue los dos grupos.
EJEMPLO 03
Coeficiente 1 y dos sumandos negativos
a2 +(−3 · a2) +b +(−8 · a2)
=a2 +(−3 · a2) +(−8 · a2) +b
=a2 −3 · a2 −8 · a2 +b
=−10 · a2 +b
El coeficiente de a² es 1 aunque no se escriba: 1 − 3 − 8 = −10. La b queda como un sumando independiente.
EJEMPLO 04
Dos grupos con resultado negativo
u2 +3 · u · v +(−4 · u · v) +(−2 · u2)
=u2 +(−2 · u2) +3 · u · v +(−4 · u · v)
=u2 −2 · u2 +3 · u · v −4 · u · v
=−u2 −u · v
En u², 1 − 2 = −1; en uv, 3 − 4 = −1. Se escribe −u² − uv sin mostrar los coeficientes −1.
EJEMPLO 05
Separar ab de ac
a · b +a · c +4 · a · b +(−2 · a · c)
=a · b +4 · a · b +a · c +(−2 · a · c)
=a · b +4 · a · b +a · c −2 · a · c
=5 · a · b −a · c
Los términos ab suman (1 + 4)ab = 5ab. Los términos ac suman (1 − 2)ac = −ac. Tener a en común no hace semejantes a ab y ac.
EJEMPLO 06
Reducir dos partes literales
a · x2 +(−2 · b) +(−3 · a · x2) +4 · b
=a · x2 +(−3 · a · x2) +(−2 · b) +4 · b
=a · x2 −3 · a · x2 −2 · b +4 · b
=−2 · a · x2 +2 · b
Los coeficientes de ax² dan 1 − 3 = −2; los de b dan −2 + 4 = 2. Agrupa cada término junto con su signo.
EJEMPLO 07
Conservar mn y n por separado
m2 +m · n +(−3 · m2) +(−n)
=m2 +(−3 · m2) +m · n +(−n)
=m2 −3 · m2 +m · n −n
=−2 · m2 +m · n −n
Solo m² y −3m² se reducen entre sí. Los términos mn y −n no tienen la misma parte literal, por lo que ambos permanecen.
EJEMPLO 08
Tres partes literales diferentes
a · b · c +(−6 · x · y · z) +(−4 · a · b · c) +7 · m2 · n
=a · b · c +(−4 · a · b · c) +(−6 · x · y · z) +7 · m2 · n
=a · b · c −4 · a · b · c −6 · x · y · z +7 · m2 · n
=−3 · a · b · c −6 · x · y · z +7 · m2 · n
abc y −4abc se reducen a −3abc. Los términos −6xyz y 7m²n se conservan: no son semejantes al primero ni entre sí.
EJEMPLO 09
Un término que no tiene semejante
a2 +(−f · g) +2 · a2
=a2 +2 · a2 +(−f · g)
=a2 +2 · a2 −f · g
=3 · a2 −f · g
a² + 2a² da 3a². El signo menos de fg se mantiene al quitar el paréntesis precedido de +.
EJEMPLO 10
Agrupar sin perder los signos
x2 +(−8 · x · y) +2 · x · y +(−4 · x2)
=x2 +(−4 · x2) +(−8 · x · y) +2 · x · y
=x2 −4 · x2 −8 · x · y +2 · x · y
=−3 · x2 −6 · x · y
Agrupa x² con −4x² y −8xy con 2xy. Sus coeficientes suman −3 y −6, respectivamente; no se cambia ningún exponente.
5 ejemplos con números y fracciones
Los coeficientes se suman con estas mismas reglas. Los paréntesis ayudan a distinguir el signo de un número del signo de la operación.
EJEMPLO 11
Signos distintos: resultado positivo
8 + (−3)
=8 − 3
=5
Se restan los valores absolutos 8 y 3. Como 8 tiene mayor valor absoluto y es positivo, el resultado es positivo.
