Ejemplos de números imaginarios

i, 2i, 3i, 4i, 5i

6i, 7i, 8i, 9i, 10i

11i, 12i, 13i, 14i, 15i

También: −3i, (1/2)i, (√2)i

En 5i: parte real = 0; parte imaginaria = 5

Condición: Aquí llamamos imaginario puro a bi con b ≠ 0.

Todos tienen la forma bi, con b real distinto de cero. El coeficiente puede ser positivo, negativo, fraccionario o irracional. La parte imaginaria es el número real b; bi es el término imaginario.

1 + 2i; 2 + 3i; 3 + 4i; 5 + 6i; 7 + 8i

9 + i; 10 + 2i; 11 + 3i; 12 + 4i; 13 + 5i

14 + 6i; 15 + 7i; 16 + 8i; 17 + 9i; 18 + 10i

En 1 + 2i: parte real = 1; parte imaginaria = 2

En 9 + i: parte real = 9; parte imaginaria = 1

Condición: a y b son reales.

Son complejos no reales, pero no imaginarios puros, porque su parte real no es cero. Un complejo a + bi se identifica con el par (a, b); el coeficiente de i puede estar implícito: i = 1i.

−4 = −4 + 0i

0 = 0 + 0i

Parte imaginaria de ambos: 0

Los reales están incluidos en los complejos. Con la convención de este artículo, el cero no se llama imaginario puro, aunque pertenece al eje imaginario del plano complejo. Un número no necesita llevar una i visible para ser complejo.

√(−9) = 3i

Comprobación: (3i)² = 9i² = −9

Condición: Raíz cuadrada principal en C.

En los reales no existe esta raíz. En los complejos usamos √(−a) = i√a para a > 0; por convención se elige aquí la raíz con parte imaginaria positiva.

√(−12) = i√12 = 2i√3

(2i√3)² = 4·(−1)·3 = −12

Condición: Raíz cuadrada principal en C.

Se extrae el cuadrado perfecto 4 de 12. El coeficiente 2√3 es exacto; no hace falta sustituirlo por un decimal.

√(−9) = 3i

z² = −9 → z = 3i o z = −3i

(3i)² = −9; (−3i)² = −9

Condición: z complejo; en R no hay soluciones.

El símbolo de raíz principal designa un valor. La ecuación pide todos los valores cuyo cuadrado es −9; ambos signos sirven. La factorización z² + 9 = (z − 3i)(z + 3i) prueba que no hay más soluciones.

√(−1)·√(−1) = i·i = −1

√[(−1)·(−1)] = √1 = 1

Por tanto: √(−1)·√(−1) ≠ √[(−1)·(−1)]

Condición: Todas las raíces son principales.

La regla √a·√b = √(ab) es válida para a y b reales no negativos. Extenderla sin condiciones a las raíces principales complejas produce esta contradicción.

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = i²·i = −i

i⁴ = i²·i² = 1

Condición: Exponentes enteros.

Multiplicar por i recorre 1, i, −1, −i y vuelve a 1. La potencia cero vale 1 porque i no es cero; la regla no debe formularse incluyendo indiscriminadamente 0⁰.

38 = 4·9 + 2 → i³⁸ = −1

43 = 4·10 + 3 → i⁴³ = −i

22 = 4·5 + 2 → i²² = −1

18 = 4·4 + 2 → i¹⁸ = −1

19 = 4·4 + 3 → i¹⁹ = −i

Condición: n entero no negativo.

Si n = 4q + r, cada grupo de cuatro factores i vale 1 y solo quedan r factores. Para n no negativo, el resto r está entre 0 y 3. El ciclo anterior permite leer el resultado.

100 = 4·25 + 0 → i¹⁰⁰ = 1

2025 = 4·506 + 1 → i²⁰²⁵ = i

Condición: Exponentes enteros no negativos.

Un resto cero da i⁰ = 1, no cero. Estos dos casos completan los restos que no aparecían en los cinco ejercicios anteriores.

i⁻¹ = 1/i = −i

Comprobación: i·(−i) = 1

i⁻² = 1/i² = 1/(−1) = −1

Una potencia negativa representa un recíproco, no un cambio de signo del resultado de la potencia positiva. Podemos dividir entre i porque i ≠ 0.

Opuesto de z: −z = −2 + 3i

Conjugado de z: 2 + 3i

z + (−z) = 0

(2 − 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13

a + bi = 2 − 3i → a = 2 y b = −3

Condición: a y b reales.

El opuesto cambia ambos signos; el conjugado cambia solo el signo del término imaginario. Dos complejos son iguales si coinciden sus partes reales e imaginarias.

(5 + 2i) + (−8 + 3i)

= (5 + (−8)) + (2 + (3))i

= −3 + 5i

Las partes reales dan 5 − 8 = −3 y los coeficientes de i dan 2 + 3 = 5. Se conservan como dos términos distintos.

(−2 + 4i) + (7 − 6i)

= (−2 + (7)) + (4 + (−6))i

= 5 − 2i

La parte real es positiva: −2 + 7 = 5. La imaginaria es negativa: 4 − 6 = −2.

(10 − 3i) + (−4 + 9i)

= (10 + (−4)) + (−3 + (9))i

= 6 + 6i

La parte imaginaria también puede cambiar de signo: −3 + 9 = 6.