EJEMPLO 12
Sumar dos números negativos
(−4) + (−7)
=−(4 + 7)
=−11
Se suman los valores absolutos: 4 + 7 = 11, y se conserva el signo negativo. Sumar dos negativos no da un positivo; esa regla corresponde al producto de dos negativos.
EJEMPLO 13
Signos distintos: resultado negativo
(−9) + 4
=−(9 − 4)
=−5
El mayor valor absoluto es 9 y pertenece al sumando −9. La diferencia es 5 y el resultado lleva signo negativo.
EJEMPLO 14
Sumar opuestos y sumar cero
6 + (−6) + 0
=0 + 0
=0
Un número y su opuesto se cancelan. Sumar cero no altera el valor; cero no es positivo ni negativo.
EJEMPLO 15
Sumar fracciones con signo
(2/3) + (−5/6)
=(4/6) − (5/6)
=−1/6
Usa el denominador común 6: 2/3 equivale a 4/6. Después resta los numeradores 4 − 5 = −1 y conserva el denominador 6.
5 variantes con letras y paréntesis
Estas variantes muestran fracciones, exponentes diferentes, cambio de orden de factores y cancelación de términos al sumar expresiones.
EJEMPLO 16
Términos con coeficientes fraccionarios
(1/2) · x + (−3/4) · x + (2/3) · y
=((2/4) − (3/4)) · x + (2/3) · y
=(−1/4) · x + (2/3) · y
Solo se suman los coeficientes de x: 1/2 − 3/4 = −1/4. El término (2/3)y queda igual porque su parte literal es distinta.
EJEMPLO 17
La misma letra con exponentes distintos
3 · x2 + 2 · x + (−x2) + 5
=(3 − 1) · x2 + 2 · x + 5
=2 · x2 + 2 · x + 5
x² y x no son términos semejantes. Se reducen 3x² y −x²; 2x y la constante 5 permanecen separados.
EJEMPLO 18
Las letras en otro orden
2 · x · y + 3 · y · x + (−x · y)
=2 · x · y + 3 · x · y − x · y
=(2 + 3 − 1) · x · y
=4 · x · y
En estos productos de números reales, yx = xy. Al escribir la parte literal en el mismo orden se ve que los tres términos son semejantes.
EJEMPLO 19
Sumar dos expresiones entre paréntesis
(2 · x2 − 3 · x + 1) + (−x2 + 5 · x − 4)
=2 · x2 − 3 · x + 1 − x2 + 5 · x − 4
=(2 − 1) · x2 + (−3 + 5) · x + (1 − 4)
=x2 + 2 · x − 3
El signo + delante del segundo paréntesis permite quitarlo sin cambiar sus signos. Después se agrupan cuadrados, términos en x y constantes.
EJEMPLO 20
Una suma de expresiones que da una constante
(3 · x − 2) + (−3 · x + 7)
=3 · x − 3 · x − 2 + 7
=0 · x + 5
=5
Los términos 3x y −3x se cancelan para cualquier valor de x. Solo queda la suma de constantes: −2 + 7 = 5.
Errores frecuentes al sumar
- Exigir términos semejantes para poder sumar: esa condición permite reducirlos a uno solo; no impide escribir sumas de términos diferentes.
- Comparar solo las letras: también deben coincidir sus exponentes. x² y x no se reducen entre sí.
- Perder la parte literal: xy significa 1·xy. El coeficiente 1 no puede sustituir a todo el término.
- Sumar exponentes: al reducir términos semejantes solo cambian los coeficientes; los exponentes se conservan.
- Aplicar la regla de multiplicación a una suma: dos números negativos sumados dan un negativo, como se muestra en el ejemplo 12.
- Cambiar signos al quitar un paréntesis precedido de +: conserva los signos interiores. Un signo menos delante de todo un paréntesis requiere otra operación: tomar el opuesto de la expresión.
Referencias
OpenStax: suma de enteros y opuestos. OpenStax: términos semejantes y suma de polinomios.