(21 − 4i) + (10 + 5i)

= (21 + (10)) + (−4 + (5))i

= 31 + i

El coeficiente imaginario es −4 + 5 = 1. Se escribe 31 + i, sin necesidad de escribir 1i.

(3 + i) + (−1 + 5i)

= (3 + (−1)) + (1 + (5))i

= 2 + 6i

La i sin coeficiente escrito vale 1i: por eso 1 + 5 = 6 en la parte imaginaria.

(5 + 2i) − (−8 + 3i)

= (5 − (−8)) + (2 − (3))i

= 13 − i

Restar −8 equivale a sumar 8; restar 3i a 2i deja −i.

(−2 + 4i) − (7 − 6i)

= (−2 − (7)) + (4 − (−6))i

= −9 + 10i

El signo menos cambia 7 − 6i en −7 + 6i. De ahí salen −9 y 10i.

(10 − 3i) − (−4 + 9i)

= (10 − (−4)) + (−3 − (9))i

= 14 − 12i

La parte real es 10 + 4 = 14; la imaginaria es −3 − 9 = −12.

(21 − 4i) − (10 + 5i)

= (21 − (10)) + (−4 − (5))i

= 11 − 9i

Aunque la parte real queda positiva, −4i − 5i suma dos términos negativos: −9i.

(3 + i) − (−1 + 5i)

= (3 − (−1)) + (1 − (5))i

= 4 − 4i

Restar −1 + 5i aporta +1 − 5i. Recuerda que la primera i tiene coeficiente 1.

(5 + 2i) · (−8 + 3i)

= −40 + (15)i + (−16)i + (6)i²

= (−40 − (6)) + (15 + (−16))i

= −46 − i

El último producto es 6i² = −6. Los dos términos imaginarios suman 15i − 16i = −i.

(−2 + 4i) · (7 − 6i)

= −14 + (12)i + (28)i + (−24)i²

= (−14 − (−24)) + (12 + (28))i

= 10 + 40i

El producto −24i² se convierte en +24; por eso la parte real es −14 + 24 = 10.

(10 − 3i) · (−4 + 9i)

= −40 + (90)i + (12)i + (−27)i²

= (−40 − (−27)) + (90 + (12))i

= −13 + 102i

El término −27i² aporta +27. La parte real es −40 + 27 = −13 y los términos imaginarios suman 102i.

(21 − 4i) · (10 + 5i)

= 210 + (105)i + (−40)i + (−20)i²

= (210 − (−20)) + (105 + (−40))i

= 230 + 65i

El término −20i² aporta +20. La parte imaginaria es 105i − 40i = 65i.

(3 + i) · (−1 + 5i)

= −3 + (15)i + (−1)i + (5)i²

= (−3 − (5)) + (15 + (−1))i

= −8 + 14i

El producto i·5i es 5i² = −5. Sumado a −3 da −8; los otros términos dan 14i.

3i·(−2i) = −6i² = 6

(2 + 3i) + (2 − 3i) = 4

Un resultado no tiene por qué conservar una parte imaginaria no nula. En el producto aparece i² = −1; en la suma los términos imaginarios se cancelan.

Conjugado del denominador: 4 − 5i

(2 + 3i)/(4 + 5i)

= [(2 + 3i)(4 − 5i)] / [(4 + 5i)(4 − 5i)]

Numerador: 8 − 10i + 12i − 15i² = 23 + 2i

Denominador: 4² + 5² = 41

Resultado exacto: 23/41 + (2/41)i

Aproximación: 0,5610 + 0,0488i

Comprobación: [23/41 + (2/41)i](4 + 5i) = 2 + 3i

Condición: Denominador distinto de cero; decimales redondeados a cuatro decimales.

Multiplicar arriba y abajo por 4 − 5i equivale a multiplicar por 1. El producto −15i² aporta +15, y los términos imaginarios son −10i + 12i. Por eso el numerador es 23 + 2i.

(6 − 3i)/(3i) = 6/(3i) − 1

= 2/i − 1 = −1 − 2i

Comprobación: (−1 − 2i)·3i = 6 − 3i

Dividir entre 0 no está definido en C

Condición: Divisor 3i ≠ 0; 1/i = -i.

La condición del divisor c + di es que c y d no sean ambos cero; uno de ellos sí puede serlo. Si ambos son cero, c² + d² = 0 y la fórmula de división tampoco puede aplicarse.

z² − 2z + 5 = (z − 1)² + 4

(z − 1)² = −4

z − 1 = 2i o z − 1 = −2i

Soluciones: z = 1 + 2i y z = 1 − 2i

Condición: z complejo; en R no hay soluciones.

Ambas soluciones tienen parte real 1. Son complejos no reales y conjugados entre sí. Factorizar en (z − 1 − 2i)(z − 1 + 2i) recupera el polinomio y muestra que estas son todas las soluciones.

(1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i

(1 + i)⁴ = (2i)² = −4

Condición: Se habla de una solución de z⁴ = −4, no de una regla para todas las raíces.

El resultado tiene parte real 1, así que no es imaginario puro. Las raíces de índice par y radicando negativo se estudian en los complejos; solo para la raíz cuadrada de un real negativo podemos afirmar que es un múltiplo puro de i. Aquí comprobamos una raíz cuarta, sin listar todas.